Cálculo numérico, la interpolación, Apuntes de Análisis Matemático

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CALCULO NUMERICO (UPV-EHU)

TEMA

PROF. 16-

CALCULO NUMERICO

6. INTERPOLACION

En el tema anterior ya se comentaba que una de las aplicaciones habituales del ajuste de curvas

era la interpolación de resultados, es decir, la estimación de valores intermedios entre datos

definidos por puntos. Para ello se ajustan los datos discretos a una curva, pero a diferencia de las

técnicas de ajuste de curvas estudiadas en el capítulo anterior, que encuentran la función que mejor

ajusta sin pasar necesariamente por los puntos, las técnicas de interpolación buscan la función que

pasa por todos los puntos disponibles.

Conviente recordar que dados n+1 puntos, hay uno y sólo un polinomio de grado n que pasa a

través de todos los puntos:

n n

2 f (x)= a 0 +a 1 x+a 2 x +...+a x (6.1)

Así sólo hay una recta que pasa por dos puntos, o única es la parábola que pasa por tres, etc…

La ec. (6.1) es una herramienta muy útil para calcular valores intermedios.

Aunque hay un solo polinomio de grado n que pasa por n+1 puntos, existe una gran variedad de

fórmulas matemáticas para obtener la expresión matemática correspondiente. En este tema

estudiaremos varias alternativas.

6.1. Interpolación de Newton

El polinomio de interpolación de Newton por diferencias divididas es una de las formas más

populares y útiles de aproximar una serie de n+1 datos discretos a un polinomio de grado n.

La forma más simple de interpolación consiste en unir un par de puntos por medio de una línea

recta, y se basa en utilizar triángulos semejantes (Figura 6.1):

1 0

1 0

0

1 0

x x

f(x) f(x )

x x

f(x) f(x )

(6.2)

La ec. (6.2) tras ordenar se convierte en:

(x x ) x x

f(x) f(x ) f (x) f(x ) 0

1 0

1 0 1 0 − −

La notación f 1 (x) se utiliza para resaltar que éste es un polinomio de interpolación de primer orden.

Nótese que el término [f(x 1 )-f(x 0 )]/(x 1 -x 0 ), además de representar la pendiente de la recta que une los

dos puntos es una aproximación en forma de diferencia a la primera derivada. En general, cuanto

menor sea el intervalo entre los datos, más exacta es la aproximación.

Una estrategia para mejorar la estimación consiste en introducir alguna curvatura a la línea que une

los puntos. Si se tienen tres puntos como datos, éstos pueden ajustarse a un polinomio de segundo

grado (parábola). La expresión general es:

CALCULO NUMERICO

3. Con los valores de b 0 y b 1 se evalúa la ec. (6.4) en x=x 2 para obtener después de despejar:

2 0

1 0

1 0

2 1

2 1

2 x x

x x

f(x) f(x )

x x

f(x ) f(x)

b −

Como en la interpolación lineal, b 1 representa la pendiente de la línea que une x 0 y x 1 , y el último

término, b 2 (x-x 0 )(x-x 1 ) determina la curvatura de segundo grado.

El análisis anterior puede generalizarse para ajustar un polinomio de grado n a n+1 datos, de

manera que el polinomio será:

f (^) n (x)= b 0 +b 1 (x−x 0 )+b 2 (x−x 0 )(x−x 1 )+...+bn(x−x 0 )(x−x 1 )...(x−xn− 1 ) (6.10)

Como se hizo antes, los puntos se utilizan para evaluar los coeficientes b 0 , b 1 , b 2 , …, bn. Sabemos

que para un polinomio de n grado se requieren n+1 puntos. Usaremos estos datos y las siguientes

ecuaciones para evaluar los coeficientes:

b 0 = f(x 0 ) (6.11a)

b 1 = f [ x 1 ,x 0 ]

]

]

(6.11b)

b 2 = f [ x 2 ,x 1 ,x 0 (6.11c)

…

b n = f [x n,xn− 1 ,..., x 2 ,x 1 ,x 0 (6.11d)

donde las evaluaciones de la función entre corchetes son diferencias finitas. La primera se

representa de forma general como:

[ ]

i j

i j i j x x

f(x) f(x) f x,x −

La segunda diferencia finita representa la diferencia de las dos primeras diferencias divididas, y se

expresa de forma general como:

[ ]

[ ] [ ]

i k

i j j k i j k x x

fx,x fx,x f x,x,x −

De forma similar, la n-ésima diferencia dividida finita es: …

[ ]

[ ] [ ]

n 0

n n 1 2 1 n 1 2 1 0 n n 1 2 1 0 x x

fx,x ,...,x,x fx ,...,x ,x,x f x,x ,...,x ,x,x −

− − − (6.14)

6 INTERPOLACION

6.2. Polinomios de interpolación de Lagrange

El polinomio de interpolación de Lagrange es simplemente una reformulación del polinomio de

Newton que evigta el cálculo de las diferencias divididas finitas, y se representa de forma concisa

como:

=

n

i 0

fn (x) Li(x)f(xi) (6.15)

siendo

≠

n

j i

j (^0) i j

j i x x

x x L (x) (6.16)

La ec. (6.16) representa el productorio o “producto de”. La versión lineal (n=1) es:

f(x ) x x

x x f(x ) x x

x x f (x) 1

1 0

0 0 0 1

1 1 −

y la versión de segundo grado es:

f(x ) x x x x

x x x x

f(x) x x x x

x x x x f(x ) x x x x

x x x x f (x)

2 2 0 2 1

0 1

1 1 0 1 2

0 2 0 0 1 0 2

1 2 2

(6.18)

La ec. (6.15) se obtiene de forma directa del polinomio de Newton.

6.3. Interpolación inversa

En la mayoría de los problemas de interpolación x y f(x) son las variables independiente y

dependiente respectivamente, por lo que el problema se plantea como conocer un valor de f(x) para

un determinado valor de x intermedio entre otros valores conocidos.

Sin embargo en ocasiones la interpolación se debe plantear al reves, (es decir, determinar el valor

de x que corresponde a un valor dado de f(x))

A ese problema se le conoce como interpolación inversa. En principio, uno puede sentirse tentado a

intercambiar los valores de f(x) y x [es decir, graficar x contra f(x )] y usar un procedimiento como la

interpolación de Lagrange para determinar el resultado. Por desgracia, cuando se invierten las

variables no hay garantías de quelos valores de la nueva abscisa [las f(x)] estén espaciadas de

manera uniforme. Es más, en muchos casos los valores estarán “c ndensados”, es decir, tendrán la

apariencia de una escala logarítmica, con algunos puntos adyacentes muy amontonados y otros

muy dispersos. Tal espaciamiento no uniforme en las abscisas a menudo lleva a oscilaciones en el

resultado del polinomio de interpolación.

6 INTERPOLACION

yy2=interp1(x,y,xx,'spline');

yy3=interp1(x,y,xx,'nearest');

EXCEL: Comandos para INTERPOLACION

• Interpolación con comando TENDENCIA para datos tabulados

Fórmula TENDENCIA, (TREND)

Sintaxis : TENDENCIA(valores_y,valores_x,nuevo_valor_x, cte) (si cte=0 o FLASO ⇒ O.O=0)

Nuevo_valor_x es el valor de x en el que se quiere interpolar el resultado

Interpolación Lineal para una tabla de datos (y=ax+b): (para todo el rango de datos)

ej : TENDENCIA(valores_y, valores_x, nuevo_valor_x)

Uso: Sean valores_y en celdas A3:A14 y valores_ x en caldas B3:B14, para calcular el valor

interpolado para valor de x dado por la celda B16, se introduce la fómula:

=TENDENCIA(A3:A14,B3:B14,B16,1)

Interpolación segmentaria lineal (entre pares de datos) =TENDENCIA(A10:A11,B10:B11,F18,1)

Interpolación cuadrática (necesita especificar 3 puntos, y definir nueva columna (C) con x^2)

=TENDENCIA(A20:A22,B20:C22,B24:C24,1)

{=TENDENCIA(A20:A22,B20:B22^{1;2},B24^{1;2},1)

Interpolación cúbica (se requieren 4 puntos, y definir nuevas columnas (C y D) con x^2 y x^3)

=TENDENCIA(A20:A23,B20:D23, B25:D25,1)

{=TENDENCIA(A20:A23,B20:B23^{1;2;3}, B25^{1;2;3},1)