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= 4,1, + tU. También se puede denotar Y - 7. Obseryemos que < 4,8 >=< 3, E >. Dados dos vectores Y y Y no nulos, podemos considerar el ángulo 4 entre E y Y, que viene * dado como en la figura. A Ev y 2 0. Observemos que Ó € [0, 1]. Se tiene que < 1,0 >= ||u|||[3]] cos9. Como consecuencia, tenemos lo siguiente: Los vectores E y Y son ortogonales o perpendiculares si y sólo si su producto escalar vale cero. En efecto, teniendo en cuenta que ¡pul y [fof] son números positivos y que 8 € (0, 1] tenemos que <8,0>=0 > [jul [[v]] cos0=0 <= c050=0 <> 0=5 => Y y Ú son perpendiculares. Notación. Si los vectores U y Y son ortogonales, lo denotazemos Y Y. Para vectores en el espacio Y = (131,2, 43) y T= (11,32, 43) también se define el producto escalar ET =< 1,7 >= 418, + ugt + UU. z . Si y 7 son no múlos, podemos considerar el éngulo los dos segmentos correspondientes están en un plano), 9 € [0,71] entre E y 3 (observermos que + Como en el caso del plano, se tiene que : <3,4 >= [8] ][0]] 0059. LO «>< 7 y>=0. De manera análoga, si Z = (uz, a, .-. Un) y Y = (UU. -7%n) són vectores en R”, sn producto escalar se define como ESAS UU + UgUa +++ UU Pare n > 3 no se considera el ángulo entre E y Y. Diremos que u L 4 (a y Y son ortogonales) si=0 i A peas E LY gia a Ep TO = ¡o io MS via! ¿08 es «stesjecun so, SS ¿Mi Len Y: ma : OS ae epa e e: OS Lon eh iremos. SES E e SO Os TAS An ; e SO SES ono MEno) mesón ION : ) Doa sn Sa, a BD : , ; TA : : o . El i e LC a Luo NE o TT o AA XP a e e MS Ed, eo MR DUO PEO. Sis Lim oso ms . E a to 3 Maso, a UNAS. QS Seo 1, Jada $ AMOUR ROL. ia : ps : i : : i : H ! i ' ñ y , ES luto eéncado: dina Ja dro anda pd io o ETS Soano 20 ES La NOSE qe Dome datos, (| :) 3 | ea (ora E delos aus Aeris món | Ñ 1 eq e pam ao Sada; a e eo AAA, e : r a > MES ¿SA B Les yl ai 3 E ¡ no. A Y Cp 3 S La. Ona, ES : dog $ SÓ, ás Cs E po Pi |! o ta a pe añ E bs o E senos, a a) OS E me ms A A H , o sao Om0 Ss lo; NO . 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En ese caso Ha) es el valor máximo absoluto de f. j Ha) hoz ñ h H | a EN Puede suceder que existan varios puntos (o incluso infinitos) donde se alcance el máximo absoluto, pero el EN valor máximo absoluto, al exista, sólo puede ser uno. Por ejemplo, dibujando la gráfica de cada una de las siguientes funciones, podemos comprobar que: pe + La función f(x) = sen alcanza el valor máximo absoluto, que es 1, en infinitos puntos. + La función f(x) = 1 — a? alcanza el valor máximo absoluto, que es 1, sólamente en el punto a == 0. e La función f(x) = arctgz no alcanza el valor máximo absoluto en D == R. « Se dice que f tiene un mínimo absoluto en el punto a si fla) < f(x) para todo 7 € D. En ese caso Fa) es el valor mínimo absoluto de f. AN De la misma forma que para el máximo absoluto, puede suceder que existan varios puntos donde se alcance A el mínimo absoluto, pero el valor mínimo absoluto, si existe, sólo puede uno. = Se dice que f tiene un máximo local (o máximo relativo) en el punto a si existe r > 0 tal que No =F(0) para todo = € (a—r,a+7)ND. En ese caso f(a) es un valor máximo local (o relativo) de f. y » Se dice que f tiene un mínimo local (o mínimo reletivo) “en el punto a si existe r > 0 tal f (a) S F(x) para todo x € (a—r,a +7)M.D, En ese caso fía) es un valor mínimo local (o relativo) de f. Puede suceder que existan varios puntos donde se alcancen máximos y mínimos locales, y también varios valores máximos y mínimos locales. Observación. Si f tiene un máximo absoluto en el punto a entonces f también tiene un máximo local en a, Lo mismo sucede con el mínimo. = Se dice que f tiene un extremo en el punto a, o que e es un extremo de f, sí f tiene en a un máximo absoluto, o un máximo local, o un mínimo absoluto o un mínimo local. Veamos qué sucede con la derivada en los puntos extremos. En primer hogar veamos algunos ejemplos, dibu- jando la gráfica de cada función. Ejemplo 1. La función f(x) ==? tiene un extremo en a =0 (se trata de un mínimo absoluto). La derivada en ese punto es f"(0) = 0, lo que significa que la recta tangente es horizontal. Ejemplo 2. La función 9(7) = le] tembión tiene un mínimo absoluto en a = 0. En este caso y no es derivable en 0. Gráficamente, en ese punto hay “un pico”, por lo que no existe la recta tangente, Ejemplo 3. La función A(x) = 2? definida en el dominio D = [0,1] también tiene un extremo en a = 0 (un mínimo absoluto). En este punto sólo tiene sentido la derivada por la derecha, que es 42, (0) = 0, pero no la derivada por la izquierda. En estos ejemplos observamos que si el punto a es mn extremo de f entonces o bien no existe f'(a) o bien existe f'(a) y vale cero. Gráficamente, esto quiere decir que en un máximo o en un mínimo, si se Puede trazar la Tecta tangente entonces esta es horizontal. El siguiente resultado muestra que esto es cierto en general. Teorema. SeDCR,7:D—>R y sea € D. Si f tiene un extremo en el punto a y f es derivable en a, entonces f'(a) =0. Demostración. Supongamos por reducción al absurdo que f'(a) > 0. Entonces $0) = Le LH o, + oa Por tanto existe un intervalo (9, c) con a € (b, €) tal que IMA >0, — paratodoz (ba)U(aO. Entonces, - » Si z € (b,0), se tiene que 1 €, y por tanto z— a > 0, de lo que se sigue que F(z) — f(a) > 0, es decir, Hz) > f(a). De esta manera veraos que en a no hay un máximo local. Si a no es ni máximo ni mínimo local, entonces a no es un extremo de f, con lo que Tegamos a contradicción. Entonces lo que habíamos supuesto, f'(a) > 0, es falso. Si ahora suponemos, también por reducción al absurdo, que f'(a) < 0, y hacemos el mismo razonamiento que entes, de mevo llegamos a contradicción. Entonces f'(a) < 0 también es falso. Por tanto hemos demostrado que Fla) =0, jaj Observeción. Este resultado afirma que si a es un extremo de f entonces F'(a) = 0, siempre que f sea derivable en a. Pero el recíproco es falso, es decir, F'(a) =0 4 « es un extremo de f. Por ejeraplo, si (2) = 23 y a = 0, tenemos que f'(0) = 0, pero O no es extremo de f, pues no es ni máximo ni mínimo local de f (véase la gráfica). 
