¡Descarga Análisis Vectorial: Ejercicios Resueltos de Álgebra Vectorial y más Monografías, Ensayos en PDF de Electromagnetismo solo en Docsity!
22 Robotica y Cibernética
b) Vector unitario
Es todo vector que tiene módulo igual a 1. Si a es un vector cualquiera, entonces el vector unitario en la dirección de a, se de fine, así:
a
a a u a a
De modo que, todo vector se puede ex presar como el producto de su módulo por el vector unitario que le corresponde, así:
a a uˆa
Propiedad:
- Dos vectores paralelos (la misma direc ción) tienen el mismo vector unitario.
Ejemplo: 13 En la Figura, hallar A B
si: A
=5 u y
B
=3 u.
a) 6,0 u b) 6,2 u c) 6,4 u d) 6,6 u e) 6,8 u Solución:
Introduzcamos el vector auxiliar b en la
dirección del vector B.
En la Figura, los vectores A y b, expresa dos en forma de pares ordenados, son:
A (3 ; 0 ; 6) - (0 ; 4 ; 6) = (3 ; -4 ; 0)
b = (0 ; 4 ; 6) - (3 ; 10 ; 0) = (-3 ; -6 ; 6)
Ahora, calculemos el vector unitario en la dirección de b, y con esto el vector B, así
b (^2 2) 2 1/
u^ ˆ [( 3) ( 6) 6 ]
b
u^ ˆ ( ; ; ) 3 3 3
b
B B u ˆ (3)( ; ; ) 3 3 3
B ( 1; 2; 2)
Luego, la resultante de la suma de A y B, y su módulo, son:
R (3; 4;0) ( 1; 2;2)
R (2; 6;2)
R [(2)^2 ( 6) 2 (2) ]2 1/
R 6,6u
a
ua
A
B
x
y
z
10u
6u
3u 4u
D
A
B
x
y
z
10u
6u
3u 4u^
b
Análisis Vectorial 23
PRODUCTO ESCALAR Y VECTO-
RIAL DE DOS VECTORES
a) Leyes del algebra vectorial
Sean (^) A, (^) B y (^) C vectores y (^) "m", (^) "n"esca lares, se cumple:
1) A B B A (conmutativa)
2) A (B C) (A B) C(asociativa)
3) m A A m (conmutativa)
4) m (n A) (mn) A m A n(distributiva)
5) (m n) A m A n A (distributiva)
6) (^) m (A B) m A m B (distributiva)
b) Producto escalar
1) Definición
Dado dos vectores A y B, su producto es calar o interno se representa por A B, y se define como el producto de sus módu los por el coseno del ángulo " " que for man, esto es,
A B A B cos
el resultado de A B es un escalar, es de cir, un número real positivo o negativo. 2) Propiedades
Algunas de las propiedades del producto escalar, son: A B B A
A (B C) A B A C
m(A B) (mA) B A (mB)
ˆ ˆi i ˆj j^ k kˆ ˆ 1
ˆ ˆi j (^) ˆ ˆi k (^) ˆ ˆj k 0
Dados: A A i 1 ˆ A j 2 ˆ^ A k 3 ˆ
B B i 1 ˆ B j 2 ˆ^ B k 3 ˆ
Se verifican las siguientes relaciones:
A B A B 1 1 A B 2 2 A B 3 3
A A A 12 A 22 A 32 A^2
B B B 12 B^22 B^23 B^2
Si A B 0 y ninguno de los vectores es nulo, entonces, ambos son perpendiculares entre si.
Ejemplo: 14 ¿Para qué valor de " "los vectores ( a + b ) y ( a b) son perpendiculares entre sí, sabiendo que a =3 u, b =5 u?
a) 2/3 b) 3/2 c) 3/ d) 5/3 e) 3/ Solución: Por propiedad, si dos vectores son per pendiculares entre sí, su producto escalar es igual a cero así:
(a b) (a b) 0
a 2 a b b a ^2 b^2 0
a 2 ^2 b 2 0
0
A
B
RASA
03
Análisis Vectorial 25
MB [( 4)(5) ( 4)(4)] iˆ [(1)(5) (2)(4)] j^ ˆ
[(1)( 4) (2)( 4)] k^ ˆ
B M ( 20 16) iˆ (5 8) jˆ^ ( 4 8) kˆ
B M 4 i ˆ^ 3 jˆ^ 4 kˆ
M (^) B 6,4 N m
Ejemplo: 17 El vector c es perpendicular a los vecto res a y b, el ángulo formado por a y b es igual a 30^0. Además a = 6 u, b =
u, c =3 u. Hallar (a x b) c.
a) 21 u^3 b) 23 u^3 c) 25 u^3 d) 27 u^3 e) 29 u^3 Solución: En la Figura, primero calculemos el
módu lo de a x b, así:
a x b a b sen
a x b (6)(3)( ) 9 2
Representación de los vectores a, b y c, con a, bcontenidos en el plano XY.
Calculemos, el producto vectorial de a por b, y luego el volumen del paralelepí
pedo formado por a, b y c, así:
a x b (9)(0 ; 0 ;1)
a x b (0 ; 0 ; 9)
(a x b) c (0 ; 0 ;9) (0 ; 0 ; 3)
(a x b) c 27u^3
Ejemplo: 18 Hallar un vector unitario contenido en el plano definido por los vectores a= (2; 2;
- y b= (1; 0; 1) que sea perpendicular al vector c= (1; 1; -4).
a) (2/3; 2/3; 1/3) b) (2/3; 1/3; 2/3) c) (1/3; 2/3; 2/3) d) (1/3; 1/3; 2/3) e) (1/3; 2/3; 1/3) Solución: Primero calculemos el producto a x b:
ˆi ˆj (^) kˆ
a x b 2 2 1 1 0 1
a x b (2 ; 1; 2)
El vector que nos piden debe ser perpen dicular a a x b y a c. De esto, se deduce que debe ser colineal al vector (a x b) x c.
ˆi ˆj (^) kˆ
(a x b) x c 2 1 2 1 1 4
(a x b) x c (6 ; 6 ; 3)
(a x b) x c (6 ; 6 ; 3) u (a x b) x c^9
D
D
a
c
(^30) b 0
k j
26 Robotica y Cibernética
u ˆ ( ; ; ) 3 3 3
c) Productos triples
Combinando productos escalares y vecto riales de los vectores A, B y C se forman productos de la forma:
(A B)C ; A (Bx C) y A x (Bx C)
Se cumplen las siguientes relaciones:
A x (Bx C) (A x(B)x C
A (Bx C) B (Cx A) C (AxB)
El módulo de esta expresión representa el volumen del paralelepípedo de aristas A, B^ y^ C; el cual se calcula así,
1 2 3 1 2 3 1 2 3
A A A
A (Bx C) B B B C C C
Siendo:
A A i 1 ˆ^ A 2 ˆj^ A k 3 ˆ
1 2 3 B B i^ ˆ^ B ˆj^ B kˆ
C C i 1 ˆ C 2 ˆj^ C k 3 ˆ
El producto A (Bx C)se llama triple producto escalar, en tanto, el producto A x (Bx C) se llama triple vectorial.
A x (Bx C) (A x B) x C
A x (Bx C) (A x C)B (A B)C
(A xB) x C (A x C)B (B C)A
(A x B) (C x D) (A C)(B D) (A D)(B C)
(A x B) x(C x D) (A (BxD))C (A (Bx C))D
Ax(Bx(C x D)) (AxC)(B D) (AxD)(B C)
Ejemplo: 19 Hallar el volumen del paralelepípedo cons truido sobre los vectores a= (4; 0; 0), b= (0; 4; 0), c= (0; k; 4) k R.
a) 60 u^3 b) 62 u^3 c) 64 u^3 d) 66 u^3 e) 68 u^3 Solución: Representemos el paralelepípedo construí do con los vectores a, b y c.
El producto mixto (a x b) c es igual al vo lumen del paralelepípedo construido sobre los vectores a, b y c, esto es:
4 0 0 V (a x b) c 0 4 0 0 k 4
V (4)[(4)(4) (k)(0)] (0)[(0)(4) (0)(0)] (0)[(0)(k) (0)(4)]
V 64u^3
X
Z
Y
c
a
b
C
A
28 Robotica y Cibernética
(^1) cos (^2 1 1) cos 1 4 2 2
1 60 o ó 2 120 o
Ejemplo: 21 Hallar la suma de las coordenadas del pun to M, si su radio vector forma con los ejes coordenados ángulos iguales y su módulo es 3 u.
a) 5,0 u b) 5,2 u c) 5,4 u d) 5,6 u e) 5,8 u Solución: Sustituyendo el dato, ==, en la ecua ción de los cosenos directores:
cos^2 cos^2 cos^2 1
3cos 2 1 cos 3 3
De otro lado, las coordenadas del punto M, (Mx ; My ; Mz), vienen dados por:
M (^) x M (^) y Mz M cos
Mx My Mz 3 Por tanto, el punto M, tiene coordenadas:
M ( 3 ; 3 ; 3)
ó M ( 3 ; 3 ; 3)
b) Proyección de un vector
La proyección ortogonal del vector asobre el vector b, viene dado por:
b 2
a b Pr oy a ( ) b b
, b 0
Como se aprecia la proyección de a sobre b es un vector.
Ejemplo: 22 Hallar la proyección del vector a=(10; 5) sobre el vector b= (3; 4).
a) (3 ; 4) b) (4 ; 3) c) (6 ; 8) d) (8 ; 6) e) (2 ; 6) Solución: Representemos el vector a, y su proyec ción sobre el vector b.
La proyección del vector a sobre el vector b , es un vector que tiene la misma direc ción del vector b, y viene dado por:
b b
b Pr oy a Comp a b
b
a b b Pr oy a b b
b
Pr oy a 5 5
b
Pr oy a (10) (6; 8) 5
a
Pr oy ab
b
B
E
a
b
Pr oy ab^ ^
RASA
Análisis Vectorial 29
Pr oy ab 6 iˆ 8 jˆ
c) Componente de un vector La componente del vector (^) a en la direc ción del vector b, viene dado por:
b
a b Comp a b
, b 0
La componente de a en la dirección de b es un escalar. La relación entre la proyección y la compo nente de un vector, viene dado po:
b b
b Pr oy a Comp a b
Ejemplo: 23 Hallar la componente del vector a=(5; 2;
- sobre el vector b= (2; -1; 2).
a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 Solución: En la Figura, la componente del vector a
sobre el eje del vector b, es un número real ( "m"), el cual, viene dado por:
b
b Comp a a cos a cos b
b
a b cos (^) a b Comp a b b
b
Comp a 3
Comp ab 6
d) Distancia de un punto a una recta
En la Figura, la distancia del punto P a la recta L, cuya dirección es dada por el vec tor a, viene dada por:
(P Q) n d a
Siendo, Q un punto cualesquiera de la rec ta L, y nun vector normal.
Ejemplo: 24 Hallar la distancia del punto A(4; 5; -7) a la recta que pasa por el punto B(-3; 6; 12) y es paralela al vector c 4 iˆ^ ˆj^ 3 kˆ.
a) 19,1 u b) 19,3 u c) 19, u d) 19,7 u e) 19,9 u
Y P
X
d L
Q
0
nˆ
a
a
Comp ab
b
C
a
b m
B
Análisis Vectorial 31
Solución: De la ecuación de las rectas dadas, los pun
tos P y Q y los vectores direccionales a,b de dichas rectas , son:
P ( 8;10;6) ; Q (1;1;1)
a (2; 3;1) y b ( 1; 2: 4)
Con esto, calculemos el vector (Q-P) y el producto vectorial a x b, así:
(Q P) (9; 9; 5)
ˆi ˆj (^) kˆ
a x b 2 3 1 1 2 4
a x b (10; 9; 7)
Luego, de la fórmula para la distancia en tre dos rectas, tenemos:
(Q P) (a x b) d a x b
2 2 2 1/
d [( 10) (9) (7) ]
d 230
d 8,97u
f) Angulo entre dos rectas
El ángulo " " formado por las rectas L 1 , L 2 de pendientes m 1 =tg 1 y m 2 =tg 2 , viene dado por;
2 1 1 2
m m tg 1 m m
Ejemplo: 26 Hallar el ángulo agudo entre dos rectas que pasan por las medianas trazadas desde los vértices de los ángulos agudos de un trián gulo rectángulo isósceles.
a) 30,87^0 b) 32,87^0 c) 34,87^0 d) 36,87^0 e) 38,87^0 Solución: En la Figura, en los triángulos rectángulos, calculemos tg 1 y tg 2 , así:
o tg 1 tg(180 1 )
o 1 (^1) o 1
tg180 tg tg 2 1 tg180 tg
o tg 2 tg(180 2 )
o 2 (^1) o 2
tg180 tg 1 tg 1 tg180 tg^2
OPERACIONES DEL ALGEBRA
VECTORIAL
a) El gradiente
1) Definición
L 2 L 1
0
1 X
2
Y
RASA
E
06
32 Robotica y Cibernética
En matemáticas, el "gradiente" es una gene ralización multivariable de la derivada. En tanto, que una derivada se define solo en funciones de una sola variable, para fun ciones de varias variables, el gradiente to ma su lugar. Al igual que la derivada, el gradiente repre senta la pendiente de la línea tangente a la gráfica de una función. Más precisamente, el gradiente apunta a los puntos de la gráfi ca a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento. La magnitud del gradiente es la pendiente de la gráfica en esa dirección. Los componentes del gradiente en coorde nadas son los coeficientes de las variables presentes en la ecuación del espacio tangen te al gráfico. Esta propiedad de caracteri zación del degradado permite se defina independientemente de la elección del siste ma de coordenadas, como un campo vecto rial cuyos componentes en un sistema de coordenadas se transformará cuando se pa se de un sistema de coordenadas a otro. 2) Interpretación del gradiente De forma geométrica es un vector que se normal (perpendicular) a la curva de nivel en el punto P(x, y) en el que se calcula el gradiente. Por ejemplo, consideremos una habitación en la cual la temperatura se defi ne a través de un campo escalar, de tal ma nera que en cualquier punto (x, y, z), la temperatura es T(x, y, z). Asumiremos que la temperatura no varía con respecto al tiempo "t". Siendo esto así, para cada pun to de la habitación, el gradiente en ese pun to nos dará la dirección en la cual la tempe ratura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá que tan rápido au menta la temperatura en esa dirección.
3) Representación El gradiente de un campo escalar "V", o también conocido como vector gradiente,
se denota como V, donde "" es el opera dor diferencial vectorial llamado nabla. El resultado del gradiente del campo esca lar "V" es un campo vectorial (^) E, esto es, V= (^) E.
4) Propiedades Algunas de las propiedades más importan tes de la operación gradiente, son: (f+g)= f+g (Distributiva) (f)= f, (linealidad del operador ) El gradiente de una función es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por =cte. Apunta en la dirección en la que la deriva da direccional es máxima La norma o módulo del gradiente es igual a la derivada direccional máxima. El campo formado por el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, esto es:
x (V)= 0 4) Expresión matemática general La expresión general del gradiente del cam po escalar "V"en cualquier sistema de coor denadas ortogonales, viene dada por:
1 2 3 1 1 2 2 3 3
1 V 1 V 1 V
V e ˆ ˆe eˆ h q h q h q
donde, q 1 , q 2 , q 3 son las coordenadas en el sistema ortogonal, y h 1 , h 2 , h 3 los llamados factores de escala de dicho sistema de coor denadas. Por ejemplo en el sistema de coor denadas cilíndricas, q 1 =, q 2 =, q 3 =z, y h=1, h=, hz=1, con lo que:
V 1 V V V ˆ ˆ zˆ
donde, V=V(x, y, z) es el campo escalar. La expresión general del gradiente del cam po escalar "" en cualquier sistema de cur vilíneo, viene dada por:
34 Robotica y Cibernética
Ejemplo: 28 Hallar el gradiente del campo escalar F, da do por: F(x, y)=x^2 +2x+y^2 +y^3 +xy, y evaluar su modulo en el punto P(1; 1). Solución: En coordenadas rectangulares, el gradiente del campo escalar F es:
F (^) ˆ Fˆ F i j x y
2 2 3
2 2 3
F (x 2x y y xy)i^ ˆ x
(x 2x y y xy) j^ ˆ y
2 2 3
2 2 3
x 2x y y xy (^) ˆ F ( ) i x x x x x x 2x y y xy (^) ˆ ( ) j y y y y y
2
F (2x 2 0 0 y)i^ ˆ
(0 0 2y 3y x) j^ ˆ
F (2x y 2)iˆ (2y 3y^2 x) jˆ
Evaluando este gradiente en el punto (1; 1) y tomando su modulo, obtenemos:
1,1 1, F 5i^ ˆ^ 6 jˆ F 7,
b) Divergencia
1) Definición La divergencia de un campo vectorial en un punto del espacio es un campo escalar, y se define como el flujo del campo vecto rial por unidad de volumen conforme el vo lumen alrededor del punto tiende a cero.
2) Interpretación
La divergencia puede entenderse como la densidad de fuentes de un campo vectorial, siendo positiva si el campo posee un ma nantial y negativa si tiene un sumidero. Por ejemplo, en el caso del flujo de calor q , los manantiales representan la produc ción de calor y los sumideros su consumo. La integral de volumen de la divergencia = qdV, será la suma de todas las fuen tes que hay al interior del volumen. Teniendo en cuenta el signo, el resultado será igual a la producción de todos los ma nantiales, menos el consumo de los sumide ros, esto es, la producción neta de calor en el volumen. Si se produce más calor del que se consu me, ese calor extra debe escapar al exterior del volumen. Esa emisión al exterior es lo que representa el flujo.
3) Representación La divergencia de un campo vectorial E, se denota como E, donde "" es el ope rador diferencial vectorial llamado nabla. El resultado de la operación divergencia del campo vectorial E es un campo escalar V, esto es, E=V.
4) Propiedades Algunas de las propiedades más importan tes de la operación divergencia, son: ( E+ G)= E+ G (Distributiva) (c E)=c E, donde c es una cte. ( E)=() E+ E, donde es un campo escalar. (ExG) G xE E xG ( E)G (E )G G( E) xE 0 (r / r )^3 ^2 (1/ r) 0, si r 0 ^2 r 3 , donde r es el vector de posición
Análisis Vectorial 35
E( ) ( E / )
5) Expresión matemática general La expresión general de la divergencia del
campo vectorial E en cualquier sistema de coordenadas ortogonales, viene dada por:
2 3 1 3 1 2 3 1 2 1 2 3
1 (h h E) (h h E) E [ h h h q q (h h E) ] q
donde, q 1 , q 2 , q 3 son las coordenadas en el sistema ortogonal, y h 1 , h 2 , h 3 los llamados factores de escala en dicho sistema de coor denadas. Por ejemplo en el sistema de coor denadas esféricas, q 1 =r, q 2 =, q 3 = y hr=1, h=r, h=1, con lo que:
2 2 r
E (r E ) (sen E ) r r^ rsen^ r
1 E
rsen r
La expresión general de la divergencia del
campo vectorial " E" en cualquier sistema curvilíneo, no necesariamente ortogonal, viene dada por:
k k
E ( g E ) g x
donde, IgI es el determinante del tensor mé trico. Tensor métrico En geometría de Riemann, el tensor de mé trico es un tensor de rango 2 que se utiliza para definir conceptos métricos como dis tancia, ángulo y volumen en un espacio lo calmente euclídeo. Una vez que se elige una base local, el ten
sor métrico aparece como una matriz, deno tada convencionalmente como "g". La nota ción gij se utiliza convencionalmente para las componentes del tensor. Así, el tensor métrico "g" se expresa fijada una base coor denada como:
11 12 1n 21 22 2n
n1 n2 nn
g g g g g g g
g g g
^
En física es muy común escribir la métrica como el cuadrado del elemento de longitud dado que el tensor es simétrico la notación física, viene dada por:
2 i j ds g dx dxij
6) Fuentes escalares de un campo vectorial La divergencia es una cantidad escalar con signo, este signo posee significado geomé trico y físico, así: Si la divergencia de un campo vectorial en un punto es positiva, quiere decir que en di cho punto el campo radia hacia el exterior. Se dice que en esa posición el campo vecto rial posee un manantial. Si por el contrario la divergencia es negati va, el campo converge hacia dicho punto; se dice que el campo posee un sumidero. Ambos, manantiales y sumideros, constitu yen las fuentes escalares de un campo vec torial. Si la divergencia es nula en un punto el campo carece de fuentes escalares en dicho punto.
7) Campo escalar, vectorial, tensorial
Campo escalar
Análisis Vectorial 37
El ejemplo más importante en el electro magnétismo de campo solenoidal, es el campo magnético, en el que se verifica, B=0, r, tanto en situaciones estáticas como dinámicas. Un campo solenoidal se caracteriza porque sus líneas de campo no pueden converger ni divergir de ningún punto; no pueden te ner extremos localizados, esto hace que las líneas solo puedan ser cerradas, o ir del in finito al infinito, o dar vueltas sobre si mis mas, sin llegar a cerrarse. Un ejemplo analítico de campo solenoidal
es E=-y ˆi+x ˆj, las líneas de campo de este campo vectorial describen circunferencias en torno al eje-z, en concordancia con la idea que no tienen extremos.
9) Aplicaciones La divergencia de un campo vectorial es proporcional a la densidad de las fuentes puntuales del campo, así, en la ley de Gauss, tenemos:
o
E
donde, " E" es el campo eléctrico, "" la densidad de carga volumétrica, y "o" la permitividad eléctrica del vació. Asimismo, en la ley de Gauss para el cam po de inducción magnético, que es una de las ecuaciones de Maxwell, tenemos:
B 0
el valor cero de la divergencia nos indica que no hay fuentes puntuales de campo magnético, y que las líneas de campo mag nético son líneas cerradas.
10) Teorema de la divergencia
El flujo de un campo "E" a través de una superficie cerrada "S" y la divergencia es
tán estrechamente relacionados por la ecua ción:
S V
E dS^ ^ EdV
donde, "V es el volumen encerrado por la superficie "S". Este teorema establece, que la cantidad de campo que escapa hacia el exterior de una superficie cerrada "S", es igual, a la suma neta de las fuentes escalares contenidas al interior de dicha superficie cerrada.
Ejemplo: 29 Calcular la divergencia del campo vecto rial, dado por:E(x, y) x cos yiˆ sen y jˆ Solución: En la expresión de la divergencia en coor denadas rectangulares, reemplazando las componentes de E, tenemos:
Ex Ey E x y
^
(x cos y) ( sen y) E x y
E cos y cos y
E 0
Por lo que, E es un campo solenoidal, esto es, no presenta fuentes ni sumideros.
Ejemplo: 30 Hallar la divergencia del campo vectorial,
dado por: (x/4)^2 ˆ y (^2) ˆ E(x, y) e i [0,5 ( ) ] j 4
y evaluar en el punto P(1; 1). Solución: En la expresión de la divergencia en coor denadas rectangulares, reemplazando las componentes de E, tenemos:
38 Robotica y Cibernética
E Ex^ Ey x y
^
(x /16)^2 2x^ 2y E e ( ) 16 16
(^1) x /16^2 E [x e y] 8
( E)1;1 0,
Como, ( E)1;1es negativo, el campo vec torial tiene un sumidero en el punto (1; 1).
c) El rotacional
1) Definición El rotacional o rotor es un operador vecto rial que actúa sobre campos vectoriales de finidos en un abierto de 3 que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación (giro) al rededor de un punto. Aunque el rotacional de un campo alrede dor de un punto sea distinto de cero, no im plica que las líneas de campo giren alrede dor de ese punto y lo encierren.
2) Interpretación Por ejemplo, el campo de velocidades de un fluido que circula por una tubería (cono cido como el perfil de Poiseulli) posee un rotacional no nulo en todas partes, salvo en el eje central, pese a que la corriente fluye en línea recta. La idea es que si colocamos una rueda de paletas infinitamente pequeña en el interior del campo vectorial, esta rueda girará, aun que el campo tenga siempre la misma direc ción, debido a la diferente magnitud del campo a un lado y a otro de la rueda.
3) Representación
El rotacional de un campo vectorial E, se denota como x E, donde "" es el ope rador diferencial vectorial llamado nabla. El resultado de la operación rotacional del campo vectorial (^) E es otro campo vectorial F^ , esto es,^ x^ E=^ F.
4) Fuente vectorial y escalar Al campo vectorial G, resultado de calcu lar el rotacional sobre un campo vectorial E^ en cada punto del espacio,^ G^ xE, se conoce como las fuentes de E (siendo las fuentes escalares la que se obtienen medi ante la operación de divergencia). Un campo cuyo rotacional es nulo en todos los puntos del espacio se denomina irrota cional o se dice que carece de fuentes vec toriales.
4) Propiedades Algunas de las propiedades más importan tes de la operación divergencia, son: x ( E+ G)= x E+x G (Distributiva) x (c E)=c x E, donde c es una cte. Todo campo potencial (expresable como el gradiente de un potencial escalar) es irrota cional y viciversa, esto es: E V, si y sólo si x E=0. Todo campo central (radial y dependiente sólo de la distancia al centro de fuerza) es irrotacional, esto es: E f (r)rˆ, entonces, x E=0. En particular, el campo electros tático de una carga eléctrica puntual "q" es irrotacional. El rotacional de un campo vectorial es siempre un campo solenoidal, esto es su di vergencia siempre es nula, (x E)=
4) Expresión matemática general La expresión general del rotacional del campo vectorial "E" en cualquier sistema de coordenadas ortogonales, viene dada por:
40 Robotica y Cibernética
z y x z
y (^) x
E E E E
xE ( ) x^ ˆ^ ( ) yˆ y z z x E (^) E ( ) zˆ x y
0 x ( y) 0 xE ( ) x^ ˆ^ ( ) yˆ y z z x x ( y) ( ) zˆ x y
x E 2kˆ
El rotacional de E es un campo constante en la dirección del eje-z positivo.
d) El laplaciano
1) Definición El laplaciano es un operador diferencial e líptico de segundo orden, denotado por o ^2 , relacionado con ciertos problemas de minimización de ciertas magnitudes físicas sobre un cierto dominio de validez. El operador tiene este nombre en reconoci miento de Pierre-Simon Laplace que estu dio soluciones de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en las que aparecía dicho operador.
2) Fuente El laplaciano de un campo escalar V, es el resultado de la operación divergencia gra diente del campo V, es decir esta opera ción es la fuente del laplaciano:
( V) 2 V V
3) Interpretación física El laplaciano de un campo escalar V, mi de la segunda variación en las coordenadas espaciales que experimenta el campo V en
un punto del espacio.
4) Aplicaciones En física, el laplaciano aparece en múlti ples contextos como la teoría del potencial, la propagación de ondas, la conducción de calor, la distribución de tensiones en un cuerpo deformable, etc... Pero de todos es tos casos ocupa un lugar destacado en la e lectrostática y en la mecánica cuántica. En la electrostática, el operador laplaciano aparece en la ecuación de Laplace y en la e cuación de Poisson. En tanto, en la mecánica cuántica el lapla ciano de la función de onda de una partícu la proporciona su energía cinética.
5) Propiedades Algunas de las propiedades que presenta el laplaciano, son: ^2 (F+G)= ^2 F+^2 G, linealidad. ^2 (FG)=(^2 F)G+2(F)(G)+F(^2 G)
6) Expresión matemática general La expresión general del laplaciano del campo escalar "V" en cualquier sistema de coordenadas ortogonales, viene dada por:
(^2 2 ) 1 2 3 1 1 1 1 3 1 2 2 2 2 3 3 3
1 h h V V [ ( ) h h h q h q h h V h h V ( ) ( )] q h q q h q
donde, q 1 , q 2 , q 3 son las coordenadas en el sistema ortogonal, y h 1 , h 2 , h 3 los llamados factores de escala de dicho sistema de coor denadas. Por ejemplo en el sistema de coor denadas rectangulares, q 1 =x, q 2 =y, q 3 =z, y hx=1, hy=1, hz=1, con lo que:
2 2 2 2 2 2 2
V V V
V
x y z
Análisis Vectorial 41
El laplaciano de un campo escalar V, en un sistema de coordenadas no necesariamente ortogonal, viene dado por:
2 ik k i
1 V
V ( g g ) g x x
donde, gij^ es el tensor contravariante de or den 2 asociado al tensor métrico, g es la raíz cuadrada del valor absoluto del deter minante del tensor métrico.
7) El laplaciano vectorial El laplaciano vectorial, es un operador dife rencial definido sobre un campo vectorial E , el laplaciano vectorial es similar al la placiano escalar, a diferencia que se aplica sobre campos vectoriales dando como re sultado otro campo vectorial. Un ejemplo del uso del laplaciano vecto rial, son las ecuaciones de Navier-Stokes para un flujo incompresible newtoniano, esto es:
( v (v )v) f P ( 2 v) t
donde el término con el laplaciano vecto rial del campo de velocidad (^2 v) repre senta las tensiones viscosas en el fluido. Otro ejemplo muy utilizado en la física es la ecuación de ondas para el campo eléctri co E, que puede ser derivada a partir de las ecuaciones de Maxwell, en particular en ausencia de cargas y corrientes (fuentes de campos), se tiene:
2 2 o o (^2)
E
E E 0
t
donde, es el operador llamado el D'Alem bertiano, que se utiliza en la ecuación de Klein-Gordon.
Ejemplo: 32 En una región R del espacio libre, hay un potencial, dado por: V(, )=(Vo/d)cos . Probar que V(, ) satisface la ecuación de Laplace. Solución: En coordenadas cilíndricas, sustituyendo el potencial dado en la ecuación de Laplace, tenemos:
2 V 0
2 2 2 2
1 V 1 V
V ( ) 0
(^2) o
2 o 2 2
1 V
V ( ( cos )) d 1 V ( cos ) 0 d
(^2) o
o 2
1 V
V ( cos ) d 1 V ( sen ) 0 d
(^2) V Vo^ cos Vocos 0 d d
<<V satisface la ecuación de Laplace>>
TENSORES
a) Definición de tensor
Un tensor es cierta clase de entidad alge braica de varios componentes, que genera liza los conceptos de escalar, vector y ma triz de una manera que sea independiente de cualquier sistema de coordenadas elegi do
07
