Campos vectoriales.
Un campo vectorial en Rnes una funci´on F:D⊂Rn→Rnque asigna a cada punto
x= (x1, . . . , xn)∈Dun vector F(x). As´ı pues, todo campo vectorial en Rntiene n
componentes
F(x) = (F1(x), . . . , Fn(x)),
cada una de las cuales es un campo escalar.
Ejemplos de campos vectoriales son:
a) Si un fluido se mueve en un recipiente, cada part´ıcula tiene una velocidad v(x, y, z ),
la cual es un vector que depende de la posici´on (x, y, z ) de la part´ıcula en cada
momento.
b) Si en un recipiente se aplica una fuente de calor, la temperatura en cada punto
(x, y, z) es un campo escalar T(x, y, z). El flujo de calor viene dado por un campo
vectorial de ecuaci´on J(x, y, z) = −k· ∇T(x, y , z), donde k > 0 es una constante,
llamada conductividad (el signo negativo indica que el calor fluye desde la parte
m´as caliente hacia la m´as fr´ıa).
c) El campo de fuerzas gravitacional que producen dos masas myMsobre un punto
(x, y, z) es un campo vectorial de ecuaci´on F=−m·M·G
|(x, y, z)|3·(x, y , z), donde
Ges la constante de gravitaci´on universal. En este caso, F=−∇V, donde
V=−m·M·G
|(x, y, z)|.
d) El campo vectorial F(x, y) = (−y, x) representa el movimiento giratorio de un
punto (x, y) en el plano.
En los ejemplos (b) y (c), los campos vectoriales son campos gradientes de funciones
escalares. En general, si F=∇f, decimos que fes el potencial del campo vectorial F.
En un campo vectorial F, se llama l´ınea de flujo a cualquier trayectoria σ(t) tal que
σ0(t) = F(σ(t)).
De este modo, Frepresenta el campo de velocidad de la trayectoria σ(t).
Operadores divergencia y rotacional.
Si F= (F1, F2, F3) es un campo vectorial en R3, se define el rotacional de Fal campo
vectorial
rot F=∇ × F.
Un campo vectorial se llama irrotacional cuando rot F= 0.
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