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HISTORIA DEL CÁLCULO
Una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad fue el cálculo, ya que la historia de la matemática no fue igual luego de la construcción del cálculo, tanto la geometría como el álgebra, la aritmética, la trigonometría se colocaron en una nueva perspectiva teoría. Un descubrimiento o una nueva teoría siempre traerá una evolución de ideas que harán posible su nacimiento lo cual no se lograra en un solo momento, es algo que evoluciona durante años y da lugar en algún momento en particular esto podrá convertirse en un descubrimiento interesante para el estado actual de la ciencia y por lo cual merece reconocimiento. Para la humanidad el cálculo cristalizo conceptos y métodos que durante 20 siglos no se lograban dominar. Muchos trabajaron con métodos ´´infinitesimales´´ pero hubo que esperar hasta el siglo XVII para tener la madurez social científica y matemática que permitiría construir el cálculo que hoy en día utilizamos, la tecnología moderna y las ciencias naturales han interactuado constantemente en el andamiaje matemático por lo cual sus aplicaciones son difíciles de cuantificar dado a esta misma influencia en la matemática moderna. Newton y Leibniz son un eslabón en la invención del cálculo pues fueron ellos los que dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores inmediatos Barrow y Fermat la unidad algorítmica y la precisión necesaria como método novedoso para su desarrollo posterior; a partir de visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, Galileo, Valerio y Stevin. En esto también contribuyeron directamente Oresme Arquímedes y Eudoxo, estos últimos obtuvieron su inspiración por problemas matemáticos y filosóficos sugeridos por Aristóteles, Platón, Tales de Mileto, Zenón y Pitágoras; debemos reconocer que la contribución previa más decisiva fue la geometría analítica desarrollada por Descartes y Fermat independientemente, sin la contribución de estos y de muchos otros hombres el cálculo de Newton y de Leibniz seguramente el cálculo no existiría. La revolución científica supuso una ruptura con las formas de pensar, estudiar y vincularse con la naturaleza que dominaron casi absolutamente en Europa entre los siglos X y XV. Esta ruptura y salto en la historia de conocimiento estuvieron precedidos por las importantes transformaciones que se vivieron durante los siglos XV y XVI con el renacimiento y la reforma protestante, el cálculo diferencial e integral están en corazón del tipo de conocimiento, cultura y de la sociedad de la que esencialmente somos parte. Una de las joyas de la creación intelectual de la que el hombre puede sentirse orgulloso es el cálculo infinitesimal dado en los siglos XVIII, XIX y XX, ya que gracias a ello la matemática y la física dieron el registro de avance más extraordinario. En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas científicos y matemáticos: Encontrar la tangente a una curva en un punto. Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad. Encontrar la longitud de una curva el área de una región y el volumen de un sólido.
Dada una forma de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en un periodo de tiempo conocido. Estos problemas fueron analizados por las mentes más brillantes de este siglo concluyendo en la obra cumbre del matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz y el físico matemático ingles Isaac Newton: La creación del cálculo. Los dos trabajaron de una forma casi simultánea pero sus enfoques fueron distintos. Newton motivo sus trabajos en sus propias investigaciones físicas, por eso trataba a las variables como cantidades que fluyen. En cambio, Leibniz conservo un carácter geométrico y a diferencia de Newton, trataba a la derivada como un cociente incremental, y no como una velocidad, él no hablaba de la derivada sino de incrementos infinitamente pequeños, a los que llamo diferenciales. Un incremento de X infinitamente pequeño, se llama diferencial de X, y se anota ´´dx¨´. Lo mismo curre para y (con notación ´´dy¨´). Lo que Newton llamo fluxión, Leibniz lo llamo cociente de diferenciales (dx/dy). No fue difícil imaginar que al no poseer un concepto claro de limite y ni siquiera de función, los fundamentos de su cálculo infinitesimal son poco rigurosos. El cálculo de fluxiones de Newton es basado en algunas demostraciones algebraicas poco convincentes, por otro lado, las diferenciales de Leibniz fueron presentadas como entidades extrañas que, aunque se definen, no se comportan como incrementos. La falta de rigor, alejada del carácter perfeccionista de la época griega, fue usual en la época post-renacentista y criticada duramente, pasaron dos siglos hasta que los trabajos que fueron hechos con poco esmero en los fundamentos del cálculo infinitesimal se solucionaron, y aquí cálculo, se muestra como uno de los más profundos hallazgos del razonamiento humano. Existió una larga polémica desatada a raíz de la prioridad en el descubrimiento, en un principio la disputa fue hecha con cortesía, pero luego de 3 décadas se tornó ofensiva hasta el siglo XVII se convirtieron en mutuas acusaciones de plagio. La polémica se volvió cada vez mayor y finalmente se convirtió en una rivalidad entre los matemáticos continentales y los británicos. La discusión siguió aun después de de la muerte de dos grandes protagonistas y afortunadamente hoy ha perdido interés con el paso del tiempo la gloria ha sido repartida equitativamente, pues ya está claro que ambos descubrieron este cálculo de forma simultanea entre 1670 y 1677, aunque fueron publicados años después. Los nuevos métodos tuvieron cada vez más éxito y permitieron resolver con facilidad diferentes problemas, los logros nuevos fueron sometidos a críticas severas, la justificación y explicaciones lógicas y rigurosas de los procedimientos utilizados no se dieron avances hasta el siglo XIX, pues allí aparecieron otros matemáticos, a los cuales les preocupaba más la presentación final de sus métodos que la utilización de la resolución en problemas concretos. Los discípulos de Newton y Leibniz usaron sus trabajos para resolver diferentes problemas de física, astronomía e ingeniería lo cual les permitió crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Así como los hermanos de Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones, el matemático francés Monge la geometría descriptiva, Lagrange, francés también, dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica, realizo contribuciones al estudio delas ecuaciones diferenciales y la teoría de los números, desarrollo la teoría de grupos.
ISAAC NEWTON
Nació el 4 de enero de 1643 en la villa de Woolsthorpe, Lincolnshire, Inglaterra. Falleció el 31 de marzo de 1727 en Londres, Inglaterra. Difícilmente se pueda decir que el camino de Newton a la fama en el ámbito científico estaba predeterminado. Su nacimiento fue prematuro, y durante algún tiempo pareció que no sobreviviría debido a su debilidad física. Cuando Newton tenía dos años de edad, su madre volvió a casarse, y el niño se fue a vivir con su anciana abuela a una granja de Woolsthorpe. Allí fue donde adquirió facultades de meditación y concentración que más tarde le permitieron analizar y encontrar la solución de problemas que desconcertaban a otros científicos. Cuando tenía doce años, ingresó en la Escuela del Rey, donde vivió con un boticario llamado Clark, cuya esposa era amiga de la madre de Newton. Pasó cuatro años en ese hogar, en el que se divertía construyendo toda clase de molinos de viento, carros mecánicos, relojes de agua y cometas. Encontró un desván lleno de libros científicos que le encantaba leer, y toda suerte de sustancias químicas. Cuando tenía dieciséis años, murió su padrastro, y el muchacho volvió a casa a fin de ayudar a su madre en la administración de su pequeña propiedad. Por fin, se decidió a continuar su carrera académica e ingresó en el Colegio de la Trinidad, de Cambridge. Newton no se distinguió en el primer año de estudios. Afortunadamente llamó la atención de Isaac Barrow, un dotado matemático y profesor que quedó impresionado con sus aptitudes y en 1664, lo recomendó para una beca de matemáticas. Gracias a la instrucción de Barrow, tenía un excelente fundamento en la geometría y la óptica. Se familiarizó con la geometría algebraica de Descartes, conocía la óptica de Kepler, y estudió la refracción de la luz, la construcción de los telescopios y el pulimento de las lentes. Bajo su dirección se dedicó a la matemática y las ciencias, pero se graduó sin distinciones especiales. A la edad de treinta años fue elegido miembro de la Sociedad Real de Londres, que era el más alto honor para un científico. Para corresponder a este honor, obsequió a la Sociedad su primer telescopio reflector. A lo largo de toda su vida estuvo indeciso a la hora de publicar sus principales descubrimientos; sólo los revelaba a un selecto grupo de amigos, debido posiblemente a un temor a la crítica o las controversias. En 1687, sólo después de repetidas súplicas del astrónomo Edmond Halley publicó su obra maestra en latín, Philosophae Naturalis Principia Mathematica (Los principios matemáticos de la filosofía natural). Esta obra se considera el libro científico de mayor importancia e influencia jamás escrito. Explicaba el funcionamiento del sistema solar y formulaba las leyes básicas del movimiento, que actualmente son fundamentales en la ingeniería y la física. Después de 35 años como profesor, Newton sufrió una depresión y un colapso nervioso. Abandonó la investigación en 1695 y luego fue director de la casa de la moneda de Londres. Durante los veinticinco años que trabajó en la casa de la moneda, no realizó virtualmente ninguna actividad científica o matemática. En 1705 la reina Ana le concedió nobleza y se le dio el título de caballero. A su muerte fue sepultado en la Abadía de Westminster con todos los honores que su nación podía otorgar. Fue un teólogo frustrado, consideraba que el valor principal de su trabajo era su confirmación de la existencia de Dios. El famoso poeta Alejandro Pope dijo refiriéndose a Newton: "La Naturaleza y las leyes naturales se ocultaban en la noche; Dios dijo "Que nazca Newton" y se hizo la luz".
Términos del calculo
Calculo: la palabra calculo proviene del término latino calculus (“piedra”) y se
refiere a la cuenta, la enumeración o la pesquisa que se lleva a cabo mediante un ejercicio matemático.
Derivada: el latín derivātus, derivada es un término que puede utilizarse como
sustantivo o como adjetivo, se trata de una noción de la matemática que nombra al valor límite del vínculo entre el aumento del valor de una función y el aumento de la variable independiente.
Integral: El término procede del latín integrālis, es el signo que indica la
integración y el resultado de integrar una expresión diferencial. Se conoce como cálculo integral a la rama de las matemáticas que busca obtener una función a partir de su derivada.
Teorema: Derivada del latín theorema, la palabra teorema consiste en una
proposición que puede ser demostrada de manera lógica a partir de un axioma o de otros teoremas que fueron demostrados con anticipación. Este proceso de demostración se lleva a cabo mediante ciertas reglas de inferencia.
Propiedad: Propiedad es un término que proviene del latín propietas hace alusión
a las características particulares de una operación matemática.
Numero: Del latín numĕrus, el término número se refiere a la expresión de una
cantidad con relación a su unidad. Se trata, por lo tanto, de un signo o un conjunto de signos.
Constante: Constante, es un término usado en matemática constantemente, su
aplicación se halla en casi todas las materias de cálculo y números que existen, se trata pues de un valor fijo, de un valor pre-establecido que define una magnitud, tamaño o proporción.
Variable: tenemos el concepto de variable, que se utiliza para definir toda
cantidad susceptible de tomar distintos valores numéricos.
Axioma: Un axioma en matemáticas es un postulado que sirve como base de una
parte concreta de las matemáticas, y cuya veracidad no pude ser demostrada, simplemente se asume como verdadero.
Postulado: Una definición muy simple es decir que es un hecho no comprobable
que se convierte en una verdad tácitamente aceptada.
Colorario: Del latín corollarium, un concepto referido a una proposición tanto en
matemática como en lógica que se utiliza para designar la consistencia de un teorema ya demostrado.
Símbolo: Los símbolos son imágenes que representan algo, suelen representar
operaciones o relaciones entre números o valores.
Notación: El término proviene del latín. La notación matemática es el lenguaje
simbólico formal que sigue convenciones propias.
Inducción: La inducción matemática es un método de demostración que suele
ser muy útil en problemas en los que se trata de probar que todos los números naturales.
Deducción: Consiste en razonamientos por los cuales se puede pasar de la
hipótesis a la tesis mediante la consideración de definiciones, axiomas y proposiciones anteriormente establecidos.
Historia del cálculo y conceptos básicos
Angélica Valentina Morales Estévez.
Abril 2019.
Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia.
Duitama - Boyacá.
Calculo I
