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En este documento se muestra cómo calcular el área de la región acotada por dos curvas mediante el método de integrales definidas. Se detalla todo el proceso, desde la factorización del sistema de ecuaciones hasta el cálculo de las integrales y la suma de las áreas resultantes. El ejemplo concreto utilizado es el de las funciones f(x) = x^(3/2) + x^2 - 4x - 4 y g(x) = x^2 - 4x^2, que permiten ilustrar los pasos necesarios para resolver el problema.
Tipo: Ejercicios
1 / 6
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Calcular el área de la región acotada por las curvas
f ( x )= x
3
2
− 4 x − 4
; g(x)= x
4
− 4 x
2
Sistema de ecuaciones (método de igualación)
x
3
2
− 4 x − 4 = x
4
− 4 x
2
− x
4
2
3
2
− 4 x − 4 = 0
− x
4
3
2
− 4 x − 4 = 0
Factorizar por Ruffini
( x + 2 )
( x − 2 )
− x
2
Puntos de intersección con el eje x
Puntos de intersección con el eje y
x − 2 = 0
x
4
x + 2 = 0
x
1
(− 1 )− x
2
x
2
− x − 1 = 0
x
2
√
2
x
2
√
x
3
√
2
x
3
1 + √ 5
Para x
1
y = x
4
− 4 x
2
y =(− 2 )
4
2
y = 0
Para x
2
√
y = x
4
− 4 x
2
y =
(
√
)
4
(
√
)
2
y =−1,
√
Aplicamos Integrales Definidas
AREA 1
∫
− 2
1 − √
5
2
[
x
3
2
− 4 x − 4
x
4
− 4 x
2
] dx
∫
− 2
1 − √
5
2
( x
¿ 3 + x
2
− 4 x − 4
− x
4
2
) dx ¿ ¿
∫
− 2
1 −√ 5
2
(− x
¿ 4 + x
3
2
− 4 x − 4
) dx ¿ ¿
[
− x
5
x
4
5 x
3
− 2 x
2
− 4 x
] |
− 2
1 − √
5
2
[
(
1 −√ 5
)
5
(
1 −√ 5
)
4
(
1 −√ 5
)
3
(
√
)
2
(
√
)
(
5
4
3
2
)]
1
[
√
(
) ]
1
25 + 35 √ 5
≈ 4,3026 u
2
AREA 2
∫
1 −√ 5
2
1 + √
5
2
[
x
4
− 4 x
2
x
3
2
− 4 x − 4
] dx
∫
1 −√ 5
2
1 + √
5
2
(¿ x
4
− 4 x
2
− x
3
− x
2
∫
1 −√ 5
2
1 + √
5
2
( x
¿ 4 − x
3
− 5 x
2
) dx ¿ ¿
x
5
x
4
5 x
3
2
1 −√ 5
2
1 + √
5
2
1 + √ 5
5
1 +√ 5
4
1 + √ 5
3
√
2
√
1 −√ 5
5
1 −√ 5
4
1 −√ 5
3
√
2
√
2
√
√
2
√
≈ 6,522 u
2
