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Tema 1

C´alculo II y Ecuaciones Diferenciales

CURSO 2015-

Integrales dobles y triples

Sistemas de coordenadas polares,

cil´ındricas y esf´ericas

Cambio de variables

Prof. J. Ill´an

Introducci´on

El estudio de la integraci´on se basa en conceptos rigurosamente definidos, pero con una fuerte base f´ısica e intuitiva. Nosotros partiremos de principios de sumaci´on que nos conducir´an al concepto de integral doble y triple. M´as adelante abordaremos el estudio de t´ecnicas para el c´alculo de estas integrales.

Tal como se aprecia en la figura, el volumen V de la uni´on C de las cajas Ci, i = 1, 2 , 3 , es la suma de los vol´umenes respectivos Vi, i = 1, 2 , 3. ¿Qu´e ocurre con la suma V si aumenta infinitamente la cantidad de cajas Ci y al mismo tiempo su grosor tiende a cero?

Principio de Cavalieri.

A continuaci´on se describe el llamado m´etodo de las secciones.

Sea S un s´olido y Px, con a ≤ x ≤ b, una familia de planos paralelos tales que:

• S est´a situado entre los planos Pa y Pb.
• Podemos calcular el ´area A(x) de la secci´on Sx (regi´on plana) que resulta de interceptar S con Px. En s´ımbolos Sx = S ∩ Px.

Entonces el volumen de S es V =

∫ (^) b

a

A(x) dx.

Nuestro problema consta de varias fases que consisten en:

1. obtener la correspondencia funcional x → y = A(x),
2. que A(x) sea integrable Riemann en [a, b], y
3. que podamos calcular dicha integral, es decir, obtener V.

El volumen mediante integraci´on iterada

Sea R = [a, b] × [c, d] y sea f una funci´on

f : R → R,

tal que f ≥ 0 y f es continua en R.

Si fijamos x entonces la funci´on parcial y → f (x, y) es continua en el intervalo [c, d].

El ´area de la secci´on transversal Sx es la integral parcial

A(x) =

∫ (^) d

c

f (x, y)dy, con x fijo.

Seg´un el principio de Cavalieri, el volumen V de la regi´on bajo z = f (x, y) es

V =

∫ (^) b

a

A(x) dx =

∫ (^) b

a

[∫ (^) d

c

f (x, y) dy

]

dx.

Una motivaci´on y tres vertientes de desarrollo

Las anteriores ideas y principios deben conducirnos a un planteamiento te´orico y al desarrollo de diferentes m´etodos de c´alculo efectivo de una integral doble.

I- En la teor´ıa establecemos un concepto de integral doble acorde con las anteriores ideas y determinamos condiciones suficientes para que una funci´on sea integrable. La integral que construiremos deber´a tener suficientes propiedades y aplicaciones. II- Hablar de c´alculo exacto significa garantizar la posibilidad real de evaluar exactamente algunas integrales dobles. B´asicamente utilizaremos el c´alculo de primitivas a trav´es de la integraci´on iterada, aunque existen otras t´ecnicas de uso espec´ıfico que no estudiaremos.

III- Nos interesa disponer de m´etodos num´ericos eficientes, tambi´en llamados f´ormulas de cubatura, que permitan la evaluaci´on num´erica y aproximada de muchas integrales dobles. Dichos m´etodos se formulan matem´aticamente, se implementan en la forma de rutinas o c´odigos en alg´un lenguaje de programaci´on, y se ejecutan en un ordenador. Aunque podemos dise˜nar programas sencillos con este fin, esta vertiente no es prioritaria, y por ello s´olo emplearemos herramientas Matlab.

Teor´ıa: Definici´on de integral doble sobre un rect´angulo

Sea R = [a, b] × [c, d] ⊂ R^2 un rect´angulo. Una partici´on P(R) de R es una colecci´on de pares (xj, yk), j = 0, · · · , n, k = 0, · · · , m, tales que a = x 0 < x 1 < ... < xn = b, y c = y 0 < y 1 < ... < ym = d.

: Partici´on del rect´angulo R

Rjk

y=d

y=c x=a x=b

Las sumas de Riemann

Si f : R ⊂ R^2 → R es una funci´on acotada con valores reales, y tenemos una partici´on P(R) de R, podemos construir una suma de Riemann para f :

S(f, P(R)) =

n∑− 1

j,k=

f (cjk)∆xj∆yk,

donde ∆xj = xj+1 − xj, y ∆yk = yk+1 − yk, y cjk ∈ Rjk es arbitrario.

: Caja j, k

Funci´on escalonada, formando cajas

Las sumas de Riemann deben aproximar el volumen de S

Sea f ≥ 0 y S = {(x, y, z); (x, y) ∈ R, 0 ≤ z ≤ f (x, y)}

S(f, P(R)) ≈ V ol(S)

La norma de una partici´on

Se trata de echar a andar un proceso que haga cada vez m´as “fina” la rejilla asociada a una partici´on P(R) del rect´angulo R. Para ello

exigiremos que la longitud djk =

∆x^2 j + ∆y k^2 de las diagonales de

todos los sub-rect´angulos Rjk tienda a cero.

La norma ‖P(R)‖ de la partici´on P(R) se define como la mayor diagonal

‖P(R)‖ = max 0 ≤j≤n− 1 , 0 ≤k≤m− 1

djk

Integrales dobles sobre un rect´angulo: otras

presentaciones

• J.E. Marsden y A.J. Tromba, C´alculo vectorial. Pearson-Addison Wesley. 2004. Muy simple. Basada en sucesiones de particiones uniformes. No es la integral de Riemann.
• T.M. Apostol, Calculus, Revert´e, 1965.

Se acerca al planteamiento de Darboux de acotar mediante sumas de Riemann superiores e inferiores. Parte de definir la integral de funciones escalonadas.

• T.M. Apostol, An´alisis Matem´atico, Revert´e, 1976.

Tratamiento riguroso en t´erminos de la epsil´ontica:

∀ε > 0 , ∃P(R)ε, tal que |I − S(f, P(R))| < ε,

siempre que P(R) ⊃ P(R)ε, un concepto de l´ımite no estudiado.

M´etodos num´ericos: F´ormulas de cubatura

Supongamos que R ⊂ R^2 es un rect´angulo R = [a, b] × [c, d], y que f : R → R es integrable en R. Si nos inspiramos en las sumas de Riemann para f :

S(f, P(R)) =

j,k

f (cjk)∆xj∆yk,

podemos intentar el dise˜no de un m´etodo num´erico de la forma

Cn(f ) =

∑^ n

k=

λn,kf (xn,k, yn,k) ≈ I(f ) =

R

f (x, y) dxdy,

donde los coeficientes λn,k ∈ R y los puntos (xn,k, yn,k) ∈ R, k = 1, · · · , n, se escogen de modo tal que

lim n Cn(f ) = I(f ),

para una amplia clase de funciones f.

Propiedades de las integrales dobles sobre un rect´angulo

De la definici´on de integral doble y de las propiedades de los l´ımites podemos deducir lo siguiente:

Si f y g son funciones integrables en el rect´angulo R, y c es una constante, entonces f + g y cf son integrables en R, y:

R

(f + g) dxdy =

R

f dxdy +

R

g dxdy.

R

cf dxdy = c

R

f dxdy.

Sea R(R) el conjunto de las funciones reales integrables en el rect´angulo R. Las anteriores propiedades nos dicen que R(R) es un espacio vectorial (de dimensi´on infinita) y que L : R(R) → R, definida por

L(f ) =

R

f (x, y)dxdy

es una aplicaci´on lineal.

Propiedades de las integrales dobles sobre un rect´angulo

3.- Si f ≥ g, entonces

R

f (x, y)dxdy ≥

R

g(x, y)dxdy.

4.- Si Ri, i = 1, 2 , ..., m son rect´angulos disjuntos entre s´ı tales que f es integrable en cada uno de ellos, y adem´as Q = R 1

R 2

Rm es un rect´angulo y f es una funci´on acotada, entonces la integral doble de f : Q → R cumple:

∫∫

Q

f (x, y)dxdy =

∑^ m

i=

Ri

f (x, y)dxdy.

La propiedad (3) nos dice que L(f ) =

R f dxdy^ es mon´otona creciente, y en particular, si f ≥ 0 entonces

f ≥ 0.

Notar que Q es un rect´angulo en (4). Si Q no fuese un rect´angulo podemos adoptar (4) como una definici´on que m´as adelante veremos como una propiedad que se cumple para regiones m´as generales, y que adem´as es muy ´util en la pr´actica y se expresa diciendo que la integral doble es aditiva respecto a la regi´on de integraci´on.