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RESUMEN TEORIA MATEMATICAS 5
LIMITES
Definición. Sea : ^ → ,
, lim→̅ , ^ , =
Significa que cuando , esta cerca de ̅, entonces , esta cerca de L. De otra forma se dice que , pertenece a una bola centrada en ̅, por otro lado, ∀ ∃ tal que , ∈ ̅, => | , , − | < , ≠ ̅, .
NOTA: Denotamos como! ya que en el plano 2D el conjunto cercano a un punto ya no es un intervalo sino un circulo de radio y en el espacio 3D el conjunto cercano a un punto es una esfera de radio . Puede Uds. usar! " . Denotamos ̅, ^ como la bola de radio r centrada en ̅,
COMO USAR LA DEFINICION DE LÍMITES.
1.- Utilizamos caminos, se recomienda ante todo rectas = # − $ + $ siendo $, $^ el punto a donde se quiere determinar el límite.
i.- Si el límite a lo largo de la recta depende de la pendiente (m) entonces NO EXISTE. ii.- El limite a lo largo de la recta no depende de (m). Produce un mismo valor L. entonces este valor será el candidato para usar la definición de limite.
IMPORTANTE. Este valor L va a ser el único valor posible del límite f cuando , → ̅, .
2.- Calculamos | , − |^ tomando una bola con > 0 y ̅, ^ en esta bola tratamos de acotar en función de . Podemos usar para acotar | , − ̅, | < significa que la distancia entre los puntos es menor que el radio, esto se traduce a varios casos.
i.- ' − ̅^ + − ^ < => luego cota superior será (r)
ii.- − ̅^ + − ^ < ^ => ()) * = ^ =>^ − ̅
= ̅ => − ^ <
I.- Si tenemos éxitos en acotar la función, es decir | , − | < + < => < ℎ
Se cumple la definición y el límite existe.
II.- Si no logramos acotar la función. Entonces probemos con otro camino (segunda opción Parabolas = #) si el limite resulta ser diferente luego el limite no existe. Ya que dicho valor debe ser único para cualquier trayectoria.
CONTINUIDAD.
Definición.
Se dice que es continua en ^ ̅, ^ si y solo si
, lim→̅ , , = ̅,
DERIVADAS PARCIALES.
Sea : ^ → si
lim →-
Existe, su valor se llama derivada parcial de f con respecto a x, de manera análoga se cumple con y.
Se puede escribir de otra forma.
lim /→$
lim /→$
DIFERENCIABILIDAD.
Se debe cumplir el siguiente límite, para que la función ser diferenciable.
, lim→̅ ,
DERIVADAS DIRECCIONALES.
Definición, sea la función , el punto ; ̅, y el vector UNITARIO de dirección < = <=, <
= lim >→$
SERIE DE TAYLOR.
, = ̅, + 〈∇ ̅, , T
U〉 + 〈
V ̅, . 7 W ̅W 8
, T
U 〉
Donde definimos V ̅, como la HESSIANA dada por
V ̅, =
Y
Z
[
D
D
M
D ,
D
N
D
D
M
D ,
D
N
D
D
M
D ,
D
N
D
D
M
D ,
D
N
\
]
^
Se debe cumplir que
D , DD
D ,
DD
TEORIA MAXIMOS Y MINIMOS LOCALES DE f.
1.- Puntos Críticos, se debe cumplir que
∇ ̅, = 0,0
i.- Si 〈V ̅, . _, 〉 > 0, ∀ ∈ ^ − 0,0 => en ̅, tiene un mínimo local.
ii.- Si 〈V ̅, . _, 〉 < 0, ∀ ∈ ^ − 0,0 => en ̅, tiene un máximo local.
iii.- Si 〈V ̅, . _, _〉 > 0 〈V ̅, . _, _〉 < 0 => ̅, es un punto silla de f. (Inflexión)
OTRO METODO.
i.- Si detJV ̅, L < 0 entonces en ̅, es un punto silla.
ii.- Si detJV ̅, L > 0 y el primer termino de la matriz es
I.- )== > 0 en ̅, f tiene un MINIMO. II.- )== < 0 en ̅, f tiene una MAXIMO.
iii.- Si detJV ̅, L = 0 NO concluyo.
MAXIMOS Y MINIMOS GLOBALES.
i.- Obtener puntos críticos de f tal que
∇ , = 0,0
Se elimina lo que no están en interior del Dominio D.
Evaluamos en f.
ii.- En la frontera, buscamos máximos o mínimos de f.
Evaluamos.
iii.- Comparamos los valores y decidir cuáles son los máximos y mínimos globales.
METODO DE COEFICIENTES DE LAGRANGE.
i.- Ante todo parametrizamos la frontera, en termino de trigonometría o bien sea funciones polinómicas sencillas.
ii.- Usamos el método de multiplicadores de LaGrange, se tiene que si d , ^ es la frontera de la función ,
*∇ , = e ∇d , d , = 0
Se define el jacobiano como
)2".})~" = (^) ^ det
Y
ZZ
[
Y
Z
[
Dℎ
D
Dℎ
D
Dℎ
D
Dℎ
D \
]
^
\
]]
^
COORDENADAS POLARES.
Sea el cambio de variable
u = M
cos sin N
El jacobiano del cambio será
|)2".})~" =
.- Se debe determinar los intervalos donde se define .
INTEGRALES TRIPLE.
Def:
, , H_H
FUBINI.
Cuando la región a integrar sea un CUADRADO el orden de integración puede ser cualquiera, es decir, la primera variable a integrar puede ser cualquiera.
INTEGRACION TRIPLE.
Sea ∁?
Para calcular la integral triple en Ω primero debemos dibujar Ω, luego se escoge la primera
variable, debemos considerar la (" donde se calcula ∬s por lo cual la primera variable será la que NO está en el plano.
CAMBIO DE VARIABLE.
Coordenadas cilíndricas equivale a las coordenadas polares en la proyección de Ω.
COORDENADAS ESFERICAS
Sea el cambio de variable.
u =
= sin cos sin sin H cos
El jacobiano es ^ sin
Es importante notar el intervalo de las nuevas variables, para ello vea la figura y tome en cuenta la región dada. Phi es el ángulo con respecto al eje z, theta con respecto a el eje x y rho es la longitud del centro al punto P.
