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Ejercicios de Cálculo Matricial
1. Efectúe los siguientes productos matriciales:
a) 2 2 2 12 2
x x
Solución: (^131122)
x
b) 2 2 4 5 3 23
x x
Solución: (^14223)
x
c)
3 3 2 1 3 2 34
x x
Solución: (^301234)
x
d) ( )
42
14
1 0
x
x
⋅ Solución: ( 10 0 ) 1 x 2
2. Dadas (^0132)
x
A
x
B
= Compruebe que no se cumple la
propiedad conmutativa, es decir que A ⋅ B ≠ B ⋅ A
Solución:
22 33
x x
A B B A
3. Dadas las siguientes matrices:
A B C
Calcule:
a) A ⋅ B ⋅ C
Solución:
A ⋅ B =
^ ⋅^ =
−^ −
A B C
−^ −
b) t t t A ⋅ B ⋅ C
Solución: 2 4 0 2 4 4 1 3 1 2 3 4
A^ t ⋅ Bt = ^ ⋅ ^ =^ − −^ − 4 4 2 3 4 4 3 4 1 4 2 7
A^ t ⋅ Bt ⋅ C t = ^ −^ ⋅ ^ =^ − −^ −
c) 2 A + B + 3 C
Solución:
^ =
^ +
d) t t t C ⋅ B ⋅ A
Solución:
^ ⋅
^ ⋅
e) 2 C t^ ⋅ 4 At ⋅ 3 Bt
Solución: 2 3 2 4 0 2 4 6 8 16 0 6 2 4 3 1 4 1 3 1 2 2 8 4 12 3 6
−^ −
4. Siendo (^)
A , calcule 2 , 2 A − A − I siendo I la matriz identidad.
Solución:
^ =
^ ⋅
A A
^ =
^ −
^ −
5. Calcule el determinante de las siguientes matrices:
a)
A Solución: A =− 5
7. Calcule para qué valores de a ∈ ℝ es invertible la siguiente matriz:
a
a a
a A 0 1 2
Solución: 2 2 A = (2 − a ) 2 a − a − 2 (1 a − a ) = 4 a − 2 a − a − 2 a + 2 a = a
Por tanto, tiene inversa para a ≠ 0.
8. Calcule el valor de a para que las siguientes matrices sean invertibles.
a)
a
A
Solución: a ≠ 0
b)
a a B a a
Solución: a ≠ 1 , − 1
9. Averigüe el rango de las siguientes matrices:
a)
A Solución: rg ( A )= 2
b)
B
−^ −
−^ −
Solución: rg B ( ) = 1
c)
C Solución: rg ( C )= 3
10. Calcule el rango de las siguientes matrices, según los valores de a :
a)
1 a 2 A
Solución: A = − 6 + 4 a − 6 + 4 a = 8 a − 12
Entonces
2, si 8 ( ) 12 3, si 8
a rg A a
b)
1 2 3 a B
Solución:
2, si 4 ( ) 1, si 4
a rg B a
^ ≠
11. Utilizando las propiedades correspondientes, y suponiendo que las siguientes
matrices son regulares, resuelva las siguientes ecuaciones matriciales:
a) − 1 AXB = C B T
Solución:
A −^1 AXBB −^1 = A C B −^1 T −^1 B −^1 ; X = A CB −^1 −^1 B −^1
b) AX + BX = C
Solución:
( A + B ) X = C ; ( A + B )−^1 ( A + B ) X =( A + B )−^1 C ; X =( A + B )−^1 C
c) X −^1 A = B
Solución:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; ; ; − − − − − − − − − − X AA = BA X = BA X = BA X = AB
d) AX + X = B + C
Solución:
( A + I ) X = B + C ; ( A + I )−^1 ( A + I ) X =( A + I )−^1 ( B + C ); X =( A + I )−^1 ( B + C )
