Calculo Diferencial Samuel Fuenlabrada, Guías, Proyectos, Investigaciones de Cálculo diferencial y integral

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Cálculo

diferencial

Cuarta edición

Samuel Fuenlabrada Trucios

Instituto Politécnico Nacional

Irma Rosa Fuenlabrada Velázquez

Centro de Investigación y de Estudios Avanzados^ Departamento de Investigaciones Educativas

Instituto Politécnico Nacional

Silvia Guadalupe Maffey García Revisora técnica Instituto Politécnico Nacional

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Presentación

difícilmente se puede estar en desacuerdo con las propuestas educativas de la re- forma integral de la educación media superior (riems), uno de cuyos pilares es el enfoque por competencias, que sustenta el marco curricular común, el cual, a su vez, sirve de punto de contacto de las instituciones educativas que están formando el sistema nacional de bachillerato. al margen de la nueva terminología (por ejemplo, competencias genéricas, dis- ciplinares y profesionales), los maestros siempre hemos querido que tú y todos los alumnos accedan al conocimiento y pongan a prueba lo que han aprendido resol- viendo problemas diversos; más aún, en el fondo quisiéramos promover en ti el gus- to no sólo por la matemática sino también porque aprendas por iniciativa e interés propio. sin embargo, una y otra vez los profesores comprobamos que la mayoría de los estudiantes no tienen los conocimientos que supuestamente deberían haber ad- quirido en niveles educativos anteriores y que más que gusto por el conocimiento matemático, lo padecen como un mal necesario. en cierta medida, ello se debe a que por un lado tenemos la cultura de los refor- madores de la educación, que suelen presuponer la existencia de una escuela unifor- me e independiente de particularidades contextuales, y por el otro, la cultura de los profesores frente al grupo. en este marco, ¿qué te ofrecen los libros de matemáticas de la serie fuenla- brada? ¿cómo puedes usarlos para desarrollar las competencias propuestas por la riems a la que nos referimos al principio de esta presentación? para empezar, los libros de la serie tienen en cuenta las condiciones que encaran a diario los docentes en el aula, de quienes hay que señalar que en general asumen con la mejor disposición la responsabilidad de modificar, en lo que está en sus ma- nos, la enseñanza de la matemática a fin de posibilitar mejores aprendizajes. estos libros son resultado de más de 30 años de práctica docente e investigación sobre el hacer y deshacer de los alumnos en el proceso de aprendizaje. en esta 4a. edición se han hecho ajustes y reformulaciones del contenido temático y se han in- corporado nuevos ejercicios. en cada capítulo se hace una breve síntesis del contenido y su utilidad; los te- mas se desarrollan mediante demostraciones que permiten la comprensión de los conceptos, los cuales se presentan en un lenguaje claro y accesible y con el apoyo de diversos problemas resueltos (ejemplos). asimismo, se destacan las relaciones (fór- mulas) empleadas en demostraciones posteriores y para la resolución de problemas. los textos resultan comprensibles para los alumnos como tú porque en ellos se incorporan, en la explicación y en la ejemplificación de los temas, conocimientos que debiste adquirir en cursos anteriores pero que a veces los estudiantes suelen no recordar o no los aprendieron bien, lo cual es la causa por la que no comprenden los nuevos conceptos que están aprendiendo. en todos los capítulos hay dos secciones: "ejercicios" y "ejercicios de repaso"; en la primera se plantean problemas relacionados directamente con los contenidos recién estudiados, mientras que la segunda es una selección de ejercicios ilustrativos de los principales temas estudiados en el capítulo.

Dedicatoria

“aprender algo es el más grande los placeres, no solamente para el filósofo, sino también para el resto de la humanidad, por pequeña que sea su capacidad para ello.” para mis hijos: aristóteles maría del consuelo y gustavo alberto, leitmotiv de mi vida. para mi pequeño nieto emilio

iv presentación

todos los ejercicios y problemas propuestos tienen los resultados respectivos, de modo que cuando los estudies puedas confrontar contra ellos lo que tú obtienes por respuesta y, en caso de que sean diferentes, sostengas al respecto un diálogo reflexivo con tu maestro y con tus compañeros. se incorpora en esta nueva edición una sección denominada "lo que debes sa- ber", en la que se presenta una lista de conceptos clave que debes haber aprendido al terminar de estudiar cada capítulo; en caso de no tener claridad sobre alguno de ellos, en esta sección puedes estudiarlos de nuevo. fundamentalmente, con todo lo anterior se busca que, con la coordinación de tu profesor, durante la clase atiendas y participes en la discusión de ideas, plantees dudas y prestes atención a las explicaciones del maestro o de tus compañeros. Que tomes notas puntuales de lo que se está estudiando y de lo que llame tu atención para que, posteriormente, consultes los libros otra vez con la certeza de que ahí ha- llarás expuestos los conceptos explorados en clase. en suma, ten la seguridad de contar con un libro escrito en un lenguaje adecua- do a tu nivel en el que podrás revisar ejemplos y resolver ejercicios y problemas, lo que te permitirá afianzar y enriquecer tu conocimiento. así, con los libros, las explicaciones del profesor y tu disposición por aprender se tenderá un puente que permitirá realizar cabalmente la reforma en la educación.

Los autores

Contenido

 - Capítulo 1 Relaciones y funciones - Capítulo 2 Límites - Capítulo 3 Continuidad y discontinuidad - Capítulo 4 Concepto de derivada - Capítulo 5 Derivadas de funciones algebraicas - (regla de la cadena) Capítulo 6 Derivada de una función de funciones - (derivadas de orden superior) Capítulo 7 Derivadas sucesivas de una función - Capítulo 8 Derivada de funciones implícitas - Capítulo 9 Derivadas de funciones trigonométricas directas 

• Capítulo 10 Derivadas de funciones trigonométricas inversas
• Capítulo 11 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
• Capítulo 12 La derivada como razón de cambio (rapidez de cambio)
• Capítulo 13 Aplicaciones geométricas - de curvatura Capítulo 14 Curvatura. Radio de curvatura. Coordenadas del centro - Puntos de inflexión Capítulo 15 Funciones crecientes y decrecientes. Concavidad.
• Capítulo 16 Máximos y mínimos relativos. Gráficas
• Capítulo 17 Problemas de máximos y mínimos
  • Formulario

Relaciones y funciones

Introducción

Para el estudio del cálculo diferencial y del cálculo in- tegral es necesario que tengas conocimientos de álgebra y de funciones trigonométricas; asimismo, es importante que domines lo siguiente:

• La relación para la obtención de la distancia entre dos puntos.
• Las diferentes formas de la ecuación de la recta.
• Las gráficas de las ecuaciones de la circunferencia, parábola, elipse e hi- pérbola. En cálculo, y en consecuencia en todos los ejemplos y ejercicios de este libro, usa- remos números del conjunto de los números reales que, como sabes, incluyen los números naturales, los números enteros, los números racionales y los números irra- cionales, mismos que podemos representar gráficamente en la recta numérica, y por lo tanto, en los ejes del plano cartesiano. Aunque no usaremos números complejos, éstos nos proporcionarán información para interpretar adecuadamente algunos re- sultados. En muchas ocasiones, alumnos y profesionistas son capaces de derivar e inte- grar a partir del dominio que tienen del algoritmo de la operación correspondiente; sin embargo, desconocen (o ya olvidaron) los conceptos básicos de función, límite y derivada. De ahí que te sugerimos poner mucha atención cuando tu maestro ex- ponga estos conceptos y, siempre que te sea posible, consulta otros textos acerca de la materia para leer con detenimiento la forma en que desarrollamos estos temas.

CAPÍTULO

1

Constantes y variables

En problemas que se resuelven con la aplicación de conocimientos matemáticos in- tervienen dos clases de cantidades: constantes y variables.

Constantes Pueden ser absolutas y arbitrarias.

En las expresiones A = bh 2 y A = pr^2 , los números 2 y p son constantes que

nunca cambian. Por eso, a cada una se le llama constante absoluta y se les designa con números. En la ecuación de la recta y =^ mx + b , las constantes son las letras m y b , a las cuales se les asignan valores que permanecen durante la solución de un problema específico y se les conoce como constantes arbitrarias o parámetros.

Capítulo 1 Relaciones y funciones (^3)

El producto cartesiano de estos dos conjuntos A × B (en este orden) es el conjunto de todos los posibles pares ordenados, tales que la primera componente del par or- denado es un elemento de A y la segunda componente es un elemento de B. La expresión A × B se lee: “ A cruz B ”.

Por descripción, se expresa en la forma siguiente:

A ×^ B =^ {( x , y )| x ∈ A , y ∈ B }

Se lee así: la pareja ( x , y ) tal que x pertenece al conjunto A y y pertenece al conjunto B. La línea vertical debe leerse como “tal que”.

Desarrollando el producto queda:

A ×^ B =^ {( a , c ), ( a , d ), ( a , f ), ( b , c ), ( b , d ), ( b , f )}

Los elementos del conjunto producto forman parejas ordenadas. En el ejemplo an- terior son:

( a , c ), ( a , d ), ( a , f ), ( b , c ), ( b , d ), ( b , f )

En la pareja ( a , c ), a es la primera componente y c la segunda componente. En el caso particular de que los elementos de los conjuntos sean números reales, se acostumbra llamar a la primera componente de la pareja abscisa y a la segunda ordenada.

Ahora que ya repasamos las bases del producto cartesiano y sabemos cómo deter- minar las parejas ordenadas, continuaremos con el tema de relaciones.

Sean los conjuntos A y B , determina el producto cartesiano y represéntalo en el plano cartesiano.

A = {1, 2, 3} B =^ {4, 5} A × B = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

Las parejas se representan como puntos en el plano cartesiano en la forma siguiente:

EJEMPLO 1

(1,5) (2,5) (3,5)

(1,4) (2,4) (3,4)

y

O^ x

4 Cálculo diferencial

En todos los casos, el conjunto solución es R ⊆ A × B , que se lee así: “El conjunto solución es igual a o es un subconjunto del producto A cruz B .” La regla de correspondencia también se puede expresar como una proposición abierta con dos variables “ x es mayor que y ”.

Dominio Se conoce como dominio de la relación R al conjunto de las primeras componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a A ×^ B. Si continuamos con el ejemplo anterior tenemos:

Dominio =^ {1, 4, 6}

Contradominio Se conoce como contradominio de la relación R al conjunto de las segundas com- ponentes de las parejas ordenadas que pertenecen a A × B. Si continuamos con el ejemplo anterior tenemos:

Contradominio =^ {2, 3, 7}

Dados los conjuntos A =^ {1, 4, 6}, B =^ {2, 3, 7} y la relación R “es mayor que”, determina el conjunto solución y represéntalo con una gráfica sagital (se llama sagital por las flechas). Obtenemos el producto cartesiano de los conjuntos:

A × B =^ {(1, 2), (1, 3), (1, 7), (4, 2), (4, 3), (4, 7), (6, 2), (6, 3), (6, 7)}

Las únicas parejas relacionadas por la condición “es mayor que” son:

A R B =^ {(4, 2), (4, 3), (6, 2), (6, 3)}

Se conoce como “relación en A × B ” al conjunto de todas las parejas que hacen verdadera la proposición “es mayor que”. Por costumbre, en lugar de escribir A R B , también se puede utilizar la letra R para el conjunto solución o cualquier otra letra.

R =^ {(4, 2), (4, 3), (6, 2), (6, 3)}

Representación de la solución con gráfica sagital:

EJEMPLO 2

4

A B

6 1

2 3 7

Observa cómo la solución está de acuerdo con la definición. A algunos elementos del conjunto A les corresponde uno o más elementos del conjunto B ; en este caso, los elementos se vinculan por la condición “es mayor que”.

6 Cálculo diferencial

Definición : Si tenemos dos conjuntos A y B , y una regla que asocie a todo elemento del conjunto A con uno y sólo un elemento del conjunto B , entonces decimos que tenemos una función f definida en A con valores en B. Una función consta de tres elementos:

• Un conjunto A llamado dominio de la función.
• Otro conjunto B llamado contradominio de la función.
• Una regla de correspondencia f que asocia a todo elemento de A con uno y sólo un elemento del conjunto B. La regla puede ser un diagrama, una ecuación, una tabla de valores y una gráfica. La regla debe tener las siguientes propiedades: Primera. Ningún elemento del dominio puede quedar sin asociado en el contra- dominio. Segunda. Ningún elemento del dominio puede tener más de un asociado en el contradominio. Esto no excluye que varios elementos del dominio tengan al mismo asociado en el contradominio. Si tenemos los conjunto A y B , y la regla de correspondencia f cumple con las propiedades señaladas en el párrafo anterior, entonces la terna ( A , B , f ) es una fun- ción cuya notación se escribe:

f : A → B y la leemos así: “ f va de A a B ”.

Si x es un elemento de A , entonces el elemento de B asociado a x por medio de la regla de correspondencia se expresa de la forma siguiente:

f ( x )

y la leemos así: “ f de x ”. Se le llama la imagen de x bajo f. Gráficamente queda así:

x f ( x )

Se llama imagen de x al elemento asociado a x bajo la función f. En lugar de usar la letra f para designar la función, podemos utilizar otras más.

A B A B

No es función porque un elemento del dominio no se asocia en el contradominio.

No es función porque un elemento del dominio tiene más de un asociado en el contradominio.

A B

Sí es función.

Capítulo 1 Relaciones y funciones (^7)

Es importante que sepas que el símbolo f (x) no indica el producto de f por x ; en rea- lidad, el símbolo f ( x ) representa el valor en la imagen de f que corresponde al valor de x en el dominio de f.

Regla de correspondencia de una función

A. Regla de correspondencia dada por un diagrama (notación sagital).

a) F ( x ) b) G ( x ) c) θ( x )

EJEMPLOS 5

a) Tenemos la ecuación 3 x^2 − y + 4 =^ 0 y al expresarla como una función, que designaremos como f en este caso, obtenemos:

3 x^2 − y + 4 =^0 y =^3 x^2 + 4 y =^ f ( x ) =^3 x^2 + 4 f ( x ) =^3 x^2 + 4

Dado que y = f ( x ), al citar una función podemos usar indistintamente cualquiera de las dos notaciones:

y =^3 x^2 + 4 o f ( x ) =^3 x^2 + 4

La expresión 3 x^2 + 4 establece la regla con la que se puede determinar el único valor de y, una vez que el valor de x esté expresado. En este ejemplo, la regla señala que debemos multiplicar el valor asignado a x por sí mismo y a continuación, multiplicar este producto por 3 y sumarle 4. La función f es el conjunto de todas las parejas ordenadas ( x , y ) tales que x y y satisfacen la ecuación 3 x^2 − y + 4 =^ 0; y que se expresa:

f =^ {( x , y )| y =^3 x^2 + 4}

EJEMPLOS 7

EJEMPLO 6

3

A B

4 5 6 10 11

7 8 9

ƒ (^) Las flechas van de los valores de la variable independiente a los valores de la variable dependiente.

La imagen de 4 es 9, la de 6 es 11...

B. Regla de correspondencia dada por una ecuación.

Dominio (Variable independiente)

Contradominio (Variable dependiente)

Capítulo 1 Relaciones y funciones (^9)

Gráfica de una función

Una función real es una función donde el dominio y el contradominio incluyen sólo números reales. Se expresa así:

f : R → R

A menos que indiquemos lo contrario, todas las funciones que analizaremos en este libro son funciones reales. Recuerda que en expresiones como y = x^2 − 1 , en las que interviene una raíz, siempre consideraremos su signo como positivo. Hemos observado cómo una función incluye para cada punto una pareja orde- nada de números reales; de este modo, es posible señalar estos puntos en el plano cartesiano. La figura que resulta es la gráfica de la función. Se marcan los valores del dominio sobre el eje de las x y los valores del contra- dominio que resulten en el eje de las y.

Se expresa gráficamente así:

1 2 3 4

5

4

La tabla también se puede expresar en forma vertical:

x y

1 5

2 6

3 4

4 5

Otra forma de expresar la regla de correspondencia, como tabla de valores es la siguiente:

Dominio = { a , b , c , d } Contradominio = {3, 4, 5, 6}

Regla de correspondencia g :

g ( a ) = 3 g ( b ) = 4 g ( c ) = 6 g ( d ) = 5

Este resultado no se puede expresar en el plano cartesiano.

a

A B

b c d 6

3 4 5

g

10 Cálculo diferencial

a) Traza la gráfica de la función f (^) ( x (^) ) = x , dominio = {0, 1, 2, 4, 6}. Señala el contradominio que resulte. Tabla de valores (tabulamos):

x 0 1 2 4 6

y 0 1 2 2 6

Contradominio = {0, 1, 2 , 2, 6 }

b) Traza la gráfica de la función y = x^2 − 1 propón el dominio y determina el contradominio. En este ejemplo, el dominio son todos los números reales. En consecuencia, para la tabla de valores podemos elegir números enteros que faciliten las operaciones. Tabla de valores (tabulamos):

x − 3 − 2 − 1 0 1 2 3

y 8 3 0 − 1 0 3 8

Con base en tus conocimientos de geometría analítica ya sabes que es una parábola.

El contradominio que resultó es: {−1, 0, 3, 8}

c) Traza la función f ( x ) = 3 x − 1. El dominio son todos los números reales. Observa que se trata de una recta, por ello únicamente tomamos dos puntos para trazar su gráfica. Tabla de valores (tabulamos):

x 0 2

y − 1 5

¿Cuál es el contradomino?

EJEMPLOS 9

y

O x

y x O y x O

12 Cálculo diferencial

Clasificación de las funciones

Para clasificar las funciones tomaremos como referencia el contradominio, las cua- les son:

• Inyectiva (unívoca)
• Sobreyectiva (suprayectiva)
• Biyectiva (biunívoca) Función inyectiva (uno a uno) Una función es inyectiva, también llamada unívoca, cuando a cada elemento del contradominio le corresponde sólo un elemento del dominio sin importar que so- bren en el contradominio.

Función sobreyectiva (sobre) Una función es sobreyectiva, también llamada suprayectiva, cuando a todo elemen- to del contradominio le corresponde uno o más elementos del dominio. No deben sobrar elementos en el contradominio, no importa que algunos elementos del con- tradominio sean imágenes de más de un elemento del dominio (a todos les debe llegar flecha, puede ser que a algunos más de una).

f : A → B A = {1, 2, 3}

B = {1, 6, 7, 8, 9} f ( x ) = x + 5

Es una función inyectiva

Usamos la notación sagital.

f : A → B A = { a , b , c , d } B = {1, 2, 3} f ( a ) = 1 f ( b ) = 2 f ( c ) = 2 f ( d ) = 3

Es una función sobreyectiva

Usamos la notación sagital.

EJEMPLO 11

EJEMPLO 12

1

A B

2 3 8 9

1 6 7

f

A f B

d

a b c

1 2 3

Capítulo 1 Relaciones y funciones (^13)

Función biyectiva Una función es biyectiva, también llamada biunívoca, si todo elemento del contra- dominio es imagen de uno y solamente un elemento del dominio. La función biyecti- va es una combinación de las funciones inyectivas y sobreyectivas. En consecuencia, en el contradominio de la función biyectiva no sobran elementos y ningún elemento es imagen de más de un elemento del dominio.

Procedimiento nemotécnico para determinar si una relación

es una función y de qué tipo

Con base en los conjuntos del dominio y del contradominio, y la regla de correspon- dencia, expresamos el resultado usando la representación sagital. A continuación, para determinar si es función cubrimos con una tarjeta o con la mano el contradominio; si de todo elemento del dominio sale una flecha, conclui- mos que es una función.

J : C → D

C = {1, 2, 3}

D = {1, 8, 27}

J ( x ) = x^3

Es una función biyectiva

Usamos la notación sagital.

EJEMPLO 13

C J D 1 2 3

1 8 27

Para determinar qué tipo de función es, recuerda que debemos tomar como referen- cia el contradominio; en consecuencia, tapamos con la tarjeta el dominio:

A a b c B 1 2 3 4

B 1 2 3 4 Funciones inyectivas

B 1 2 3 4

B 1 2 3 4 Función sobreyectiva Función biyectiva