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Unidad 9

• Interés Compuesto

INTRODUCCION

En los problemas de interés simple, el capital que genera los intereses permanece constante todo el tiempo de duración del préstamo. En cambio, cuando el interés es compuesto, el interés generado en un periodo se convierte en capital en el siguiente periodo. Esto es, el interés simple generado al final del primer periodo se suma al capital original, formándose un nuevo capital. A partir de este nuevo capital se calcula el interés simple generado en el segundo periodo y este interés se suma al capital; y así sucesivamente. La suma total obtenida al final del proceso se conoce como monto compuesto. A la diferencia entre el monto compuesto y el capital original se le llama interés compuesto. En forma simbólica:

Donde I representa el interés compuesto; F, el monto compuesto y P , el capital original.

Como se ve, el interés compuesto es la operación financiera en la cual el capital aumenta al final de cada periodo por adición de los intereses vencidos.

El periodo convenido para convertir el interés en capital se llama periodo de capitalización o periodo de conversión. Así, por ejemplo, la expresión "periodo de capitalización semestral" (o bien, "periodo de conversión semestral) significa que el interés generado se capitaliza, es decir, se suma al capital, al término de cada 6 meses. De igual forma, al decir periodo de capitalización mensual se está indicando que al final de cada mes se capitaliza (se suma) el interés ganado a lo largo del mes. El periodo de capitalización se puede definir como el intervalo de tiempo al final del cual se capitalizan los intereses generados en dicho intervalo de tiempo.

El periodo de capitalización es la unidad básica de tiempo en todos los problemas de interés compuesto. Por tanto, al efectuar un cálculo de interés compuesto la tasa de interés y el tiempo deberán expresarse en la misma unidad de tiempo que el periodo de capitalización.

Por ejemplo, si en un determinado problema el periodo de capitalización es trimestral, entonces la tasa de interés y el tiempo se deberán expresar en trimestres a fin de realizar los cálculos.

Al igual que en el interés simple, la tasa de interés dada en un problema de interés compuesto será una tasa anual, excepto que se diga lo contrario.

Comparando los resultados se observa que el interés compuesto es mayor que el interés simple, para un mismo capital, tasa y tiempo. Esto es así debido a que en el interés compuesto se ganan intereses sobre los intereses capitalizados. Debido a la capitalización de los intereses, el monto compuesto crece en progresión geométrica; mientras que el monto simple crece en progresión aritmética.

CALCULO DEL MONTO COMPUESTO

El ejemplo anterior mostró la forma como se calcula el monto compuesto, efectuando cálculos de interés simple periodo por periodo. Esta forma de calcular el monto compuesto es bastante laboriosa y tardada, sobre todo si se tienen muchos periodos de capitalización. Imagine el lector el tiempo que se tardaría en calcular el monto compuesto del ejemplo anterior si el tiempo fuera de 20 años (¡40 periodos de capitalización!). A fin de evitar pérdida de tiempo, a continuación se deduce una fórmula que permitirá obtener el monto compuesto de una manera directa.

Sea P un capital invertido ala tasa de interés compuesto de j% por periodo de capitalización∗. Se desea obtener el monto compuesto F obtenido al final de n periodos de capitalización o conversión.

∗∗∗∗∗

∗ (^) Observe que j no es tasa anual, sino que es la tasa convertida al periodo de capitalización. ∗∗ (^) Recuerde que i = j/ 100. ∗∗∗ (^) Se realizó una factorización. El factor común es P(1 + i).

De la tabla anterior se observa que el monto compuesto al final del primer periodo es P(1 + i); el monto compuesto al final del segundo periodo-es P (1+ i)2; el monto compuesto al final del tercer periodo es P (1+ i)3, y así sucesivamente, de tal forma que al final de n periodos el monto compuesto viene dado por:

donde F es el monto compuesto o valor futuro, P es el capital original, i es la tasa de interés en forma decimal (esto es, dividida entre 100) por periodo de capitalización y n es el número de periodos de capitalización.

La ecuación (7.2) es la fórmula general del interés compuesto. Su demostración general se lleva a cabo mediante inducción matemática.

EJEMPLO 7.

Obtener el monto compuesto y el interés compuesto al final de 6 años de $ 10,000 invertidos a una tasa del 34% con capitalización trimestral.

SOLUCION

En este caso el trimestre es la unidad básica de tiempo. Como la tasa es anual y en un año hay 4 trimestres, se tiene que:

Por tanto, i=0.085 por trimestre

El tiempo es igual a 6 años. Por tanto, 6 años = (6 años) (4 trimestres/año) = 24 trimestres. Esto significa que hay 24 periodos de capitalización.

Es decir:

n = 24. Sustituyendo valores en la ecuación (7.2) se tiene:

F = 10,000 (1 + 0.085)^24 = 10,000 (1.085)^24

Desde un punto de vista práctico, existen 2 formas para evaluar la expresión anterior:

a) Resolver utilizando logaritmos∗. b) Utilizar la calculadora de forma directa. Resolviendo mediante el uso de los logaritmos, se tiene:

log F = log 10,000 + 24 log 1.

log F = 4 + (24) (0.03542973818) = 4.

F=antilog 4. F = 70,845.

∗ (^) Se espera que con lo estudiado en el capítulo 2 el lector pueda advertir los casos en donde se usan los

logaritmos.

EJEMPLO 7.

Si se tiene una inversión en la que la tasa de interés es variable, el monto final puede calcularse obteniendo el monto parcial cada vez que la tasa cambia.

Se invirtieron 10,000 dólares en un banco por 5 años. Cuando se realizó el depósito, el banco estaba pagando el 9.7% capitalizable trimestralmente. Después de 3 años y medio, la tasa cambió a19% convertible cada mes. Determine el monto compuesto al finalizar los 5 años.,

SOLUCION

Los 5 años se dividen en 2 partes: los primeros 3.5 años cuando el periodo de capitalización era trimestral, y los siguientes 1.5 años cuando el periodo de capitalización es de un mes. El monto compuesto obtenido en la primera parte se convierte en el capital de la segunda.

Primera Parte

Segunda Parte

EJEMPLO 7.

El 1 de abril de 1989 se efectuó un depósito de $ 800 en un banco que pagaba el 75% de interés capitalizable cada trimestre. El 1 de octubre de 1990 se realizó un depósito de $ 1,100 en la misma cuenta, y ese mismo día la tasa de interés cambió al 47% con capitalización mensual. ¿Cuál será el saldo en la cuenta el 1 de julio de 1994?

SOLUCION

Primera Parte

Se calcula el monto compuesto al 1 de octubre de 1990.

Del 1 de abril de 1989 al 1 de octubre de 1990 hay 6 trimestres; por tanto, n = 6. Por otro lado, la tasa de interés anual deberá ser dividida entre 4 para que quede transformada al periodo de capitalización.

El monto compuesto el 1 de octubre de 1990 fue de $ 2,243.32, pero como ese día se depositaron $ 1,100, el saldo es de $ 3,343.32. Este saldo es el capital para la segunda parte del problema.

Segunda Parte

Se obtiene el monto compuesto de $ 3,343.32, desde el 1 de octubre de 1990 al 1 de julio de 1994, a la tasa del 47% con capitalización mensual. En este caso, n = 45 meses.

Ejercicios 7.

1. Encuentre el monto compuesto y el interés compuesto para cada uno de los siguientes casos:
2. Obtenga el monto compuesto y el interés compuesto al final de 6 meses de $ 3,800, invertidos al 29% convertible mensualmente.
3. Se invierten $ 2,000 al 5.1% mensual de interés compuesto cada mes por 2 años. ¿Cuál es la cantidad acumulada al término de ese tiempo? ¿A cuánto asciende el interés?
4. En sus cuentas de ahorros, el ABC BANK de Houston, Texas, ofrece una tasa de interés anual del 8.75% capitalizable diariamente. Si se invierten 4, dólares, ¿cuál será su valor después de 2 años? Considere el año de 365 días; es decir, obtenga el valor futuro exacto.

15. Si usted comienza en un trabajo con un sueldo de $ 3,180 al mes y se le va a conceder un aumento del 9% cada cuatrimestre, ¿cuánto estará ganando dentro de 3 años?
16. Si el precio del litro de leche va a estar aumentando en un 2.5°/% cada mes durante un año, ¿cuál es el aumento total expresado como un por ciento?
17. Se realiza un depósito de $ 2,200 en un banco que paga el 31% con capitalización cada trimestre. El dinero permanece en la cuenta durante un año y, en ese momento, la tasa cambia al 28.5% con capitalización cuatrimestral. ¿Cuál será el saldo en la cuenta 3 años después del depósito inicial?
18. ¿Cuál es el saldo final si se dejan 3,000 dólares en depósito al 8.3% convertible cada semestre durante 7 años y después la tasa cambia al 9.5% convertible cada mes por los siguientes 4 años?
19. Se depositan $ 1,500 en una cuenta que paga el 39% capitalizable cada quincena. La tasa se mantiene durante 2 años. En ese momento, la tasa cambia al 35% con capitalización quincenal. ¿Cuál es el saldo en la cuenta después de 2 años más?
20. Una inversión de 20,000 dólares se efectúa a 10 años. Durante los primeros 6 años la tasa de interés compuesto cada semestre es del 11% anual. Posteriormente, la tasa desciende al 9.6% anual, también con capitalización semestral durante un año y medio. El resto del tiempo la tasa aumenta al 10% capitalizable cada mes. ¿Cuál es el monto final de la inversión?
21. Obtenga el interés que devenga un capital de $ 22,000, invertidos el 30 de septiembre, con vencimiento el 30 de diciembre del mismo año. Los intereses se capitalizan y se pagan los días 30 de cada mes. La tasa de interés aplicable a la inversión es el 90% del CPP vigente, que se supone para octubre de 21.85%; para noviembre, 20.61% y para diciembre, 19.36%.
22. Si un banco paga el 2.33% mensual capitalizable cada mes, determine el saldo el 30 de agosto de 1944 en una cuenta con los siguientes depósitos:
23. En cierto banco, los intereses devengados de las cuentas de ahorros se capitalizan el 30 de mayo y el 30 de noviembre de cada año, siendo la tasa de interés del 28% anual. El señor julio Mercado abrió una cuenta de ahorros el 30 de mayo de 1991, con un depósito de $ 750. El 30 de noviembre de 1991 depositó $ 1,470 y el 30 de mayo de 1992 retiró $ 600. ¿Cuál será el saldo el 30 de mayo de 1993?
24. En cierto banco norteamericano la tasa de interés para cuentas de ahorros es del 8% con periodos de capitalización trimestral. La capitalización se lleva a cabo el 31 de marzo, el 30 de junio, el 30 de septiembre y el 31 de diciembre de cada año.

Una persona tiene una cuenta de ahorros con un saldo al 30 de septiembre de 1986, de 75 dólares. El 31 de diciembre de 1988 depositó 250 dólares; el 31 de marzo de 1989 depositó 310 dólares y el 30 de junio de 1991 retiró 200 dólares. ¿Cuál será el saldo el 30 de junio de 1995?

25. Se invierten $ 10,000 al 60.31% capitalizable quincenalmente. A los 6 meses la tasa de interés cambia al 58.07°/ capitalizable cada mes y se retiran de la cuenta $ 5,000. Pasados 10 meses la tasa se vuelve a incrementar, al 61.5% capitalizable cada mes y se depositan $ 8,000. Obtenga el monto al cabo de 4 años contados a partir del depósito de los $ 10,000.

MONTO COMPUESTO CON PERIODOS DE CAPITALIZACION FRACCIONARIOS

La ecuación (7.2) se obtuvo suponiendo un número entero de periodos de capitalización. Sin embargo, la ecuación puede utilizarse si se presentan fracciones de periodo.

EJEMPLO 7.

Obtener el monto compuesto de $ 1,536 al 36.5% capitalizable semestralmente al cabo de 2 años y 3 meses.

SOLUCION

Debido a que 2 años y 3 meses son 27 meses, y un semestre son 6 meses, se puede formar la siguiente proporción:

6 meses = 1 semestre 27 meses = n semestres Por tanto:

Despejando n, se tiene:

Interés Compuesto 233

Sustituyendo los valones numéricos en la ecuación (7.2):

TEMA ESPECIAL

JUSTIFICACIÓN DEL INTERÉS

Existen 4 razones principales por las cuales una persona no aceptará prestar dinero si no espera recibir un interés:

1o. Al prestar dinero, la persona debe diferir un consumo que podría realizar de inmediato. Esta persona al diferir la compra espera recibir una ganancia. 2o. Si la persona que presta tiene la posibilidad de invertir su dinero a cierta tasa de interés j, el prestamista querrá que se le dé, por todo préstamo que realice, por lo menos una tasa de interés igual a j. Se dice que j es su costo de oportunidad. 3o. Al prestar, se tiene cierto riesgo de que la cantidad prestada no sea pagada; tal riesgo se acepta cuando existe la posibilidad de obtener una ganancia. 4o. Al prestar con interés, la persona que presta protege su poder de compra si hay inflación. Para esto, es necesario que la tasa de interés sea mayor, o cuando menos igual, a la tasa de inflación.

SOLUCION

Un trimestre son 3 meses; por tanto, 10 meses serán 30 trimestres.

EJEMPLO 7.

Resuelva el ejemplo anterior utilizando la regla comercial.

SOLUCION

Los periodos completos son 3 trimestres (9 meses). El monto compuesto de 3 trimestres es:

El periodo incompleto es de 1/3 de trimestre; es decir, 1 mes. Por tanto, el monto simple será:

TASAS DE INTERES NOMINAL Y EFECTIVA

Si un determinado capital invertido a interés compuesto se capitaliza cada año, entonces el monto compuesto al final del primer año es el mismo que el monto obtenido por interés simple a un año de plazo. Pero si la capitalización se efectúa más de una vez al año, entonces el monto al final de un año es mayor que el obtenido por interés simple. Esto se debe a que el interés obtenido durante un periodo generará intereses durante los siguientes periodos. La tasa de interés anual aplicable a una inversión o a un préstamo a interés compuesto se llama tasa de interés nominal o simplemente tasa nominal. La tasa nominal es la tasa de interés convenida en la operación financiera. Por ejemplo, la tasa del 34% dada en el ejemplo 7.9 es una tasa nominal.

La tasa efectiva por periodo es la tasa de interés que efectivamente se aplica en cada periodo de capitalización. Esta tasa de interés se obtiene al dividir la tasa nominal anual entre el número de periodos de capitalización que hay en un año, es decir:

jep = j/m En donde jep es la tasa efectiva por periodo, j es la tasa de interés nominal anual y m es el número de periodos de capitalización en un año. Así, por ejemplo, la tasa efectiva por periodo en el ejemplo 7.9 es:

jep = 34/4 = 8.5% trimestral Obsérvese como, al utilizar la ecuación (7.2) se está empleando la tasa efectiva por periodo.

EJEMPLO 7.

Utilizando las siguientes tasas nominales, obtenga la tasa efectiva por periodo.

a) 26% capitalizable cada semestre. b) 30% capitalizable cada 91 días.

SOLUCION

a) j = 26% anual

m = 2 periodos de capitalización en el año jep = 26/2 = 13% semestral

b)

j = 30% anual

m = 365/91∗= 4.010989011 periodos de capitalización en el año jep = 30/4. jep = 7.47945% en 91 días

∗ (^) Si se utiliza el año comercial, entonces m = 360/91 = 3.956043956 y la tasa efectiva por periodo es igual

a 7.58333%.

En donde i es la tasa nominal en forma decimal.

Por otro lado, si ie es la tasa de interés simple, en forma decimal, que produce en un año un monto simple $F, entonces:

Como ie es la tasa equivalente a i, entonces ie es la tasa de interés efectiva, en forma decimal.

Por definición de tasa efectiva se tiene que (1) = (2):

Por tanto:

Entonces:

EJEMPLO 7.

Resuelva el ejemplo 7.12 utilizando la ecuación (7.3).

SOLUCION

i = 0. m = 4 periodos de capitalización en el año Al sustituir los valores numéricos en la ecuación (7.3) se obtiene: 0.48 4

Por tanto:

EJEMPLO 7.

Calcule la tasa efectiva de la tasa nominal del 15% semestral capitalizable cada mes.

SOLUCION

Por tanto:

EJEMPLO 7.

Obtenga la tasa efectiva de la tasa nominal del 32% anual capitalizable cada 28 días.

SOLUCION

EJEMPLO 7.

¿En cuál banco invertiría usted su dinero: en el banco ABC que ofrece un 26% con capitalización diaria; o en el banco XYZ que ofrece un 27% capitalizable cada mes?

SOLUCION

Se deben comparar las tasas de interés efectivas. El banco que proporcione la tasa efectiva más alta es el que conviene para invertir. La tasa efectiva en el banco ABC es:

La tasa efectiva en el banco XYZ es:

Se escogería el banco XYZ.

EJEMPLO 7.

Determine la tasa nominal que produce un rendimiento del 41.50% anual efectivo, si el interés se capitaliza cada mes.

11. En nuestro país, antes de la estatización de los bancos, se pagaba el 4.5% anual de interés compuesto semestralmente en las cuentas de ahorro. El primero de septiembre de 1982, al ser estatizada la banca, se modificó la tasa de interés, elevándose al 20% anual con capitalización semestral. Rodolfo Fierro abrió, el 31 de mayo de 1980, una cuenta de ahorros con $ 10,000(viejos pesos) en un banco que capitaliza los intereses devengados el 31 de mayo y el 30 de noviembre de cada año. Obtenga el monto de la cuenta al 30 de noviembre de 1988, sabiendo que no se realizaron depósitos ni retiros posteriores a la apertura de la cuenta. Utilice la regla comercial y considere año comercial.
12. ¿Cuál será el monto compuesto en una cuenta de ahorros que paga el 23.7% de interés capitalizable cada mes si se llevaron a cabo los siguientes movimientos y se desea conocer el saldo al 25 de noviembre?
13. Determine la tasa de interés efectiva que se recibe de un depósito bancario si la tasa nominal es del 45% que se capitaliza cada mes.
14. Encuentre la tasa de interés efectiva equivalente a una tasa nominal del 80% capitalizable cada semestre.
15. Determine la tasa efectiva si la tasa nominal es del 12% capitalizable trimestralmente.
16. $ 13,915 prestados al 30% convertible cada mes por un año y medio. Determine el valor futuro al final del periodo y la tasa de interés efectiva.
17. Utilizando las siguientes tasas de interés nominales, obtenga la tasa efectiva por periodo. a) 24% capitalizable cada quincena. b) 2.5% mensual compuesto cada semestre. c) 38% capitalizable cada 28 días.
18. Obtenga la tasa efectiva para cada una de las siguientes tasas nominales:

a) 8% trimestral capitalizable cada bimestre. b) 30% anual capitalizable cada 180 días. c) 12.5% semestral capitalizable cada 91 días.

19. El señor Mendoza desea un préstamo por 2 años. Le ofrecen dinero al: a) 60% capitalizable cada trimestre b) 64.25% capitalizable cada semestre.
20. ¿Qué banco es preferible para invertir una cierta cantidad de dinero: el Banco del Sur que ofrece un 8.1% compuesto cada trimestre o el Banco del Norte que ofrece un 0.65% mensual compuesto cada mes?
21. ¿Cuál es la tasa nominal que produce un rendimiento del 34.75% anual efectivo, si el interés se capitaliza cada bimestre?

22. Un prestamista desea ganar el 38% efectivo anual sobre un préstamo con intereses capitalizables cada trimestre. Encuentre la tasa nominal que debe cobrar.
23. Una institución bancaria anuncia que otorga una tasa efectiva del 30%. Encuentre la tasa de interés nominal sabiendo que la capitalización es diaria.
24. ¿Cuál es la tasa nominal que produce un rendimiento del 28.4% anual efectivo, si el interés se capitaliza cada 28 días?
25. Calcule el monto de 12,000 dólares en 15 años si se invierten a una tasa efectiva del 12% anual si los intereses se capitalizan cada semestre.

VALOR ACTUAL A INTERÉS COMPUESTO

El valor actual de una inversión a interés compuesto tiene el mismo significado que el valor actual a interés simple. Esto es, el valor actual o valor presente es el capital que invertido ahora, a una tasa de interés dada, alcanzará un cierto monto después de un número determinado de periodos de capitalización.

Este concepto es uno de los más útiles dentro de la matemática financiera, ya que permite obtener el valor que tienen en el momento actual un conjunto de cantidades que han de vencer en el futuro.

De acuerdo a la definición, para calcular el valor actual de un monto compuesto dado basta despejar P de la ecuación (7.2).

EJEMPLO 7.

¿Cuál es el valor actual de $ 10,000 a pagar dentro de 2 años, si la tasa de interés es del 55.2% y los intereses se capitalizan cada bimestre?

SOLUCION

Al despejar P de la ecuación (7.2) y sustituir los valores numéricos, se obtiene: