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36. Volumen de un cilindro recto no circular La región encerrada por la leminiscata es la base de un cilindro recto só- lido cuya parte superior está acotada por la esfera Calcule el volumen del cilindro. 37. Conversión a integrales polares
a. La forma usual de evaluar la integral impropia consiste en calcular primero su cuadrado:
Evalúe la última integral usando coordenadas polares, y des- peje I de la ecuación resultante. b. Evalúe
38. Conversión a una integral polar Evalúe la integral 39. Existencia Integre la función sobre el disco ¿Existe la integral de f ( x, y ) sobre el disco? Justifique su respuesta. 40. Fórmula del área en coordenadas polares Use la integral do- ble en coordenadas polares para deducir la fórmula
para el área de la región en forma de abanico entre el origen y la curva polar
41. Distancia promedio a un punto dado dentro de un disco Sea P 0 un punto dentro de un círculo de radio a y sea h la distancia de
r = ƒsud, a … u … b.
A =
L
b
a
2 r
(^2) d u
x^2 + y^2 … 1
x^2 + y^2 … 3 >.
ƒs x , y d = 1 >s 1 - x^2 - y^2 d
L
q
0 L
q
0
s 1 + x^2 + y^2 d^2
dx dy.
lím x : q^
erf s x d = lím x : qL
x
0
2 e - t
2
2 p
dt.
I^2 = a L
q
0
e - x
2 dx b a L
q
0
e - y
2 dy b = L
q
0 L
q
0
e - s x
(^2) + y (^2) d dx dy.
I = 1
q 0 e
z = 22 - r^2.
r^2 = 2 cos 2u
al centro del círculo. Sea d la distancia de un punto arbitrario P a Calcule el valor promedio de sobre la región del círculo. ( Sugerencia : Simplifique su trabajo colocando el centro del círcu- lo en el origen, y en el eje x .)
42. Área Suponga que el área de una región en el plano con coorde- nadas polares es
Trace la región y calcule su área.
EXPLORACIONES POR COMPUTADORA
Conversión de coordenadas
En los ejercicios 43-46, use un programa de álgebra por computadora para cambiar las integrales cartesianas por una integral polar equiva- lente y evalúe la integral polar. Realice los pasos siguientes en cada ejercicio. a. Trace la región cartesiana de integración en el plano xy. b. Cambie cada curva de la frontera de la región cartesiana en la parte (a) por su representación polar, determinando r y a partir de la ecuación cartesiana. c. Use los resultados de la parte (b) para trazar la región polar de integración en el plano d. Cambie el integrando de coordenadas cartesianas a polares. Determine los límites de integración a partir del dibujo de la parte (c) y evalúe la integral polar mediante la herramienta de integración del programa de álgebra por computadora.
L
1
(^0) L
2 - y
y
2 x + y dx dy L
1
(^0) L
y > 3
y 2 x^2 + y^2
dx dy
L
1
0 L
x > 2
0
x x^2 + y^2
dy dx L
1
0 L
1
x
y x^2 + y^2
dy dx
r u.
u.
A =
L
3 p> 4
p> 4 L
2 sen u
csc u
r dr d u.
P 0
P 0. d^2
P 0
1098 Capítulo 15: Integrales múltiples
Integrales triples en coordenadas rectangulares
Así como las integrales dobles nos permiten trabajar con situaciones más generales que las
que pueden resolverse mediante integrales sencillas, las integrales triples nos permiten re-
solver problemas aún más generales. Usamos las integrales triples para calcular el volumen
de formas tridimensionales, la masa y los momentos de sólidos con densidad variable, y el
valor promedio de una función sobre una región tridimensional. Las integrales triples tam-
bién surgen en el estudio de los campos vectoriales y el flujo de fluidos en tres dimensio-
nes, como veremos en el capítulo 16.
Integrales triples
Si F ( x, y, z ) es una función definida en una región cerrada D y acotada en el espacio, como
la región que ocupa una bola sólida o un puñado de arcilla, entonces la integral de F sobre
D puede definirse de la manera siguiente. Partimos una región en forma de caja rectangu-
lar que contiene a D en celdas rectangulares mediante planos paralelos a los ejes coorde-
nados (figura 15.27). Numeramos las celdas que están dentro de D desde 1 hasta n en al-
gún orden, donde la k -ésima celda tiene dimensiones por by y un volumen
Elegimos un punto en cada celda y formamos la suma
A nosotros nos interesa saber qué ocurre cuando D se parte en celdas cada vez más
pequñas, de modo que y la norma de la partición (el valor máximo en-
tre tienden a cero. Cuando se alcanza un único valor límite, sin importar la
forma de elegir las particiones y los puntos decimos que F es integrable sobre
D. Como antes, se puede demostrar que cuando F es continua y la superficie de la frontera
de D está formada por un número finito de superficies regulares unidas a lo largo de un
número finito de curvas regulares, entonces F es integrable. Cuando y el número
de celdas n tiende a las sumas tienden a un límite. Llamamos a este límite la inte-
gral triple de F sobre D y escribimos
Las regiones D sobre las que las funciones continuas son integrables, son aquellas que
pueden aproximarse mediante celdas rectangulares pequeñas. Tales regiones incluyen las
que aparecen en las aplicaciones.
Volumen de una región en el espacio
Si F es la función constante de valor 1, entonces las sumas de la ecuación (1) se reducen a
Cuando y tienden a cero, las celdas son cada vez más pequeñas y más
numerosas, y cubren una parte cada vez mayor de D. Por tanto, definimos el volumen de D
como la integral triple
lím
n : q^ a
n
k = 1
¢ Vk =
D
dV.
¢ xk , ¢ yk , ¢ zk ¢ Vk
Sn = (^) a F s xk , yk , zk d ¢ Vk = (^) a 1 #^ ¢ Vk = (^) a ¢ Vk.
lím
n : q^
Sn =
D
F s x , y , z d dV o lím
ƒ ƒ P ƒ ƒ :^0
Sn =
D
F s x , y , z d dx dy dz.
q, Sn
7 P 7 : 0
s xk , yk , zk d
¢ xk , ¢ yk , ¢ zk ,
¢ xk , ¢ yk , ¢ zk 7 P 7 ,
Sn = a
n
k = 1
F s xk , yk , zk d ¢ Vk.
¢ Vk = ¢ xk ¢ yk ¢ zk. s xk , yk , zk d
¢ xk ¢ yk ¢ zk
15.4 Integrales triples en coordenadas rectangulares 1099
z
y
x
D
( x (^) k , yk , zk )
z (^) k xk y (^) k
FIGURA 15.27 Partición de un sólido con celdas rectangulares de volumen ¢ Vk.
DEFINICIÓN Volumen
El volumen de una región cerrada D y acotada en el espacio es
V =
D
dV.
Esta definición concuerda con nuestras definiciones anteriores de volumen, aunque omiti-
remos la demostración de este hecho. Como veremos en un momento, esta integral permi-
te calcular el volumen de sólidos encerrados por superficies curvas.
3. Determine los límites de integración en y : Trace una recta L paralela al eje y , que pase
por ( x, y ). Cuando y crece, L entra a R en y sale en Estos son los
límites de integración en y.
4. Determine los límites de integración en x : Elija los límites en x que incluyan todas las
rectas paralelas al eje y que pasen por R ( y en la figura anterior). Estos
son los límites de integración en x. La integral es
Siga procedimientos similares si cambia el orden de integración. La “sombra” de la
región D está en el plano de las dos últimas variables con respecto a las que se realiza
la integración iterada.
El procedimiento anterior es aplicable siempre que la región sólida D esté acotada por
arriba y abajo por una superficie, y cuando la región “sombra” R esté acotada por una cur-
va superior y una inferior. No es aplicable a regiones con agujeros complicados, aunque a
veces tales regiones pueden subdividirse en regiones más simples para las que sí puede
aplicarse el procedimiento.
EJEMPLO 1 Cálculo de un volumen
FCalcular el volumen de la región D encerrada por las superficies y
Solución El volumen es
la integral de sobre D. Para determinar los límites de integración y evaluar la
integral, primero trazamos la región. Las superficies (figura 15.28) se cortan en el cilindro
elíptico o La frontera de la región R , la
proyección de D sobre el plano xy , es una elipse con la misma ecuación:
La frontera “superior” de R es la curva La frontera inferior es la curva
y = - 1 s 4 - x^2 d>2.
y = 1 s 4 - x^2 d>2.
x^2 + 2 y^2 = 4.
x^2 + 3 y^2 = 8 - x^2 - y^2 x^2 + 2 y^2 = 4, z 7 0.
F s x , y , z d = 1
V =
D
dz dy dx ,
8 - x^2 - y^2.
z = x^2 + 3 y^2 z =
L
x = b
x = a L
y = g 2 s x d
y = g 1 s x d L
z = ƒ 2 s x , y d
z = ƒ 1 s x , y d
F s x , y , z d dz dy dx.
x = a x = b
y
x
D
R
b
a
M
L
x
z
( x , y )
Entra en y (^) g 1 ( x )
Sale en y (^) g 2 ( x )
y = g 1 s x d y = g 2 s x d.
15.4 Integrales triples en coordenadas rectangulares 1101
1102 Capítulo 15: Integrales múltiples
z x y
( , , )
( , , ) x
z
L y
( , , )
R
x
D
( , , )
z (^) x (^) y
x y
y (^) ( (^) x )
z (^) x (^) y
M
( x , y )
z (^) x (^) y
y (^) ( (^) x )
FIGURA 15.28 El volumen de la región encerrada por dos paraboloides, calculado en el ejemplo 1.
Ahora determinamos los límites de integración en z. La recta M , paralela al eje z , que
pasa por un punto típico ( x, y ) en R , entra a D en y sale en
Luego encontramos los límites de integración en y. La recta paralela al eje y que pasa
por ( x, y ), entra a R en y sale en
Por último, hallamos los límites de integración en x. Cuando L barre R , el valor de x
varía de en hasta en (2, 0, 0). El volumen de la región D es
= 8 p 2 2.
L
2
c 8 a
4 - x^2
b
3 > 2
a
4 - x^2
b
3 > 2
d dx =
3 L
2
s 4 - x^2 d^3 >^2 dx
L
2
a 2 s 8 - 2 x^2 d
B
4 - x^2
2 -^
3 a
4 - x^2
2 b
3 > 2
b dx
L
2
cs 8 - 2 x^2 d y - 4
y^3 d
y = - 2 s 4 - x^2 d> 2
y = 2 s 4 - x^2 d> 2
dx
L
2
2 s 4 - x^2 d> 2
s 8 - 2 x^2 - 4 y^2 d dy dx
L
2
2 s 4 - x^2 d> 2
8 - x^2 - y^2
x^2 + 3 y^2
dz dy dx
V =
D
dz dy dx
x = - 2 s - 2, 0, 0d x = 2
y = - 2 s 4 - x^2 d> 2 y = 2 s 4 - x^2 d>2.
z = x^2 + 3 y^2 z = 8 - x^2 - y^2.
Después de integrar con la sustitución x = 2 sen u.
Obtenemos el mismo resultado integrando en el orden dy dz dx ,
Como hemos visto, a veces (no siempre) hay dos órdenes en que pueden evaluarse las
integrales iteradas simples para evaluar una integral doble. Para integrales triples, puede
haber hasta seis órdenes, pues existen seis formas de ordenar dx, dy y dz. Cada orden con-
duce a una descripción diferente de la región de integración en el espacio y a distintos lí-
mites de integración.
EJEMPLO 4 Uso de distintos órdenes de integración
Cada una de las siguientes integrales da el volumen del sólido que aparece en la figura
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
Calculamos las integrales de las partes (b) y (c):
Además,
L
1
0
c x - zx d
x = 0
x = 2
dz
L
1
0 L
2
0
s 1 - z d dx dz
V =
L
1
0 L
2
0 L
1 - z
0
dy dx dz
L
1
0
2 s 1 - y d dy
L
1
0
c 2 z d
z = 0
z = 1 - y
dy
L
1
0 L
1 - y
0
2 dz dy
V =
L
1
0 L
1 - y
0 L
2
0
dx dz dy
L
2
0 L
1
0 L
1 - y
0
dz dy dx
L
1
0 L
2
0 L
1 - y
0
dz dx dy
L
2
0 L
1
0 L
1 - z
0
dy dz dx
L
1
0 L
2
0 L
1 - z
0
dy dx dz
L
1
0 L
1 - y
0 L
2
0
dx dz dy
L
1
0 L
1 - z
0 L
2
0
dx dy dz
V =
L
1
0 L
1 - x
0 L
1
x + z
dy dz dx = 1
1104 Capítulo 15: Integrales múltiples
1
2
1
y
z
x
y z 1
FIGURA 15.30 El ejemplo 4 da seis integrales triples iteradas distintas para el volumen de este prisma.
Integral de la parte (b)
Integral de la parte (c)
Las integrales de las partes (a), (d), (e) y (f) también dan
Valor promedio de una función en el espacio
El valor promedio de una función F sobre una región D en el espacio se define mediante la
fórmula
Por ejemplo, si entonces el valor promedio de F sobre D es
la distancia promedio de los puntos en D desde el origen. Si F ( x, y, z ) es la temperatura en
( x, y, z ) de un sólido que ocupa una región D en el espacio, entonces el valor promedio de
F sobre D es la temperatura promedio del sólido.
EJEMPLO 5 Cálculo de un valor promedio
Calcular el valor promedio de sobre el cubo acotado por los planos coor-
denados y los planos y en el primer octante.
Solución Trazamos el cubo con el detalle suficiente para mostrar los límites de integra-
ción (figura 15.31), y luego usamos la ecuación (2) para calcular el valor promedio de F
sobre el cubo.
El volumen del cubo es El valor de la integral de F sobre el cubo es
Con estos valores, la ecuación (2) da
Al evaluar la integral, elegimos el orden dx dy dz , pero cualquiera de los otros cinco posi-
bles órdenes hubiera servido.
Propiedades de las integrales triples
Las integrales triples tienen las mismas propiedades algebraicas que las integrales dobles
y simples.
Valor promedio de
xyz sobre el cubo
volumen 9
cubo
xyz dV = a^1
bs 8 d = 1.
L
2
0
c y^2 z d
y = 0
y = 2
dz =
L
2
0
4 z dz = c 2 z^2 d
0
2
L
2
0 L
2
0 L
2
0
xyz dx dy dz =
L
2
0 L
2
0
c x
2
yz d
x = 0
x = 2
dy dz =
L
2
0 L
2
0
2 yz dy dz
s 2 ds 2 ds 2 d = 8.
x = 2, y = 2, z = 2
F s x , y , z d = xyz
F s x , y , z d = 2 x^2 + y^2 + z^2 ,
Valor promedio de F sobre D = 1
volumen de D 9
D
F dV.
V = 1.
L
1
0
s 2 - 2 z d dz
15.4 Integrales triples en coordenadas rectangulares 1105
z
y 2
x
2
2
FIGURA 15.31 La región de integración del ejemplo 5.
Volúmenes mediante integrales triples
21. La siguiente es la región de integración de la integral
Escriba la integral como una integral iterada equivalente en el orden a. dy dz dx b. dy dx dz c. dx dy dz d. dx dz dy e. dz dx dy.
22. La siguiente es la región de integración de la integral
Escriba la integral como una integral iterada equivalente en el orden a. dy dz dx b. dy dx dz c. dx dy dz d. dx dz dy e. dz dx dy. Calcule el volumen de cada una de las regiones de los ejercicios 23-36.
23. La región entre el cilindro y el plano xy que está acotada por los planos z
x
y
x = 0, x = 1, y = -1, y = 1
z = y^2
z
y
x
( , , )
( , , )
( , , )
z y
L
1
0 L
0
y^2
0
dz dy dx.
( , , )
y x
z y (^) z (^)
( , , )
y x
L
1
1
x^2 L
1 - y
0
dz dy dx.
L
7
(^0) L
2
(^0) L
24 - q^2
0
q r + 1 dp dq dr^ sespacio^ pqr d
24. La región del primer octante acotada por los planos coordenados y los planos 25. La región del primer octante acotada por los planos coordenados, el plano y el cilindro 26. La cuña definida en el cilindro por los planos y 27. El tetraedro del primer octante acotado por los planos coordena- dos y el plano que pasa por (1, 0, 0), (0, 2, 0), y (0, 0, 3).
z
y
x
( , , )
( , , )
( , , )
z
y
x
z = - y z = 0
x^2 + y^2 = 1
z
y
x
y + z = 2 , x = 4 - y^2
z
y x
x + z = 1, y + 2 z = 2
15.4 Integrales triples en coordenadas rectangulares 1107
28. La región del primer octante acotada por los planos coordenados, el plano y la superficie 29. La región común a los interiores de los cilindros y cuya octava parte aparece en la siguiente figura. 30. La región del primer octante acotada por los planos coordenados y la superficie 31. La región del primer octante acotada por los planos coordenados, el plano y el cilindro
z
y
x
x + y = 4 , y^2 + 4 z^2 = 16
z
y
x
z = 4 - x^2 - y
z
y x
0
x^2 z^2 1
x^2 y^2 1
x^2 + z^2 = 1 ,
x^2 + y^2 = 1
z
y
x
y = 1 - x , z = cos sp x > 2 d, 0 … x … 1
32. La región cortada en el cilindro por el plano y el plano 33. La región del primer octante entre los planos y . 34. La región finita acotada por los planos y 35. La región cortada en el cilindro elíptico sólido por el plano xy y el plano 36. La región acotada por atrás por el plano al frente y a los lados por el cilindro parabólico arriba por el parabo- loide y abajo por el plano xy
Valores promedio
En los ejercicios 37-40, calcule el valor promedio de F ( x, y, z ) sobre la región dada.
37. sobre el cubo en el primer octante acotado por los planos coordenados y los planos y 38. sobre el sólido rectangular en el primer octante acotado por los planos coordenados y los planos y 39. sobre el cubo en el primer octante acotado por los planos coordenados y los planos y 40. sobre el cubo en el primer octante acotado por los planos coordenados y los planos y
Cambio del orden de integración
Evalúe las integrales de los ejercicios 41-44, cambiando adecuada- mente el orden de integración
L
2
(^0) L
4 - x^2
(^0) L
x
0
sen 2 z 4 - z dy dz dx
L
1
(^0) L
1
23 z (^) L
ln 3
0
p e^2 x^ sen p y^2 y^2
dx dy dz
L
1
0 L
1
0 L
1
x^2
12 xze zy
2 dy dx dz
L
4
(^0) L
1
(^0) L
2
2 y
4 cos s x^2 d 22 z
dx dy dz
x = 2, y = 2, z = 2
F s x , y , z d = xyz
z = 1
x = 1, y = 1,
F s x , y , z d = x^2 + y^2 + z^2
x = 1, y = 1, z = 2
F s x , y , z d = x + y - z
x = 2, y = 2, z = 2
F s x , y , z d = x^2 + 9
z = x^2 + y^2 ,
x = 1 - y^2 ,
x = 0,
z = x + 2
x^2 + 4 y^2 … 4
y = 8, z = 0.
z = x , x + z = 8, z = y ,
2 x + 2 y + z = 4
x + y + 2 z = 2
z
y x
x + z = 3
x^2 + y^2 = 4 z = 0
1108 Capítulo 15: Integrales múltiples
De manera similar, si L es el eje y o el eje z tenemos
Análogamente podemos obtener los primeros momentos con respecto a los planos coor-
denados. Por ejemplo,
da el primer momento con respecto al plano yz.
Las fórmulas para la masa y el momento en el espacio, que son análogas a las que
analizamos para regiones planas en la sección 15.2, se resumen en la tabla 15.3.
Myz =
D
x ds x , y , z d dV
I y =
D
s x^2 + z^2 d d dV y Iz =
D
s x^2 + y^2 d d dV.
1110 Capítulo 15: Integrales múltiples
FIGURA 15.33 Fórmulas para la masa y el momento para objetos sólidos en el espacio
z
y
x
x
y
x
y
z x
dV
y z
x (^) z
x y
TABLA 15.3 Fórmulas para la masa y el momento para objetos sólidos en el espacio
Masa:
Primeros momentos con respecto a los planos coordenados:
Centro de masa :
Momentos de inercia (segundos momentos) con respecto a los ejes coordenados:
Momentos de inercia con respecto a una recta L :
Radio de giro con respecto a una recta L :
RL = 2 IL > M
IL =
r^2 d dV s r s x , y , z d = es la distancia del punto s x , y , z d a la recta L d
Iz =
s x^2 + y^2 d d dV
Iy =
s x^2 + z^2 d d dV
Ix =
s y^2 + z^2 d d dV
x =
Myz
M ,^ y^ =^
Mxz
M ,^ z^ =^
Mxy
M
Myz =
D
x d dV , Mxz =
D
y d dV , Mxy =
D
z d dV
M =
D
d dV sd = ds x , y , z d = es la densidadd
EJEMPLO 1 Cálculo del centro de masa de un sólido en el espacio
Calcular el centro de masa de un sólido de densidad constante acotado abajo por el disco
en el plano y arriba por el paraboloide (figura
R : x^2 + y^2 … 4 z = 0 z = 4 - x^2 - y^2
d
Solución Por simetría, Para calcular primero vemos que
Un cálculo similar da
Por tanto, y el centro de masa es
Cuando la densidad de un objeto sólido es constante (como en el ejemplo 1), el centro de
masa se conoce como el centroide del objeto (como ocurría con las formas bidimensiona-
les de la sección 15.2).
EJEMPLO 2 Cálculo de los momentos de inercia con respecto a los ejes coor- denados
Calcular para el sólido rectangular de densidad constante que aparece en la figu-
ra 15.35.
Solución La fórmula para da
Podemos evitar parte del trabajo de integración observando que es una fun-
ción par de x, y y z. El sólido rectangular consta de ocho piezas simétricas, una en cada oc-
tante. Podemos evaluar la integral en una de estas piezas, y luego multiplicar por d para
obtener el valor total.
De manera similar,
Iy =
M
12 s a
2 + c 2 d y Iz = M
12 s a
2 + b 2 d.
= 4 a d a b
3 c
+ c
3 b
b = abc d
s b^2 + c^2 d = M
s b^2 + c^2 d.
= 4 a d
L
c > 2
0
a
b^3
24 +^
z^2 b
2 b^ dz
= 4 a d
L
c > 2
0
c
y^3
+ z^2 y d
y = 0
y = b > 2
dz
Ix = 8
L
c > 2
0 L
b > 2
0 L
a > 2
0
s y^2 + z^2 d d dx dy dz = 4 a d
L
c > 2
0 L
b > 2
0
s y^2 + z^2 d dy dz
s y^2 + z^2 dd
Ix =
L
c > 2
b > 2
a > 2
s y^2 + z^2 d d dx dy dz.
I x
Ix , Iy , Iz d
z = s Mxy > M d = 4 > 3 s x , y , z d = s0, 0, 4> 3 d.
M =
R
L
4 - x^2 - y^2
0
d dz dy dx = 8 pd.
= d
2 L
2 p
0
c- 1
s 4 - r^2 d^3 d
r = 0
r = 2
d u = 16 d
3 L
2 p
0
d u = 32 pd
= d
2 L
2 p
0 L
2
0
s 4 - r^2 d^2 r dr d u
= d
R
s 4 - x^2 - y^2 d^2 dy dx
Mxy =
R
L
z = 4 - x^2 - y^2
z = 0
z d dz dy dx =
R
c z
2
d
z = 0
z = 4 - x^2 - y^2
d dy dx
x = y = 0. z ,
15.5 Masas y momentos en tres dimensiones 1111
z
y
x
R
x (^) y (^)
z (^) x (^) y
FIGURA 15.34 Cálculo del centro de masa de un sólido (ejemplo 1).
Coordenadas polares
b
a
c
x
y
z
FIGURA 15.35 Cálculo de e para el bloque que aparece aquí. El origen está en el centro del bloque (ejemplo 2).
Ix , Iy , Iz
12. Momento de inercia y radio de giro con respecto a una recta Un sólido como el del ejercicio 3 tiene y Haga un rápido bosquejo para convencerse que el cuadrado de la distancia de un punto típico ( x, y, z ) del sólido a la recta es Luego calcule el mo- mento de inercia y el radio de giro del sólido con respecto a L.
Densidad variable
En los ejercicios 13 y 14, calcule
a. la masa del sólido. b. el centro de masa.
13. Una región sólida en el primer octante está acotada por los planos coordenados y el plano La densidad del sólido es 14. Un sólido en el primer octante está acotado por los planos y y por las superficies y (vea la si- guiente figura). Su función de densidad es es una constante.
En los ejercicios 15 y 16, calcule
a. la masa del sólido. b. el centro de masa. c. los momentos de inercia con respecto a los ejes coordenados. d. los radios de giro con respecto a los ejes coordenados.
15. Un cubo sólido en el primer octante está acotado por los planos coordenados y por los planos y La densidad del sólido es 16. Una cuña como la del ejercicio 2 tiene dimensiones y La densidad es Observe que si la densidad es constante, el centro de masa será (0, 0, 0). 17. Masa Calcule la masa del sólido acotado por los planos
y la superficie La den- sidad del sólido es ds x , y , z d = 2 y + 5.
x + z = 1, x - z = -1, y = 0 y = 2 z.
c = 3. ds x , y , z d = x + 1.
a = 2, b = 6,
ds x , y , z d = x + y + z + 1.
x = 1, y = 1, z = 1.
z
y
x
x (^) y
( , , )
z (^) x
ds x , y , z d = kxy , k
z = 0 z = 4 - x^2 x = y^2
y = 0
ds x , y , z d = 2 x.
x + y + z = 2.
L : x = 4, y = 0 r^2 = s x - 4 d^2 + y^2.
a = 4, b = 2, c = 1.
18. Masa Calcule la masa de la región sólida acotada por las super- ficies parabólicas y si la densidad del sólido es
Trabajo
En los ejercicios 19 y 20, calcule lo siguiente. a. La cantidad de trabajo realizado por la gravedad (constante) g al mover el líquido que llena el recipiente al plano xy. ( Su- gerencia : Parta el líquido en pequeños elementos de volumen y determine (aproximadamente) el trabajo realizado por la gravedad en cada elemento. Al sumar y pasar al límite se llega a una integral triple por evaluar). b. El trabajo realizado por la gravedad al mover el centro de ma- sa hacia abajo hacia el plano xy.
19. El recipiente es una caja cúbica en el primer octante acotada por los planos coordenados y los planos y La densidad del líquido que llena la caja es (ver ejercicio 15). 20. El recipiente tiene la forma de la región acotada por y La densidad del líquido que llena la región es siendo k constante (vea el ejercicio 14).
El teorema del eje paralelo
El teorema del eje paralelo (ejercicios 15.2) es válido en tres dimen- siones al igual que en dos. Sea una recta que pasa por el centro de masa de un cuerpo de masa m y sea L una recta paralela a h unidades de distancia de El teorema del eje paralelo dice que los mo- mentos de inercia e del cuerpo con respecto a y L satisfa- cen la ecuación
(1)
Como en el caso bidimensional, el teorema proporciona una forma rá- pida de calcular un momento cuando se conocen el otro momento y la masa.
21. Demostración del teorema del eje paralelo a. Muestre que el primer momento de un cuerpo en el espacio, con respecto a cualquier plano que pase por el centro de masa del cuerpo, es cero. ( Sugerencia : coloque el centro de masa del cuerpo en el origen y suponga que el plano es el plano yz. ¿Qué le dice la fórmula ?)
z
x
y
L
D
v (^) x i (^) y j ( x , y , z )
L
h i
v^ ^ h i
( h , , )
x = Myz > M
I (^) L = I c.m. + mh^2.
I c.m. IL L c.m.
L c.m..
L c.m.
ds x , y , z d = kxy ,
z = 4 - x^2 , x = y^2.
y = 0, z = 0,
z + 1
ds x , y , z d = x + y +
x = 1, y = 1, z = 1.
¢ Vi
ds x , y , z d = 2 x^2 + y^2.
z = 16 - 2 x^2 - 2 y^2 z = 2 x^2 + 2 y^2
15.5 Masas y momentos en tres dimensiones 1113
b. Para demostrar el teorema del eje paralelo, coloque el cuerpo con su centro de masa en el origen, con la recta a lo lar- go del eje z y la recta L perpendicular al plano xy en el punto ( h , 0, 0). Sea D la región del espacio ocupada por el cuerpo. Entonces, con la notación de la figura,
Desarrolle el integrando de esta integral y complete la demos- tración.
22. El momento de inercia con respecto a un diámetro de una esfera sólida de densidad constante y radio a es donde m es la masa de la esfera. Determine el momento de inercia con respecto a una recta tangente a la esfera. 23. El momento de inercia del sólido del ejercicio 3 con respecto al eje z es a. Use la ecuación (1) para determinar el momento de inercia y el radio de giro del sólido con respecto a la recta paralela al eje z que pasa por el centro de masa del sólido. b. Use la ecuación (1) y el resultado en la parte (a) para calcular el momento de inercia y el radio de giro del sólido con res- pecto a la recta 24. Si y el momento de inercia de la cuña sólida (ejercicio 2) con respecto al eje x es Calcule el momen- to de inercia de la cuña con respecto a la recta (la orilla del extremo angosto de la cuña).
Fórmula de Pappus
La fórmula de Pappus (ejercicios 15.2) es válida en tres dimensiones, al igual que en dos. Supongamos que los cuerpos y de masa y respectivamente, ocupan regiones no traslapadas en el espacio, y que y son los vectores que van del origen a los respectivos cen- tros de masa. Entonces, el centro de masa de la unión de los dos cuerpos queda determinado mediante el vector
Como antes, esta fórmula se llama la fórmula de Pappus. Como en el caso bidimensional, la fórmula se generaliza como
para n cuerpos.
c =
m 1 c 1 + m 2 c 2 + Á + m (^) n c n m 1 + m 2 + Á + m (^) n
c =
m 1 c 1 + m 2 c 2 m 1 + m 2.
B 1 ´ B 2
c 1 c 2
m 2 ,
B 1 B 2 m 1
y = 4, z = - 4 > 3
Ix = 208.
a = b = 6 c = 4,
x = 0, y = 2 b.
Iz = abc s a^2 + b^2 d>3.
s 2 > 5 d ma^2 ,
I L =
9 D
ƒ v^ -^ h i^ ƒ 2 dm.
L c.m.
25. Deduzca la fórmula de Pappus. ( Sugerencia : trace y como regiones no traslapadas en el primer octante y etiquete sus centros de masa y Exprese los momentos de con respecto a los planos coordenados en términos de las masas y y las coordenadas de estos centros.) 26. La siguiente figura muestra un sólido formado a partir de tres só- lidos rectangulares de densidad constante Use la fórmula de Pappus para encontrar el centro de masa de
a. b.
c. d.
27. a. Suponga que un cono circular recto sólido C con el radio de su base siendo a y con una altura h se construye sobre la base cir- cular de un hemisferio sólido S de radio a , de modo que la unión de los dos sólidos parece un cono de helado. El centroi- de de un cono sólido está a una cuarta parte del camino de la base al vértice, mientras que el centroide de un hemisferio só- lido se localiza a tres octavos del camino de la base a la parte superior. ¿Qué relación debe haber entre h y a para colocar el centroide de en la base común de ambos sólidos? b. Si aún no lo ha hecho, responda a la misma pregunta, pero aplicada a un triángulo y una semicircunferencia (sección 15.2, ejercicio 55). Las respuestas no son iguales. 28. Una pirámide sólida P con una altura h y cuatro lados congruentes se construye con su base como una de las caras de un cubo sólido C , cuyas aristas tienen longitud s. El centroide de una pirámide sólida está a una cuarta parte del camino de la base hacia el vérti- ce. ¿Qué relación debe haber entre h y s para colocar el centroide de en la base de la pirámide? Compare su respuesta con la dada en el ejercicio 27. Además, compárela con la respuesta del ejercicio 56 de la sección 15.2.
P ´ C
C ´ S
z
( , , ) x
y B
C
A
( , , )
( , , )
( , , )
( , , )
( , , )
B ´ C A ´ B ´ C.
A ´ B A ´ C
d = 1.
m 1 m 2
B 1 ´ B 2
s x 1, y 1 , z 1 d s x 2 , y 2 , z 2 d.
B 1 B 2
1114 Capítulo 15: Integrales múltiples
Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
Cuando un cálculo en física, ingeniería o geometría implica un cilindro, un cono o una es-
fera, con frecuencia podemos simplificar nuestro trabajo usando coordenadas cilíndricas o
esféricas, que presentaremos en esta sección. El procedimiento para transformar a estas
coordenadas y evaluar las integrales triples resultantes es similar a la transformación
a coordenadas polares en el plano que fue estudiada en la sección 15.3.
