Cálculo de Varias Variables: Aplicaciones en Ingeniería, Apuntes de Cálculo

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CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES

Facultad de Ingeniería

Explorando las aplicaciones de la

integral doble y el jacobiano en la

ingeniería

Estudiante 1 : Hola, ¿has visto las aplicaciones de la integral doble en ingeniería?

Estudiante 2 : Sí, recuerdo haber leído sobre ello en el material de CANVAS que colgó el

profesor. La integral doble es útil para calcular áreas de superficies tridimensionales y

volúmenes.

Estudiante 1 : Sí, esas son algunas de las aplicaciones básicas. Pero también se puede usar para

encontrar el centro de masa de un objeto tridimensional.

Estudiante 2 : Eso es interesante. También he oído que la integral doble se usa en ingeniería

para calcular el flujo de fluidos a través de una superficie.

Estudiante 1 : Sí, eso es cierto. Y el Jacobiano es importante en estas aplicaciones porque es la

relación entre los cambios en las variables de entrada y los cambios correspondientes en las

variables de salida.

Estudiante 2 : Ah, eso lo recuerdo. ¿Puedes explicar cómo se relaciona con la integral doble?

Estudiante 1 : Sí, el Jacobiano es una matriz que describe la relación entre las variables de

entrada y salida en una función. En la integral doble, se usa para cambiar de coordenadas

cartesianas a coordenadas polares o viceversa, lo que puede simplificar mucho los cálculos.

Estudiante 2 : Ah, entiendo. Eso puede ser muy útil para hacer cálculos más rápidos y precisos

en la ingeniería.

Estudiante 1 : Exacto, y es por eso que es importante que los ingenieros tengan una comprensión sólida de las integrales dobles y

del Jacobiano.

Logros esperados

• Resuelve ejercicios y problemas de aplicación a diversas ciencias, en

diversos contextos, que involucran el uso de integrales dobles iteradas y

un cambio adecuado de coordenadas.

Aplicaciones de las integrales

dobles: masa y centro de

masa de una lámina plana

EJEMPLO

Determine la masa de una lámina 𝐷 limitada por un triángulo con vértices 0 ; 0 ; 2 ; 1 y

0 ; 3 , cuya densidad en cada punto 𝑥; 𝑦 está dada por 𝜌 𝑥; 𝑦 = 𝑥 + 𝑦.

Solución

Facultad de Ingeniería

Momento y centro de masa

Considere una delgada placa que tiene la forma dada por la región 𝐷 del plano

y cuya densidad está dada por la función continua 𝜌(𝑥; 𝑦), entonces los

momentos de masa respecto a los ejes 𝑋 e 𝑌 son

𝒚

𝑫

𝑫

Luego, si 𝑚 es la masa de la lámina, las coordenadas del centro de masa

están dadas por ( 𝑥ҧ; 𝑦ത) donde:

𝒙

𝑫

𝒚

𝑫

𝒙

𝑫

𝑫

Aplicaciones de las integrales

dobles: área de una porción

de superficie

Área de una superficie

Si 𝑓 y sus primeras derivada parciales son continuas en una región cerrada 𝑹

del plano 𝑿𝒀, entonces el área de la superficie

está dada por:

𝑹

𝟐

𝟐

Gráfica de 𝑓

𝑅

𝒙

𝒚

𝒛

𝑠

Área de una superficie

Si la región cerrada 𝑹 está en el plano 𝒀𝒁, entonces el área de la superficie 𝑺,

descrita por 𝑥 = 𝑓 𝑦; 𝑧 , sobre 𝑅 es

𝑨 𝑺 = ඵ

𝑹

𝟏 +

𝝏𝒇

𝝏𝒚

𝟐

𝝏𝒇

𝝏𝒛

𝟐

𝒅𝑨

Gráfica de 𝑓

𝑅

𝒙

𝒚

𝒛

𝑠

EJERCICIO

Calcule el área de la superficie 𝑧 = 2 𝑥 + 2 𝑦 que está ubicada sobre el triángulo

de vértices 0 ; 0 ; ( 0 ; 2 ) y 2 ; 0

Solución

Facultad de Ingeniería

CASO PARA QUE ANALICE EL ESTUDANTE:

Sea el sólido limitado por las superficies de ecuaciones:

𝑦 + 𝑧 = 4 ; 𝑧 = 𝑥

2

; 𝑦 = 0.

Calcule:

a) El volumen de este sólido.

b) El área de la porción de plano que limita superiormente a este sólido.

c) El área de la proyección del sólido sobre el plano 𝑋𝑌.

Solución

PASO 1: Graficamos el sólido. Notemos que al proyectar

sobre el plano 𝑋𝑌 el volumen se calcula por la integral

𝐸

𝑋𝑌

𝐸

𝑋𝑌

2

𝒙

𝒚

𝒛

𝒚 + 𝒛 = 𝟒

𝒛 = 𝒙

𝟐

a)

CASO PARA QUE ANALICE EL ESTUDIANTE:

Podemos simplificar los cálculos si proyectamos sobre el plano 𝑋𝑍, en este caso el

volumen se expresa por:

𝐸

𝑋𝑍

PASO 2: Describimos la proyección 𝐸

𝑋𝑍

: 0 ≤ 𝑧 ≤ 4 ; − 𝑧 ≤ 𝑥 ≤ 𝑧

𝒙

𝒛

𝒛 = 𝒙

𝟐

𝑧

PASO 3: Calculamos la integral doble como una integral doble iterada.

ඵ

𝐸

𝑋𝑍

4 − 𝑧 𝑑𝐴 = න

0

4

න

− 𝑧

𝑧

4 − 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑧 = න

0

4

4 − 𝑧 2 𝑧 𝑑𝑧 =

256

15

.

CASO PARA QUE ANALICE EL ESTUDIANTE:

− 2

2

0

4 −𝑥

2

2

− 2

2

2

La proyección en el plano 𝑋𝑌 ya fue obtenida en el item anterior:

𝑋𝑌

2

Luego el área se calcula por medio de la integral doble:

𝑆

𝑋𝑌

− 2

2

0

4 −𝑥

2

− 2

2

2

c)

Aprendizaje

colaborativo

• En equipo desarrollan las

situaciones contextuales del

material informativo.

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