CAMBIO DE VARIABLE SEMANA 2, Diapositivas de Cálculo diferencial y integral

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CÁLCULO INTEGRAL

SEMANA 2

SESION 1 :

Métodos de integración

• (^) Integración por cambio

de variable

Propósito:

 Utiliza un cambio de variable en una integral

indefinida.

Desarrollaremos técnicas que nos permitirán emplear las fórmulas básicas con objeto de llegar a integrales indefinidas de funciones más complicadas. Si tuviéramos que determinar la siguiente integral No podríamos hacerla directamente con las fórmulas de integración dadas anteriormente,……en este caso es conveniente conocer algunos métodos de integración, entre ellos el método de integración por sustitución o cambio de variable. dx x x   2 5 2

• (^) La regla de sustitución para integrar corresponde a la regla de la cadena para diferenciar. Debemos tener presente que si entonces
• (^) Si es una función diferenciable cuyo rango es un intervalo y la función es continua en el intervalo entonces:

1. Método de Integración por

sustitución o cambio de

variable

u  g  x ,

du  g '  x  dx.

u  g  x 

f I I ,

f  g  x  g  x  dx  f  u  du  F  u   C  F  g  x   C

Ejemplo 2   

dx

x x

x

2 2

Solución Cambio de variable: Sustituyendo en la integral: du  x  dx u x x 2 1 1 2            C x x C u C u u du du u x dx x x dx x x x                           1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2

     sin 2 x 1  2 cos 2 x dx Ejemplo 3 Solución Cambio de variable: Sustituyendo en la integral:      

sin 2

4 sin 2

1 2 cos 2

du

x dx

du x dx

u x

          x  C u C u du du u x x dx x x dx                         3 / 2 3 / 2 1 / 2 1 2 cos 2 6 1 3 2 4 1 4 1 4 1 2 cos 2 sin 2 sin 2 1 2 cos 2

Ejemplo 5 Solución Cambio de variable: Sustituyendo en la integral:   C x x C w w dw w dw w w w dw w w dw w w w dw w w w dx x x x fórmula                  (^)     ^                                                                3 3 arctan 3 2 2 3 3 arctan 3 2 2 3 2 2 1 3 2 3 3 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 3 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2         

dx w dw

x w

w x

w x

2 2

   dx x x x 3 2

Ejercicios Determine las siguientes integrales x x dx x x x dx x x dx x dx x dx            5 ) sec. tan 4 ) ( 2 4 ) ( 1 ) 3 ) 1 2 ) 6 3 1 ) ( 8 ) 2 2 3 2 3 7 x x dx dx x^ x x x dx dz z z dx senx x                10 ) ( 4 ) 2 3 1 csc 1 9 ) 8 ) .cos( 3 ) 1 3 7 ) ( 2 ) 6 cos 6 ) 2 2 2 (^3 ) 3