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Unidad 1 Teorema fundamental del calculo.
1.1 Medicion aproximada de figuras amorfas.
1.2 Notacion sumatoria.
1.3 Sumas de Riemann.
1.4 Definicion de integral definida.
1.5 Teorema de existencia.
1.6 Propiedades de la integral definida.
1.7 Funcion primitiva.
1.8 Teorema fundamental del cálculo.
1.9 Calculo de integrales definidas.
1.10 Integrales Impropias.
Unidad 2 Integral indefinida y metodos de integracion.
2.1 Definicion de integral indefinida.
2.2 Propiedades de integrales indefinidas.
2.3 Calculo de integrales indefinidas.
2.3.1 integrales indefinidas Directas.
2.3.2 integrales indefinidas Con cambio de variable.
2.3.3 integrales indefinidas Trigonometricas.
2.3.4 integrales indefinidas Por partes.
2.3.5 integrales indefinidas Por sustitucion trigonometrica.
2.3.6 integrales indefinidas Por fracciones parciales.
Unidad 3 Aplicaciones de la integral.
3.1 Areas.
3.1.1 Area bajo la grafica de una funcion.
3.1.2 Area entre las graficas de funciones.
3.2 Longitud de curvas.
3.3 Calculo de volumenes de solidos de revolucion.
3.4 Calculo de centroides.
3.5 Otras aplicaciones.
Unidad 4 Series.
4.1 Definicion de serie.
4.1.1 serie Finita.
4.1.2 serie Infinita.
4.2 Serie numérica y convergencia Prueba de la razón (criterio de DAlembert)
y Prueba de la raíz (criterio de Cauchy).
4.3 Serie de potencias.
4.4 Radio de convergencia.
4.5 Serie de Taylor.
4.6 Representación de funciones mediante la serie de Taylor.
4.7 Calculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor.
Esto produce la fórmula, A = dA = y dx = f(x) dx La integral anterior puede ser evaluada mediante poner la función en su lugar e integrándola.
2 La segunda situación es cuando el área está delimitada por la curva x = g(y), el eje y, y las ordenadas y = y1 y y2 = y. La gráfica de la función se muestra a continuación,
Asuma que el área bajo la curva está compuesta de un gran número de tiras delgadas horizontales. Sea una tira arbitraria dypara la altura y xpara la longitud. El área de esta tira elemental sería, dA = x dy donde x = g(y)
El área total A de la región entre el eje x, la ordenada y = y1 y y2 = y, y la curva x = g(y) será la sumatoria de las áreas de todas las tiras elementales en toda la región o el área limitada. Esto produce la fórmula, A = dA = x dy = g(y) dy
3 Se presenta una tercera situación cuando la curva en cuestión se encuentra por debajo del eje x, entonces f(x) es menor que cero desde x = a hasta x = b, el área limitada por la curva y = f(x) y las ordenadas x = a y x = b, y el eje x es negativo.
Pero el valor numérico del área debe ser tomado en consideración, entonces
A = | f(x) dx|
4 Una última posibilidad sería que una parte de la curva esté por encima del eje x y otra parte esté por debajo del eje x. Sea A1 el área debajo del eje x y A2 el área por encima del eje x. Por lo tanto, el área limitada por la curva y = f(x), el eje x y las ordenadas x = a y x = b serán,
A = |A1| + A
Tomemos ahora un ejemplo para entender la solución de tales problemas,
Encuentre el área de la región limitada por la curva y2 = x y las rectas x = 1, x = 4 y por el eje x.
La curva y2 = x es una parábola con su vértice en el origen. El eje de x es la línea de simetría la cual es el eje de la parábola. El gráfico de la función dada sería,
El área de la región limitada es,
A = y dx = dx = 2/3 [x3/2]14 = 2/3 [43/2 – 13/2] = 2/3 [8 – 1] = 14/
límite inferior de la operación es llamado en ocasiones punto de partida, por lo tanto, el límite superior es llamado punto final.
La expresión mostrada arriba se calcula como,
= x1 + x2 + x3 + … + xn-1 + xn
Mientras que algunos matemáticos están a favor de la escritura de la notación completa cada vez que se va a escribir una operación de notación sumatoria, algunos de ellos están a favor de escribirla solamente cuando se requiere producir la suma de algunas de las cantidades disponibles del conjunto de cantidades, y de escribir una versión abreviada cuando se va a producir la suma de los valores del conjunto completo. A modo de ejemplo, serviría a los fines en el último caso.
Es posible elevar al cuadrado cada uno de los términos y luego producir la suma de todas las cantidades cuadradas. Tal operación se puede denotar como,
= x12 + x22 + x32 + … + xn-12 + xn
La notación abreviada de la expresión anterior sería x2. Es esencial recordar que esta notación es completamente diferente de ( x)2 dado que esta última expresión denota una operación en la queprimero se suman todos los términos y luego se eleva al cuadrado el resultado obtenido, mientras que la operación anterior denota una expresión en la cual se produce la suma de términos que ya estaban elevados al cuadrado.
Otra operación interesante que se puede realizar utilizando el símbolo sumatorio es la sumatoria de productos vectoriales. Taloperación se puededenotarcomo,
1.3 Suma de Riemann
En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.
La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.
Introducción
Es aquella sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del área bajo la curva y se van calculando las partes de una función por medio de rectángulos con base en un incremento en el eje X, ya que la suma de toda las áreas de los rectángulos va ser el área total. Dicha área es conocida como la suma de Riemann
Dada f(x) en el intervalo [a,b] para encontrar el área bajo la curva: Dividimos la
región "S" en franjas de anchos iguales. El ancho de cada franja es:
Teniendo los intervalos:
La ecuación para la suma de Riemann es la siguiente:
donde haciendo de esta como un promedio entre la suma superior e inferior de Darboux.
Para esta suma es importante saber las siguientes identidades:
Sabiendo que:
Podemos obtener las siguientes igualdades:
Prueba
El intervalo I = [0,1] es un espacio métricocompacto por lo que toda función continua lo es de manera uniforme (según el teorema de Heine): la continuidad en I se escribe :
es decir que el número α depende de x (y de ε), mientras que en la continuidad
uniforme se puede encontrar un número α que sirva para todos los x de I:
Tomemos un ε > 0 cualquiera, y un α > 0 que verifica la relación anterior. Luego
existe un natural n tal que (basta con tomar , la parte
entera de ).
Para todo x en luego
, lo que también se escribe:
Integrando la relación anterior en se obtiene la siguiente:
Luego sumando los con k variando de 0 a n - 1 se obtiene:
lo que equivale a:. El valor de ε puede ser arbitrariamente pequeño (cercano a cero) con tal de
tomar n lo suficientemente grande. Luego la relación anterior pasa al límite y
da: Se demuestra de manera muy parecida la convergencia de la otra suma de
Riemann, pues en también tenemos.
Generalizaciones
A otros intervalos
Si en vez de trabajar con una función definida en 0, 1 escogemos un intervalo compacto cualquiera [a, b], que seguimos cortando en n subintervalos de
misma longitud obtenemos una aproximación del área bajo la curva de f por n rectángulos de área total
, aproximación que se vuelve más precisa a medida que crece n , luego el teorema es el siguiente:
La prueba es idéntica a la con el intervalo 0, 1 porque en la demostración sólo se utiliza la compacidad del intervalo. Otro argumento es emplear el cambio de variable para pasar de una función f definida en [a, b] a otra, g , definida en
Así
por el teorema en 0, 1,
y: con el cambio de variable:
.
Ejemplo:
Funciones escalonadas
. El área rojo oscuro mide
, el área total coloreada (rojo + verde) mide
El teorema es, sin sorpresa, el mismo:
Los puntos de cálculo también pueden ser implícitos, ya que para hallar la
suma se precisa conocer las imágenes y no los mismos.
La función f siendo continua en cada intervalo [xk-1, xk], cada valor vk entre el
ínfimo
y el supremo
es la imagen de un punto (por lo menos) del intervalo
por lo que es una
suma de Riemann, donde los son implícitos (y de hecho, desconocidos). En
particular son las
sumas de Riemann de menor y mayor valor respectivamente asociadas a la
subdivisión σ. Se llaman sumas de Darboux y corresponden a integrales de
funciones escalonadas
que mejor acotan a f:
y, por definición misma de la integral de Riemann,
es el límite común de
, es decir de
cuando δ(σ) tiende hacia cero.
Rapidez de Convergencia
Las sumas de Riemann constituyen un método efectivo pero aproximativo de cálculo de integrales. Para obtener una precisión impuesta de antemano, ¿Cuantos cálculos se necesitan? es decir, concretamente, ¿Qué valor mínimo de n escoger? (hay que tener en cuenta que cuando crece n crece la precisión del cálculo pero también el tiempo que consumirá dicho cálculo). Más importante aún: ¿Qué método elegir? Aquí se entiende por método la manera de escoger los puntos ξk de cálculo de la función en cada intervalo [xk-1, xk].
Los puntos donde se calculan la función son los centros de los intervalos
Método de los puntos medios
El método de los puntos medios es el segundo caso más común, es una variante del anterior, con una única diferencia: Se toman como puntos de cálculo los centros de los segmentos de la subdivisión regular. La suma es
Sea
el valor máximo de la segunda derivada en valor absoluto. Entonces el error
verifica:.
Prueba: Tomemos como anteriormente n = 1 , por tanto la suma de
Riemann es.
da, integrando entre c y x (si hace falta, se remplazan los valores absolutos por una desigualdad doble)
y luego
Observamos que.
Luego
: desigualdad triangular en integrales, luego (1) da:
Con n cualquiera, se vuelve que se multiplica por n porque hay n intervalos.
El error es acotado por un término en lo que es mucho mejor que el del método anterior porque converge hacia cero mucho más de prisa.
intermedios: , que es la altura del rectángulo, es un valor
alcanzado por f porque pertenece al intervalo. Para estimar la rapidez de convergencia, es conveniente mirar al área equivalente roja. El área total (color rosado) está compuesta por:
- dos rectángulos de media anchura, el error es acotado como en el
caso de un intervalo de longitud en el método de los rectángulos (punto de cálculo en un extremo del intervalo), es decir por
y
- n - 1 rectángulos de anchura con puntos de cálculo centrales (como el punto B de la figura) luego el error es acotado por
Luego el error total es inferior o igual a
; por tanto es acotado por un término
en. Sin embargo, otro cálculo da un resultado más sencillo que prescinde de M 1 :
, es decir que el error máximo es exactamente el doble del error máximo cometido en el método de los puntos medios. A pesar de lo último, este método tiene la ventaja sobre el de los puntos medios de no obligar a calcular otros valores de la función salvo los
que a menudo ya se han calculado previamente a la estimación de la integral.
Definición de Integral Definida
La integración es el proceso inverso de la diferenciación. La integración nos da
la libertad para dirigir en el espacio. Se pueden clasificar en dos tipos, a saber,
la integración indefinida y la integración definida. Una integración indefinida es
aquella que no tiene límites, mientras que una integración definida es aquella
que está integrada con respecto a ciertos límites. La notación convencional de
la integral definida es la siguiente,
Encima se muestra la integración definida de algún f(x) dentro del intervalo [a,
b]. Es importante que la función dada, la cual será integrada para algún
intervalo sea continua para el intervalo en el cual se va a integrar. La integral
de Riemann es un caso especial de la integral definida en la cual x es
esencialmente un número real.
Una integral definida se representa más comúnmente como,
Aquí, la función dada se divide en n intervalos de igual longitud n
yi es un punto arbitrario que se selecciona de cada intervalo.
