Análisis de Derivadas Parciales: Concepto, Aplicaciones y Ejemplos, Diapositivas de Cálculo

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Rivera Cervantes Abel Universidad Peruana Unión

LAS MATEMÁTICAS EN LA

INGENIERÍA

El objeto formal de la ingeniería es la mejora de la calidad de vida de la humanidad, su objeto material es la naturaleza. El término naturaleza es muy amplio, un primer acercamiento a su significado lo encontramos en el orden semántico que los diccionarios explican como el “conjunto de seres y cosas que forman el universo y en los que no ha intervenido el hombre”.

EUDOXO Y ARQUÍMEDES

Utilizaron el "método de agotamiento" para encontrar el área de un círculo con la exactitud requerida mediante el uso de polígonos inscritos. Sin embargo, las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenón de Elea impidieron formular una teoría sistemática del cálculo.

DERIVADAS PARCIALES

Las Derivadas Parciales son utilizadas en ingeniería para determinar la velocidad o el ritmo de cambio de una función de varias variables respecto a una de sus variables independientes, es decir, la derivada de una función de dos variables, mide la rapidez de cambio de una de ellas llamada “variable dependiente” en relación con la denominada “variable independiente”.

Las derivadas parciales también se pueden calcular para funciones con más de dos variables, considerando que todas las variables menos una son constantes y derivando con respecto a ésta. Utilizando este procedimiento es posible calcular derivadas parciales de orden superior. Las derivadas parciales son importantes en las matemáticas aplicadas, pues existen funciones que dependen de diversas variables, como el espacio y el tiempo.

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

PARCIALES

En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.

Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función A en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z. Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.

APLICACIÓN EN LA FÍSICA

MATEMÁTICA

Algunos ejemplos típicos de ecuaciones en derivadas parciales son:

Ecuación de Difusión del Calor:

Es la clásica ecuación unidimensional de difusión del calor, de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.

𝜕𝑡 = 𝑐

∗

𝜕𝑥

ECUACIÓN DE LAPLACE

Esta es una ecuación bidimensional, de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes, describiendo potenciales eléctricos o gravitatorios o procesos de difusión en los que se ha alcanzado un equilibrio térmico.

2

2

2

2

ECUACIÓN DE POISSON Es también una ecuación bidimensional, de segundo orden, lineal, de coeficientes constantes, pero no homogénea. 𝜕

𝑢 𝜕𝑥

𝜕

𝑢 𝜕𝑦

= 𝑓 (𝑥, 𝑦)

APLICACIONES EN LAS

INTEGRALES DOBLES

• Tienen muchas aplicaciones: una de las que más aplicadas es la Transformada de Fourier, que se utiliza para el tratamiento digital de señales: con eso se hacen las barritas que se ven que bajan y suben en los equipos de sonido y los reproductores de música.
• Para hallar volúmenes en ingeniería civil (aunque hay equipos para hacerlo), áreas en ingeniería textil. (También hay equipos para hacerlo), para hallar la catenaria de un cable en ingeniería eléctrica (también hay software para hacerlo).
• Puede que se utilicen en el diseño de líneas de transmisión, eléctrica o electrónica, antenas, puentes colgantes.

DENSIDAD Y MASA

Conociendo las integrales dobles, podemos considerar una lámina con densidad variable. Supongamos que la lámina ocupa una región D del plano xy y su densidad (en unidades de masa por área unitaria) en un punto (x,y) en D está dada por ρ(x,y), donde ρ es una función continua en D. Esto significa que:

Donde ∆𝑚 𝑦 ∆𝐴 son la masa y el área de un pequeño rectángulo que contiene a 𝑥, 𝑦 y el límite se toma cuando las dimensiones del rectángulo se aproximan a 0. Para hallara la masa total 𝑚 de la lámina, dividimos el rectángulo R que contiene a D, en sub- rectángulos Rij del mismo tamaño y consideramos que ρ( x,y) es 0 fuera de D. Si escogemos un punto (𝑥 ∗𝑖𝑗 , 𝑦 ∗𝑖𝑗 ) de Rij, entonces la masa de la parte de la lámina que ocupa Rij es aproximadamente 𝜌(𝑥 ∗𝑖𝑗 , 𝑦 ∗𝑖𝑗 )∆𝐴, donde ∆𝐴 es el área de R (𝑥 ∗𝑖𝑗 , 𝑦 ∗𝑖𝑗 ). Si sumamos todas estas masas, obtenemos una aproximación a la masa total:

𝑚 = 𝑖=𝑗 𝑘 𝑗= 1 𝑗 𝜌(𝑥 ∗ 𝑖𝑗 , 𝑦 ∗ 𝑖𝑗)∆𝐴 Si ahora aumentamos el número de sub-rectángulos, obtenemos la masa total m de la lámina como el límite del valor de las aproximaciones.