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1 Notas de caracter académico
2 Funciones de varias variables
2.1 Dominio y rango
Inicialmente, se define una función de dos variables independientes y
al final se generaliza para n variables independientes.
Definici�n 1. Sean D ⊂ R^2 e I ⊂ R dos subconjuntos no vacíos.
Si a cada par ordenado (x; y) de números reales en D se le asigna
uno y sólo un elemento z de I según una regla determinada f , se dice
que sobre el conjunto D se ha definido la función f con el conjunto de
valores I.
Una forma de visualizar una función es mediante un diagrama, como
se muestra en la figura, en donde el dominio D se representa como
un subconjunto del plano (x, y)
(a, b) f^ (a,^ b)
(x, y)
f (x, y)
(x 0 , y 0 ) f (x 0 , y 0 )
0
z
x
y
Figure 1
Una función en donde x y y son variables independientes, y z es la
variable dependiente, se expresa como z = f (x, y) pero también se
puede expresar como D
f → I o como D ⊂ R^2
f → R o también f : D → I
con z = f (x, y) o f : D ⊂ R^2 → R con z = f (x, y) en donde D es el
dominio de la función y el rango es el conjunto de valores que toma f ,
es decir { f (x, y) : (x, y) ∈ D}
Ejemplo 1. Dada la función z = f (x, y) = x^2 − xy^2 hallar su dominio
y evaluarla en los puntos (−2, − 2 ) , (1, 2) y (−2, 1)
2 Funciones de varias variables
Solución. La función está definida para todos los valores (x, y) , luego
el dominio de la función es R^2. Reemplazando x = − 2 y y = − 2 se
tiene que
f (−2, − 2 ) = (− 2 )
2 − (− 2 ) (− 2 )
2 = 12,
de forma análoga
f (1, 2) = ( 1 )
2 − ( 1 ) ( 2 )
2 = − 3
f (−2, 1) = (− 2 )
2 − (− 2 ) ( 1 )
2 = 6
Observación
- El dominio de una función de dos variables, en general, es determi- nado por una región del plano.
- Cuando la función está definida por z = f (x; y) y no se indica el corre-
spondiente dominio D, se sobreentiende que el dominio viene implícito
en la fórmula, y está formado por todos los pares (x, y) para los cuales la fórmula tiene sentido.
- En la función z = f (x; y), las variables x y y son las variables indepen-
dientes, y z es la variable dependiente.
Ejemplo 2. Dada la función z =
c^2 − x^2 − y^2 en donde c es una
constante, hallar el dominio y hacer su gráfica.
Solución. Para que la función esté bien definida, c^2 − x^2 − y^2 ≥ 0, o en
forma equivalente x^2 + y^2 ≤ c^2 , luego D =
{ (x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 ≤ c^2
} ,
es decir, el dominio es el círculo con centro en el origen y radio c in-
cluyendo la circunferencia frontera. La gráfica del dominio se mues-
tra a continuación.
x^2 + y^2 = c^2
x
y
Figure 2
4 Funciones de varias variables
x
y
Figure 5
Ejemplo 6. Hallar el dominio de la función f (x, y) = sin−^1
x
y^2
Solución. La función está definida si − 1 ≤ x y^2
≤ 1, y y 6 = 0 luego
D =
(x, y) ∈ R^2 : y 6 = 0 y − y^2 ≤ x ≤ y^2
, es decir, la región de R^2
comprendida entre las parábolas x = y^2 y x = −y^2 , incluidas ambas
parábolas y excluido el punto O (^) (0, 0)
Gráficamente
x
y
x = −y^2 x = y^2
Figure 6
Los conceptos dados anteriormente se generalizan para funciones
de más de dos variables independientes, como se muestra a contin-
uación.
Definici�n 2. Sean D ⊂ R n^ e I ⊂ R dos subconjuntos no vacíos.
Si a cada n-tupla (x 1 , x 2 ,... , xn) de números reales en D se le asigna
uno y sólo un elemento z de I según una regla determinada f , se dice
que sobre el conjunto D se ha definido la función f con el conjunto de
valores I.
Funciones de varias variables y sus derivadas 5
Ejemplo 7. Dada la función w = f (x, y, z) = xy^2 z + 3 xyz^2 + 3 z, hallar
f (−1, −1, − 2 ) , f (0, 0, 0) y f (−1, 0, 1) y determinar el dominio de la
función.
Solución. Reemplazando x = −1, y = − 1 y z = − 2 se obtiene
f (^) (−1, −1, − (^2) ) = (− (^1) ) (− (^1) )
2 (−^2 ) +^3 (−^1 ) (−^1 ) (−^2 )
2
y de forma similar f (0, 0, 0) = 0, f (−1, 0, 1) = 3
El dominio es D =
(x, y, z) ∈ R
3 : x ∈ R , y ∈ R y z ∈ R
Ejemplo 8. Dada la función w = f (x, y, z) =
1 − x^2 + y^2 + z^2 , de-
terminar su dominio.
Solución. El dominio es D =
(x, y, z) ∈ R^3 : 1 − x^2 + y^2 + z^2 ≥ 0
Ejercicios 1.
Calcular los valores de la función
1. f (x, y) = x^2 y +
y x +^
x y ;^ f^ (1, 2)^ ,^ f^ (2,^ −^3 )
2. g (x, y) = (x + y) exy; g (1, 0) , g (1, 1) 3. F (r, s) =
ln(r+s) r+ 2 s ;^ F^ (1, 0)
Determinar el dominio de f y dibujarlo como una región de R^2
4. f (x, y) = 1 x^2 +y^2 − 1
Solución: D =
(x, y) : x^2 + y^2 6 = 1
5. f (x, y) =
x+y+ 1 x− 1 Solución:^ D^ =^
(x, y) : x < y^2
6. f (x, y) =
x^2 − y 7. f (x, y) =
exy ln(x+y)
8. f (x, y) = √^1 16 −x^2 − 4 y^2 9. f (x, y) = x ln
y^2 − x
10. f (x, y) = ln
4 x + 4 y^2 − 3
11. f (x, y) =
x^4 −y^4 x^2 −y^2 Solución:^ D^ =^ {(x,^ y)^ :^ x^6 =^ ±y}
Funciones de varias variables y sus derivadas 7
Ejemplo 10. Graficar, en el espacio, la función x = y
Solución. A z se le puede asignar cualquier valor independiente de
los valores que se le den a x y a y, en particular, los puntos (1, 1, 0) ,
(1, 1, 1) , (−1, −1, 3) y (x, x, z) para cualquier valor de z son puntos de
la gráfica.
Ahora, si z = 0, x = y es una recta en el plano xy; Si z = 1, x = y es
una recta en el plano paralelo a una unidad por encima del plano xy
y así sucesivamente.
La gráfica de la función es el conjunto de todos los puntos sobre las
rectas verticales que pasan por la recta x = y, y la figura 9 es la
porción de la gráfica que se encuentra en el primer octante es decir
cuando x, y y z son positivos.
y
z
x
Figure 9
Observación Si a, b, c y d son constantes, la gráfica de ax + by + cz + d = 0 es un plano
Ejemplo 11. Dibujar la gráfica de f (^) (x, y) = 6 − 3 x − 2 y
Solución. Por la observación anterior, la gráfica es un plano.
Si x = 0 y y = 0, el intercepto con el eje z es 6. Si x = z = 0 el
intercepto con el eje y es 3 y con y = z = 0 se tiene que el intercepto
con el eje x es 2
Para las trazas, si z = 0, 6 − 3 x − 2 y = 0 es una recta en el plano xy,
8 Funciones de varias variables
si x = 0, z = 6 − 2 y es una recta en el plano yz y si y = 0 z = 6 − 3 x es
una recta en el plano xz.
La gráfica realizada en Mathematica se muestra a la izquierda, y a la
derecha se ilustra la porción que está en el primer octante.
0
5
10
15
Figure 10
y
z
x
(0, 3, 0)
(0, 0, 6)
(2, 0, 0)
Figure 11
Observación
El conjunto de todos los puntos del espacio a una distancia constante r
de de un punto fijo (x 0 , y 0 , z 0 ) es una esfera con ecuación
(x − x 0 )
2
2
2 = r^2
Ejemplo 12. Graficar x^2 + y^2 + z^2 + 4 x − 6 y − 2 z + 13 = 0
Solución.
x^2 + 4 x
y^2 − 6 y
z^2 − 2 z
x^2 + 4 x + 4
y^2 − 6 y + 9
z^2 − 2 z + 1
y así (x + 2 )^2 + (y − 3 )^2 + (z − 1 )^2 = 1
La gráfica es una esfera con centro en (−2, 3, 1) y radio 1 como se
muestra en la figura 12.
10 Funciones de varias variables
y algunos casos particulares son:
x^2 a^21 +^
y^2 a^22 +^
z^2 a^23 =^1 son elipsoides,^ a
2 1 z
(^2) = x (^2) + y (^2) es un cono recto doble
circular, z^2 =
x^2 a^21
y^2 a^22
es un cono elíptico, z =
x^2 a^21
y^2 a^22
se denomina
paraboloide elíptico, la gráfica de las expresiones x
2 a^21
y^2 a^22
− z
2 a^23
= 1 ó
− x
2 a^21
y^2 a^22
2 a^23
= 1 ó x
2 a^21
y^2 a^22
2 a^23
= 1 se llama hiperboloide de una
hoja y la gráfica de x
2 a^21
y^2 a^22
− z
2 a^23
= 1 ó − x
2 a^21
y^2 a^22
− z
2 a^23
= 1 ó la ecuación
− x
2 a^21
y^2 a^22
2 a^23
= 1 se llama hiperboloide de dos hojas.
Ejemplo 14. Realizar la gráfica de z^2 = 16 − 4 x^2 − 16 y^2
Solución. x
2 4 +^ y
(^2) + z^2 16 =^1 es la gráfica de un elipsoide.
Si z = 0, x
2 4 +^ y
(^2) = 1, y así la traza en el plano xy es una elipse.
Si y = 0, z
2 16 +^
x^2 4 =^ 1,^ y así la traza en el plano^ xz^ es una elipse
Si x = 0, z
2 16 +^ y
(^2) = 1, y así la traza en el plano xz es una elipse. La
gráfica se muestra a continuación.
0
1
2
0
2
4
Figure 14
Ejemplo 15. Dibujar la gráfica de la función f (^) (x, y) = 4 x^2 + y^2
Solución. La expresión es un paraboloide elíptico.
Las gráficas sobre planos paralelos al eje z son elipses y sobre planos
paralelos al eje y al igual que sobre planos paralelos al eje x son
Funciones de varias variables y sus derivadas 11
parábolas. La gráfica se muestra a continuación
- 1 -^2 1 0 2
- 2 - (^1 0 1 )
0
5
10
15
20
Figure 15
Ejemplo 16. Dibujar la gráfica de f (x, y) =
x^2 + y^2
Solución. En planos paralelos al eje z ≥ 0 se obtienen circunferen-
cias; en los planos xz y yz se tienen rectas. La gráfica se muestra a
continuación.
1 2
0
1
2
0 1
2
0
1
2
Figure 16
Ejemplo 17. Gráficar z = y^2 − x^2
Solución. La gráfica de la función se conoce como paraboloide hiper-
bólico o silla de montar.
En los planos xz y yz se obtienen parábolas, y en planos paralelos al
eje z se obtienen hipérbolas.
Funciones de varias variables y sus derivadas 13
la ecuación f (x 1 , x 2 ,... , xn) = k donde k es una constante en el rango
de la función.
Si la función es de dos variables independientes las superficies de
nivel toman el nombre de curvas de nivel.
Ejemplo 18. Determinar las curvas de nivel de z =
x^2 + y^2
Solución. Si z = k es constante y elevando al cuadrado se obtiene
x^2 + y^2 = k^2 y asignando diferentes valores a k 6 = 0 se obtienen cir-
cunferencias con centro en el origen de coordenadas y radio k
En los siguientes ejemplos, las gráficas son realizadas en Mathemat-
ica: a la izquierda se observa la gráfica de z = x^2 + y^2 ; a la derecha se
aprecian las superficies de nivel en tres dimensiones, y al centro, las
superficies de nivel bidimensionales.
Ejemplo 19. Hallar las curvas de nivel de z = x^2 + y^2
Solución. Suponiendo z = k constante, la ecuación x^2 + y^2 = k (k ≥ 0 )
para diferentes valores de k son circunferencias concéntricas con cen-
tro en el origen de coordenadas y radio
k.
0 2
4
(^210) - 1 - 2
0
5
10
15
20
0 2
4
0
(^21)
0
5
10
15
20
0
1
2
Figure 18
Ejemplo 20. Hallar las curvas de nivel de f (x, y) = 4 x^2 + y^2
14 Funciones de varias variables
Solución. Suponiendo k constante, se tiene k = 4 x^2 + y^2 las cuales
son elipses como se muestra en la figura
0 1
2
(^10) 2
0
5
10
15
20
1 2
(^10) 2
0
5
10
15
20
0
1
2
Figure 19
Ejemplo 21. Hallar las curvas de nivel de la función f (x, y) = x + y^2
Solución. Suponiendo k constante, se tiene k = x + y^2 las cuales son
parábolas con su intersección con el eje x en k como se muestra en la
figura
1 2
(^2 10) - (^1) - 2 -^2
0
2
4
6
0
1
2
0
2
4
6
0
1
2
Figure 20
Ejemplo 22. Hallar las curvas de nivel de la función f (x, y) = ey
Solución. La superficie y las curvas de nivel se muestran a contin-
uación
16 Funciones de varias variables
ción
7. f (x, y) =
x + y;
8. f (x, y) =
x^2 + y^2 ; Solución: ver ejemplo 18
9. f (x, y) = y − cos x 10. f (x, y) = exy
Describa las curvas de nivel de la función
11. z =
9 − x^2 − y^2 Solución: ver ejemplo 13
12. x^2 + y^2 + z^2 = 1 13. z = y^2 − x^2 Solución: ver ejemplo 17 14. z^2 = 16 − 4 x^2 − 16 y^2 Solución: ver ejemplo 14 15. 2 x + 4 y + 6 z = 12
Describa las superficies de nivel de la función
16. f (x, y, z) = x + 2 y + 5 z Solución: Familia de planos paralelos 17. f (x, y, z) = x^2 + (y − 1 )
2
- z^2 Solución: Familia de esferas
18. f (x, y) = x^2 + 3 y^2 + 5 z^2 19. f (x, y) = x^2 − y^2 + z^2
Solución: Hiperboloides con el eje en el eje y
