¡Descarga Cálculo matricial y determinantes - Prof. Estevez Toranzo y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Cap´ıtulo 1
C´alculo matricial
1.1. Vectores
Denotamos por Rn^ o conxunto {(x 1 , · · · , xn) : xi ∈ R}. Os elementos de Rn^ ch´amanse vectores. Se x = (x 1 , · · · , xn), os n´umeros x 1 , · · · , xn son as coordenadas (ou componentes) do vector x. No conxunto de vectores est´an definidas as operaci´ons suma de vectores e produto dun vector por un escalar. Adem´ais, def´ınese o produto escalar dos vectores x = (x 1 , · · · , xn) e y = (y 1 , · · · , yn) como o n´umero real xy = x 1 y 1 + · · · + xnyn
As´ı, por exemplo:
(2, −1) + (4, 5) = (6, 4)
−2(6, − 1 , 12 ) = (− 12 , 2 , −1)
O produto escalar de (3, −2) e (4, 5) ´e igual a 12+(-10) = 2
Se x e y son dous vectores de Rn, chamaremos combinaci´on lineal de x e y a calquer vector da forma ax + by, onde a e b son n´umeros reais. Por exemplo 2(3, 4) + 3(− 1 , 2) = (6, 8) + (− 3 , 6) = (3, 14). Polo tanto, o vector (3, 14) ´e combi- naci´on lineal dos vectores (3, 4) e (− 1 , 2).
1.2. Matrices
Chamamos matriz de orde m × n a un conxunto formado por m × n n´umeros reais, ordeados en m filas e n columnas. Diremos que o elemento situado na fila i-´esima e na columna j-´esima ocupa o lugar ij. Mm×n denotar´a o conxunto das matrices de orde m × n.
Exemplo 1. Un elemento A ∈ M 2 × 3 ser´a por exemplo A =
. Se B =
e
C =
, B ∈ M 2 × 3 e C ∈ M 2 × 2.
En xeral, se A ∈ Mm×n ser´a do xeito A =
a 11 · · · a 1 n · · · · · · · · · am 1 · · · amn
, con aij ∈ R.
No conxunto das matrices de orde m × n definense as seguintes operaci´ons:
suma de matrices: A + B = (aij ) + (bij ) = (aij + bij ) ∈ Mm×n, onde A, B ∈ Mm×n
produto dun n´umero por unha matriz rA = (raij ) ∈ Mm×n, onde r ∈ R e A ∈ Mm×n
1
2 Grado en Econom´ıa: Matem´aticas I
produto de matrices: A.B = (aij ).(bjk) =
n j=1 aij^ bjk
∈ Mm×k onde A ∈ Mm×n e B ∈ Mn×k
Exemplo 2. Se A, B e C son as matrices do exemplo anterior, calcular : A + B, 5 A, − 3 C, CA.
Observaci´on:
- AB 6 = BA
- A.B = 0 , non implica que A o B sean 0 ( 0 ´e a matriz na que todos os seus elementos valen 0)
- A.B = A.C y A 6 = 0 , non implica que B = C
TIPOS ESPECIAIS DE MATRICES:
Se A ∈ Mm×n, a matriz trasposta de A e a matriz que se obt´´ en intercambiando en A filas por columnas. Den´otase por At. Obs´ervese que At^ ∈ Mn×m.
Diremos que unha matriz A ∈ Mn×n ´e sim´etrica cando coincide coa s´ua trasposta, ´e dicir, At^ = A ou equivalentemente aij = aji , para todo i, j.
Propiedades da trasposta:
- (At)t^ = A
- (A + B)t^ = At^ + Bt
- (αA)t^ = αAt
- (AB)t^ = BtAt
Unha matriz cadrada A = (aij ) ∈ Mn×n e´ diagonal se aij = 0, para todo i 6 = j.
Matriz identidade e aquela matriz diagonal na que´ aii = 1, para todo i.
A matriz inversa dunha matriz cadrada A ∈ Mn×n e unha matriz que denotamos´ A−^1 e que verifica que A−^1 A = AA−^1 = I, onde I e a matriz identidade de orde´ n. A inversa de A, se existe, ´e ´unica.
Exemplo 3. Se A, B e C son as matrices do exemplo inicial:
At^ =
(^) ∈ M 3 × 2 Ct^ =
∈ M 2 × 2 C−^1 =
1 2
1 2
A matriz identidade de orde 2 ´e I 2 =
e a matriz identidade de orde 3 e´ I 3 =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1.3. Determinantes
Sexa A unha matriz cadrada de n filas e n columnas. Def´ınese o determinante de A do seguinte xeito: Se n = 1, A = (a) e detA = a.
Se n = 2, A =
a 11 a 12 a 21 a 22
e det A = a 11 a 22 − a 12 a 21.
Caso xeral: se A = (aij ) =
a 11 · · · a 1 n · · · · · · · · · an 1 · · · ann
(^) definimos:
Departamento de Matem´aticas
4 Grado en Econom´ıa: Matem´aticas I
Propiedades da inversa. Se A e B son matrices invertibles:
- A−^1 ´e invertible e (A−^1 )−^1 = A
- A.B e invertible e´ (A.B)−^1 = B−^1 .A−^1
- (At)−^1 = (A−^1 )t
- Se c e un n´´ umero distinto de 0 , (cA)−^1 = A
− 1 c
Definici´on 6. O rango dunha matriz A, r(A), ´e a maior orde dos menores non nulos que cont´en. Dito doutra forma, o rango da matriz A ´e a orde da ”maior”submatriz cadrada con determinante non nulo.
1.4. Sistemas de ecuaci´ons lineais
Definici´on 7. Un sistema de m ecuaci´ons lineais con n inc´ognitas ´e unha expresi´on do tipo
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1 nxn = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2 nxn = b 2 .. .
am 1 x 1 + am 2 x 2 + · · · + amnxn = bm
Este sistema pode escribirse mediante a ecuaci´on matricial AX = b, onde A = (aij ) ∈ Mm×n, X = (x 1 , x 2 ,... , xn)t^ ∈ Rn^ e b = (b 1 , b 2 ,... , bm)t^ ∈ Rm.
- A matriz A denom´ınase matriz de coeficientes do sistema, X matriz de inc´ognitas e b matriz de termos independentes.
- Un vector Xo = (xo 1 , xo 2 ,... , xon) ∈ Rn^ e unha soluci´´ on do sistema AX = b se verifica AXot = b.
- O sistema AX = b denom´ınase homox´eneo se b = (0, 0 ,... , 0)t^ = θ ∈ Rm.
- Un sistema AX = b dise que ´e compatible se ten soluci´on. En caso contrario denom´ınase incompatible.
- Todo sistema homox´eneo ´e compatible, pois o vector nulo ´e sempre unha soluci´on del.
- Se o sistema AX = b e compatible e a soluci´´ on ´e ´unica, diremos que o sistema ´e compatible determinado. Diremos que ´e compatible indeterminado se ten infinitas soluci´ons.
No que segue denotaremos por (A|b) ∈ Mm×(n+1) a matriz que ten como n primeiras columnas as columnas de A e a columna n + 1 e o vector´ b. Esta matriz denom´ınase matriz ampliada do sistema.
Teorema 8 (de Rouch´e-Fr¨obenius). O sistema de m ecuaci´ons lineais con n inc´ognitas, AX = b, ten soluci´on se, e s´o se, rango A = rango(A|b). Ademais, se rango A = rango(A|b) = n o sistema ´e compatible determinado e se rango A = rango(A|b) < n e compatible indeterminado.´
Exemplo 9. Os tres sistemas de ecuaci´ons lineais
x + y + z = 6 2 x − y + z = 3 −x − y + z = 0
x + y − 3 z = 0 2 x − y − 3 z = 3 4 x + y − 9 z = 3
x + y − 3 z = 0 2 x − y − 3 z = 3 4 x + y − 9 z = 5
Departamento de Matem´aticas
Curso 2016-2017 5
poden po˜nerse en forma matricial do xeito seguinte
1 1 1 2 − 1 1 − 1 − 1 1
x y z
(^) =
6 3 0
1 1 − 3 2 − 1 − 3 4 1 − 9
x y z
(^) =
0 3 3
1 1 − 3 2 − 1 − 3 4 1 − 9
x y z
(^) =
0 3 5
Para o primeiro sistema, como det A = − 6 , ent´on rango A = 3 = rango(A|b). O sistema ´e compati- ble determinado.
No segundo sistema, det A = 0, pero
1 1 2 − 1
∣ 6 = 0, polo que o rango de^ A^ vale 2. O determi-
nante da matriz que resulta de substitu´ır a terceira columna de A pola columna de termos inde-
pendentes,
1 1 0 2 − 1 3 4 1 3
, tam´en ´e nulo, polo que o rango da matriz ampliada ´e 2. Temos ent´on que
rango A = rango(A|b) = 2, polo que este sistema ten soluci´on. Tr´atase adem´ais dun sistema compa- tible indeterminado. Finalmente, no terceiro sistema, o rango da matriz A e 2 pero o rango da matriz ampliada ´´ e 3. Logo este sistema non ten soluci´on, ´e incompatible.
