Examen de Matem`atiques
Graus de Bioqu
´
ımica i Biologia molecular, Biotecnologia,
Enologia i Qu
´
ımica
14 de Juny de 2013
Exercici 1. Considereu la matriu
Aα=α2α+ 1
2α+ 1 α.
Trobeu el polinomi caracter´ıstic i els valors propis de Aα. Trobeu el valor
de αque fa que Aαtingui els dos valors propis iguals. Diagonalitza Aαper
aquest valor de α?
Exercici 2. Per tal d’esbrinar la temperatura que hi ha a l’interior d’una
nevera fem el seg¨uent experiment. Introdu¨ım a la nevera un got d’aigua a una
temperatura de 80oC. Observem que despr´es de 5 minuts l’aigua es a 70oC
i que despr´es de 10 minuts es a 61oC. Quina ´es la temperatura a l’interior
de la nevera? (Per tal de respondre la pregunta, escriviu i resoleu l’equaci´o
diferencial que modelitza el fenomen descrit en el problema, identificant les
funcions i par`ametres que hi intervenen, aix´ı com les seves condicions inicials.)
Exercici 3. Calculeu RRDxdA on D´es el triangle amb v`ertexs en els punts
(0,0), (1,2) i (2,2).
Exercici 4. Considereu la funci´o f:R2→Rdonada per
f(x, y) = x2−y2−8
3xy + 4x
(x+ 2y)2+ 1 .
Trobeu totes les corbes de nivell de fque siguin una circumfer`encia.