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- De acuerdo con la definición de derivada de una función
f ´
x
=lim
h → 0
f ( x + h )− f ( x )
h
Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite:
Ejercicio
f ( x )=
x
f ´ ( x )=lim
h → 0
f ( x + h )− f ( x )
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
x + h
x
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
x + h
x
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
x + h
x
h
f ´
x
=lim
h → 0
(
− 3 x
( x + h ) x
3 ( x + h )
( x + h ) x
)
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
(
− 3 x + 3 x + 3 h
( x + h ) x
)
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
(
3 h
( x + h ) x
)
h
f ´ ( x )=lim
h → 0
3 h
( x + h ) xh
f ´ ( x )=lim
h → 0
( x + h ) x
( x + 0 ) x
x
2
- En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones
aplicando las reglas de la derivación.
f ( x )=(√ x
3
− 3 x )( 3 x
2
Se aplica la derivada de un producto y = u.v à y’ = u.v’ + u’. v
f ´
x
√ x
3
− 3 x
'
3 x
2
√ x
3
− 3 x
3 x
2
'
f ´ ( x )=
(
(
x
3
2
)
'
−( 3 x )
'
)( 3 x
2
(
x
3
2
− 3 x
)
3 x
2
'
'
f ´ ( x )=
(
x
1
2
)
3 x
2
(
x
3
2
− 3 x
)
6 x − 0
f ´ ( x )=
x
5
2
− 27 x
1
2
− 9 x
2
5
2
− 18 x
2
f ´
x
x
5
2
x
1
2
− 27 x
2
f ´ ( x )=
x
2
x −
x − 27 x
2
f
x
2 x
2
√ x
3
Se aplica la derivada de un cociente y =
u
v
à y’ =
vu ' − uv '
v
2
f ´
x
x
3
( 2 x
2
'
−( 2 x
2
x
3
x
3
2
f ´
x
x
3
( 2 x
2
'
−( 2 x
2
(
x
3
2
)
'
x
3
2
f ´ ( x )=
x
3
2
4 x −( 2 x
2
x
1
2
( x
3
2
)
2
f ´ ( x )=
x
3
2
4 x −( 2 x
2
x
1
2
x
3
3 x
( x )
3 x
( ln( x ) + 1 ) + 3 ( x )
3 x
ln ( 2 ) ( 2 )
3 x
3 x
( x )
3 x
(( ln ( x )+ 1 )+ ln ( 2 ))
Se sustituye en 1
¿ (( 3 x
− 1
3
3 x
( x )
3 x
ln ( x )+ 1
+[( 2 x ) ¿
¿ 3 x ]−
9 ( 3 x
− 1
2
x
2
- Calcule la derivada implícita de la Siguiente función.
( 2 xy )
2
−( x + y )
2
Se sustituye por conveniencia de notación
dy
dx
= y ’
Se deriva a ambos lados de la ecuación y cuando se derive en y se coloca y’
despejando la derivada.
( 2 xy )
2
−( x + y )
2
4 x
2
y
2
−( x
¿ 2 + 2 xy + y
2
4 x
2
y
2
− x
2
− 2 xy − y
2
x
2
2 y y
'
2
− 2 x − 2
y + y
'
x
− 2 yy ' = 0
4 x
2
8 y y
'
2
− 2 x − 2 y − 2 xy
'
− 2 y y
'
4 x
2
8 y y
'
− 2 xy
'
− 2 y y
'
=− 8 x y
2
y
'
( 4 x
2
8 y − 2 x − 2 y )=− 8 x y
2
y
'
− 8 x y
2
4 x
2
8 y − 2 x − 2 y
y
'
2 (− 4 x y
2
2 ( 4 x
2
y − x − y )
y
'
−( 4 x y
2
− x − y )
( 4 x
2
y − x − y )
- Calcule las siguientes derivadas de orden superior de
f
x
= x
5
3
f
'' '
( x )=?
f '
x
= 5 x
4
2
f ' ' ( x ) = 20 x
3
f ' ' '
x
= 60 x
2
- En cada uno de los siguientes ejercicios debe realizar los siguientes pasos:
Realice el cálculo de la primera derivada de la función.
compruebe en GeoGebra que graficando las pendientes de las rectas
tangentes En dos puntos (escogidos por el estudiante) de la función original,
obtendrá la función derivada calculada en los puntos escogidos (ver
contenido derivadas en GeoGebra).
a.
f
x
= e
− 2 x
2
f ' ( x )=( e ¿¿− 2 x ) ' +( x
2
f ' ¿
2 x
f ' ¿
Los valores escogidos son (0,2)
Se calcula el valor de 0 y 2 en la función y en la derivada
f ( x )= e
− 2 x
2
f ' ¿
f(0) f
= e
− 2 ∗ 0
2
f
= e
0
f ( 0 )= 1
f '
=− 2 e
− 2 ∗ 0
f ' ( 0 )=− 2 e
0
f
' ( 0 )
f(2) f ( 2 ) = e
− 2 ∗ 2
2
f
= e
− 4
f ( 2 ) =4,
f ' ( 2 )=− 2 e
− 2 ∗ 2
f '
=− 2 e
− 4
f ' ( 2 )=3,
f ( 1 ) = 1
f(2)
f
=ln
2
f ( 2 ) =ln ( 4 )+ 1
f ( 2 ) =1,38+ 1
f ( 2 ) =2,
f
'
f
'
Se comprueba que graficando las pendientes de las rectas tangentes en los puntos
1 y 2 de la función
f
x
= e
− 2 x
2
Se obtiene la función derivada calculada en los puntos escogidos.
8 a. Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función
f ( x )=
x
3
x − 2
Cómo la función es polinómica el dominio es el conjunto de los números Reales,
además es continua y derivable. Las derivadas que se obtengan también son continuas.
f ' ( x )=
x
2
Igualando la derivada a 0 y resolviendo la ecuación cuadrática se consiguen los
puntos críticos
x
2
x
2
x
2
x = ±
x
1
x
2
Estudiamos el signo de la derivada
f ' (− 1 )=
2
f ' (− 1 )=
Para calcular el punto de inflexión hallamos f(0) en f(x)
f ( 0 )=
3
f ( 0 )=− 2
Por lo tanto, el punto de inflexión es (0,-2)
B. La concentración de bacterias contaminantes c en un lago disminuye de acuerdo con
la ecuación:
c ( t ) = 75 e
−1.5 t
−0.075 t
Donde
t está en segundos
Encuentre la razón de decrecimiento de la concentración cuando t = 4 s
Se calcula la derivada de la función
c
t
= 75 e
−1.5 t
−0.075 t
c '
t
=( 75 e
−1.5 t
) ' + 20 ( e
−0.075 t
c '
t
=−1,5∗ 75 e
−1.5 t
−0,075 t ∗ 20
∗ e
−0.075 t
c ' ( t ) =−112,5 e
−1.5 t
−1,5∗ e
−0.075 t
c ' ( 4 )=−112,5 e
−1.5∗ 4
−1,5∗ e
−0.075∗ 4
c
' ( 4 )
Al resultar negativo el valor de la derivada para t=4, significa que las bacterias
decrecen a razón de 1,39 por segundo.
