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En el capítulo anterior se mostró cómo calcular el campo eléctrico generado por una distribución de cargas conocida. En este capítulo se describe la ley de Gauss , así como un procedimiento alterno para calcular campos eléctricos. La ley de Gauss parte de que la fuerza electrostática que existe entre cargas exhibe un comportamiento cuadrático in- verso. A pesar de que se trata de una consecuencia de la ley de Coulomb, la ley de Gauss es más útil para calcular los campos eléctricos de distribuciones de carga muy simétricas y permite hacer razonamientos cualitativos al tratar con problemas complicados.
24.1 Flujo eléctrico
En el capítulo 23 se describe de manera cualitativa el concepto de líneas de campo eléc- trico. Ahora conviene ocuparse de las líneas de campo eléctrico con un enfoque más cuantitativo. Considere un campo eléctrico que es uniforme tanto en magnitud como en dirección, similar al que se muestra en la figura 24.1. Las líneas de campo penetran en una superficie rectangular de área A , cuyo plano tiene una orientación perpendicular al campo. Recuer- de de la sección 23.6 que el número de líneas por unidad de área (la densidad de líneas ) es proporcional a la magnitud del campo eléctrico. Por lo tanto, el total de líneas que penetran en la superficie es proporcional al producto EA. A este producto de la magnitud
24.1 Flujo eléctrico 24.2 Ley de Gauss 24.3 Aplicación de la ley de Gauss a varias distribuciones de carga 24.4 Conductores en equilibrio electrostático
24 Ley de Gauss
Las líneas de color que emanan de una esfera de plasma son evidencia de campos eléctricos intensos. En este capítulo, mediante la ley de Gauss, se demuestra que el campo eléctrico que rodea a una esfera con carga es idéntico al de una carga puntual (Getty Images).
Figura 24.1 Líneas de campo que representan un campo eléctrico uniforme que penetra en un plano de área A perpendicular al campo. El flujo eléctrico (^) E que cruza esta superficie es igual a EA.
Área A
E
674 Capítulo 24 Ley de Gauss
del campo eléctrico E y al área superficial A, perpendicular al campo, se le conoce como flujo eléctrico (^) E (phi mayúscula):
£ E EA (24.1)
Con base en las unidades del SI correspondientes a E y A , (^) E se expresa en newtons por metros al cuadrado entre coulomb (N m^2 /C). El flujo eléctrico es proporcional al nú- mero de las líneas de campo eléctrico que penetran en una superficie. Si la superficie en cuestión no es perpendicular al campo, el flujo que pasa a través de él debe ser menor que el resultante si se utiliza la ecuación 24.1. Lo anterior es comprensible si toma en consideración la figura 24.2, donde la normal en relación con la superficie A forma un ángulo con el campo eléctrico uniforme. Observe que el número de líneas que atraviesan el área A es igual al número que atraviesa el área A ⊥, la cual es una proyección del área A ⊥ a un plano con orientación perpendicular al campo. Observe en la figura 24. que ambas áreas están relacionadas por la fórmula A ⊥ A cos u. Dado que el flujo que atraviesa A es igual al flujo que atraviesa A ⊥, entonces el flujo que pasa a través de A es
£ E EA EA cos u (24.2)
A partir de este resultado, se observa que el flujo que atraviesa una superficie de área A fija tiene un valor máximo EA cuando la superficie es perpendicular al campo (cuando la normal de la superficie es paralela al campo, u 0° en la figura 24.2); el flujo es cero si la superficie es paralela al campo (cuando la normal de la superficie es perpendicular al campo, u 90°). En la explicación anterior se ha supuesto un campo eléctrico uniforme. En situaciones más generales, el campo eléctrico varía a lo largo de una superficie. Por lo tanto, la defi- nición de flujo conocida en la ecuación 24.2 tiene significado sólo para un elemento de área pequeño sobre el cual el campo es casi constante. Considere una superficie dividida en un gran número de elementos pequeños, cada uno de área A. Es conveniente definir un vector A
→ i cuya magnitud representa el área del elemento^ i -ésimo sobre la superficie y cuya dirección está definida como perpendicular al elemento de superficie, como se muestra en la figura 24.3. El campo eléctrico E
→ i en la ubicación de este elemento forma un ángulo ui con el vector A
→ i. El flujo eléctrico^ E a través de este elemento es
¢£ E Ei ¢ Ai cos u i E
S i ¢ A
S i
donde se utiliza la definición de producto escalar de dos vectores ( A
→ B
→ AB cos u , véase el capítulo 7). Al sumar las contribuciones de todos los elementos, obtiene el flujo total a través de la superficie.
£ E (^) a E
S i ¢ A
S i
Si supone que el área de cada elemento se acerca a cero, en tal caso el número de ele- mentos se acercaría al infinito y la suma se reemplaza por una integral. Debido a eso, la definición general del flujo eléctrico es
£ (^) E (24.3) superficie
E
S d A
S
La ecuación 24.3 es una integral de superficie, lo que significa que debe ser evaluada sobre la superficie en cuestión. En general, el valor de (^) E depende tanto del patrón de campo como de la superficie. A menudo interesa la evaluación del flujo que pasa a través de una superficie cerrada, misma que se define como aquella que divide el espacio en una región exterior y una interior, de manera que no es posible pasar de una región a la otra sin atravesarla. Por ejemplo, la superficie de una esfera tiene una superficie cerrada. En la superficie cerrada de la figura 24.4 los vectores A
→ i apuntan en direcciones dife- rentes para diferentes elementos de superficies, pero en cada uno de ellos estos vectores son normales a la superficie, y, por convención, siempre apuntan hacia afuera. En el elemento identificado como , las líneas de campo cruzan la superficie del lado interno al externo y u 90°; por lo tanto, el flujo (^) E E
→ A
→ 1 a través de este elemento es positivo. Por lo que se refiere al elemento , las líneas de campo rozan la superficie (per- pendicular al vector A
→ 2 ); por lo tanto^ u^ ^ 90° y el flujo es igual a cero. Para elementos
Figura 24.2 Líneas de campo que representan un campo eléctrico uniforme que penetra en un área A la cual forma un ángulo u en relación con el campo. Ya que el número de líneas que atraviesan el área A ⊥ es el mismo número que pasa a través de A , el flujo a través de A ⊥ es igual al flujo que pasa a través de A y se conoce por (^) E EA cos u.
Figura 24.3 Elemento pequeño de área superficial Ai. El campo eléctrico forma un ángulo u i con el vector A
→ i,^ definido como normal al elemento de superficie, y el flujo a través del elemento es igual a Ei Ai cos ui.
Definición de flujo eléctrico
›^ cos
E
Normal A
A A u
u
u
A i
i E i u
676 Capítulo 24 Ley de Gauss
Categorizar Evalúe el flujo a partir de su definición, de modo que este ejemplo se clasifica como un problema de susti- tución. El flujo a través de cuatro de las caras (, y las no numeradas) es cero porque E
→ es paralelo a las cuatro caras y por tanto perpendicular a d A
→ en estas caras.
Escriba las integrales para el flujo neto a través de las caras
y :
Para la cara , E
→ es constante y se dirige hacia adentro,
pero d A
→ se dirige hacia afuera ( u = 180°). Encuentre el flujo
a través de esta cara:
Para la cara , E
→ es constante y hacia afuera en la misma
dirección que d A
→ 2 ( u^ = 0°). Encuentre el flujo a través de esta cara:
Encuentre el flujo neto al sumar el flujo sobre las seis caras:
KARL FRIEDRICH GAUSS
Matemático y astrónomo alemán (1777-1855)
En 1799 Karl Friedrich Gauss obtuvo un doc- torado en matemáticas por la Universidad de Helmstedt. Además de su trabajo en el área del electromagnetismo, contribuyó en los campos de las matemáticas y la ciencia en la teoría de números, la estadística, la geome- tría no euclidiana y en la mecánica orbital de los cometas. Fue uno de los fundadores de la German Magnetic Union, la cual estudia en forma continua el campo magnético de la Tierra.
24.2 Ley de Gauss
En esta sección se describe una correspondencia de tipo general entre el flujo eléctrico neto a través de una superficie cerrada (con frecuencia considerada como superficie gaus- siana ) y la carga encerrada en la superficie. Esta correspondencia, conocida como ley de Gauss , es de importancia fundamental en el estudio de los campos eléctricos. Suponga de nuevo una carga puntual positiva q ubicada en el centro de una esfera de radio r , como se observa en la figura 24.6. De la ecuación 23.9, sabe que la magnitud del campo eléctrico en todos los puntos de la superficie de la esfera es E keq / r^2. Las líneas de campo están dirigidas radialmente hacia afuera y por tanto son perpendiculares a la superficie en todos sus puntos. Es decir, en cada punto de la superficie, E
→ es paralelo al vector A
→ i que representa un elemento de área local^ Ai que rodea al punto en la super- ficie. Por lo tanto,
E
S ¢ A
S i E^ ¢ Ai y por la ecuación 24.4 encuentra que el flujo neto a través de la superficie gaussiana es igual a £ E E
S d A
S E dA E dA
donde se ha retirado E afuera de la integral ya que, por simetría, E es constante en la superficie y se conoce por E keq / r^2. Además, en vista de que la superficie es esférica, dA A 4 pr^2. Por lo tanto, el flujo neto a través de la superficie gaussiana es
£ E ke
q r^2
14 p r^2 2 4 p keq
Recuerde de la sección 23.3 que ke 1/4 pe 0 , lo que permite escribir esta ecuación de la forma £ E (24.5)
q P 0 Observe en la ecuación 24.5 que el flujo neto a través de la superficie esférica es pro- porcional a la carga existente en el interior. El flujo es independiente del radio r porque el área de la superficie esférica es proporcional a r^2 , en tanto que el campo eléctrico es proporcional a 1/ r^2. En consecuencia, en el producto del área y el campo eléctrico, se elimina la dependencia con r.
£ E
1
E
S d A
S
2
E
S d A
S
1
E
S d A
S
1
E 1 cos 180° 2 dA E 1
dA EA E /^2
2
E
S d A
S
2
E 1 cos 0° 2 dA E 2
dA EA E /^2
£ E E /^2 E /^2 0 0 0 0
Ahora considere varias superficies cerradas que rodean una carga q , como se muestra en la figura 24.7. La superficie S (^) 1 es esférica pero las superficies S (^) 2 y S (^) 3 no lo son. Por la ecuación 24.5, el flujo que pasa a través de S (^) 1 tiene un valor de q / e 0. Como se explicó en la sección anterior, el flujo es proporcional al número de líneas de campo eléctrico que atraviesan dicha superficie. La construcción de la figura 24.7 muestra que el número de líneas a través de S 1 es el mismo número de líneas que pasan a través de las superficies no esféricas S (^) 2 y S (^) 3. Por lo tanto, el flujo neto a través de cualquier superficie cerrada que rodea a una carga puntual q tiene un valor de q / e 0 y es independiente de la forma de la superficie. Ahora considere una carga puntual localizada en el exterior de una superficie cerrada con forma arbitraria, como se observa en la figura 24.8. Como puede ver, cualquier línea de campo eléctrico que entre en la superficie saldrá de la misma en algún otro punto. El número de líneas de campo eléctrico que entran en la superficie es igual al número de líneas que salen. Por lo tanto, el flujo eléctrico neto a través de una superficie cerrada que no rodea a ninguna carga es igual a cero. Si aplica este resultado al ejemplo 24.1, es fácil constatar que el flujo neto a través del cubo es cero, porque no existe ninguna carga en su interior. Despliegue estos argumentos a dos casos generalizados: 1) el correspondiente a mu- chas cargas puntuales y 2) el de una distribución continua de la carga. Utilice otra vez el principio de sobreposición, que dice que el campo eléctrico debido a muchas cargas es igual a la suma vectorial de los campos eléctricos producidos por cada una de las cargas individuales. Por lo tanto, puede expresar el flujo a través de cualquier superficie cerrada de la forma
E
S d A
S 1 E
S 1 E
S 2 p^2 d A
S
donde E
→ es el campo eléctrico total en cualquier punto sobre la superficie, producido por la adición vectorial de los campos eléctricos en dicho punto, debido a las cargas individua- les. Considere el sistema de cargas que se muestra en la figura 24.9. La superficie S rodea únicamente una carga, q 1 ; por lo que el flujo neto a través de S es q 1 / e 0. El flujo a través de S debido a las cargas q 2 , q 3 y q 4 exteriores a S es igual a cero porque cada una de las líneas de campo eléctrico que entran en S en algún punto salen por otro. La superficie S rodea a las cargas q 2 y q 3 ; de ahí que el flujo neto a través de S sea igual a ( q 2 q 3 )/ e 0. Por último, el flujo neto a través de la superficie S es igual a cero, ya que no existe carga alguna en su interior. Esto es, todas las líneas de campo eléctrico que entran en S en algún punto salen por otro. Observe que la carga q 4 no contribuye al flujo neto a través de ninguna de las superficies, ya que está en el exterior de todas ellas. La ley de Gauss, que es una generalización de lo anterior, dice que el flujo neto a través de cualquier superficie cerrada es
£ E E (24.6)
S d A
S q in P 0
donde q in representa la carga neta en el interior de la superficie y E
→ el campo eléctrico en cualquier punto de la misma.
Sección 24.2 Ley de Gauss 677
Figura 24.9 El flujo eléctrico neto a través de cualquier superficie cerrada depende sólo de la carga en el interior de dicha superficie. El flujo neto a través de la superficie S es q 1 / e 0 , el flujo neto a través de S es ( q 2 q 3 )/ e 0 , y el flujo neto a través de la superficie S es igual a cero. La carga q 4 no contribuye al flujo por las superficies, ya que está en el exterior de todas ellas.
Figura 24.6 Superficie gaussiana esférica de radio r que rodea una carga puntual q. Cuando la carga está en el centro de la esfera, el campo eléctrico es normal a la superficie en todos los puntos y de magnitud constante.
Figura 24.7 Superficies cerradas de diversas formas que rodean una carga q. El flujo eléctrico neto es el mismo a través de todas las superficies. Figura 24.8 Carga puntual localizada fuera de una superficie cerrada. El número de líneas que entran a la superficie es igual al número de líneas que salen de la misma.
Superficie gaussiana
r
q
A
E
i
S 3 S 2 S 1
q
q
S
q 1
q 2
q 3 S
S
q 4
(^) Ley de Gauss
EJEMPLO 24.3 Distribución de carga con simetría esférica
Una esfera sólida aislante con radio a tiene una densidad de carga volumétrica uniforme r y tiene una carga positiva total Q (figura 24.10).
A) Calcule la magnitud del campo eléctrico en un punto afuera de la esfera.
SOLUCIÓN
Conceptualizar Observe cómo difiere este problema de la ex- plicación anterior de la ley de Gauss. El campo eléctrico debido a cargas puntuales se explicó en la sección 24.2. Ahora se consi- dera el campo eléctrico debido a una distribución de carga. En el capítulo 23 encontró el campo para varias distribuciones, al integrar sobre la distribución. En este capítulo debe encontrar el campo eléctrico mediante la ley de Gauss.
Categorizar Puesto que la distribución de la carga es unifor- me en toda la esfera, la distribución de carga tiene simetría esférica y se puede aplicar la ley de Gauss para hallar el campo eléctrico.
Analizar Para reflejar la simetría esférica, elija una superficie gaussiana esférica de radio r , concéntrica con la esfera, como se muestra en la figura 24.10a. Para esta elección, la condición 2) se satisface en cualquier parte sobre la superficie y E
→ d A EdA
Sustituya E
→ d A en la ley de Gauss con E dA :
Por simetría, E es constante en todas partes sobre la superficie, lo que satisface la condición 1), de modo que se puede retirar E de la integral:
Al resolver para E :
Finalizar Este campo es idéntico al de una carga puntual. Por lo tanto, el campo eléctrico debido a una esfera con carga uniforme en la región externa a la esfera es equivalente a una carga puntual ubicada en el centro de la esfera.
B) Encuentre la magnitud del campo eléctrico en un punto adentro de la esfera.
SOLUCIÓN
Analizar En este caso, elija una superficie gaussiana esférica que tenga radio r a , concéntrica con la esfera aislante (fi- gura 24.10b). Sea V el volumen de esta esfera más pequeña. Para aplicar la ley de Gauss en esta situación, reconozca que la carga q in dentro de la superficie gaussiana de volumen V es menor que Q.
Calcule q in usando q in = r V 9 :
Observe que las condiciones 1) y 2) se satisfacen en todas partes sobre la superficie gaussiana en la figura 24.10b. Aplique la ley de Gauss en la región r a :
Resuelva para E y sustituya para q in:
Sección 24.3 Aplicación de la ley de Gauss a varias distribuciones de carga 679
a)
Esfera gaussiana b)
Esfera r gaussiana
a
r
a
Q
Figura 24.10 (Ejemplo 24.3) Esfera aislante con carga uniforme de radio a y carga total Q. a) Para puntos afuera de la esfera, se dibuja una gran superficie gaussiana esférica concéntrica con la esfera. En diagramas como éste, la línea discontinua representa la intersección de la superficie gaussiana con el plano de la página. b) Para puntos adentro de la esfera, se dibuja una superficie gaussiana esférica más pequeña que la esfera.
£ E E
S d A
S E dA
Q
P 0
E dA E dA E 14 p r^2
Q
P 0
1) E
Q
4 pP 0 r^2
ke
Q
r^2
1 para r 7 a 2
E
q in 4 pP 0 r^2
r 143 p r^3 4 pP 0 r^2
r 3 P 0
r
q in r V ¿ r 143 p r^3
E dA E dA E 14 p r^2
q in P 0
680 Capítulo 24 Ley de Gauss
Finalizar Este resultado para E difiere del obtenido en el inciso A). Muestra que E → 0 conforme r → 0. Por lo tanto, el resultado elimina el problema que existiría en r = 0 si E variara como 1/ r^2 dentro de la esfera como lo hace afuera de la esfera. Es decir: si E ∝ 1/ r^2 para r a , el campo sería infinito en r = 0, lo que es físicamente imposible.
¿Qué pasaría si? Suponga que la posición radial r = a se alcanza desde adentro de la esfera y desde el exterior. ¿Se obtiene el mismo valor del campo eléctrico desde ambas direcciones?
Respuesta La ecuación 1) muestra que el campo eléctrico se aproxima a un valor desde el exterior conocido por
Desde el interior, la ecuación 2) proporciona
En consecuencia, el valor del campo es el mismo, ya sea que se llegue a la superficie desde ambas direcciones. En la figura 24.11 se muestra una gráfica de E en función de r. Observe que la magnitud del campo es continua.
EJEMPLO 24.4 Distribución de carga con simetría cilíndrica
Encuentre el campo eléctrico a una distancia r desde una línea de carga positiva de longitud infinita y carga constante por unidad de longitud l (figura 24.12a).
SOLUCIÓN
Conceptualizar La línea de carga es infinitamente larga. Por consiguiente, el campo es el mismo en todos los puntos equi- distantes de la línea, sin importar la posición vertical del punto en la figura 24.12a.
Categorizar Ya que la carga está distribuida uniformemente a lo largo de la línea, la distribución de carga tiene simetría cilíndrica y se puede aplicar la ley de Gauss para encontrar el campo eléctrico.
Analizar La simetría de la distribución de carga requiere que E
→ sea perpendicular a la línea de carga y dirigida hacia afuera, como se muestra en las figuras 24.12a y b. Para reflejar la sime- tría de la distribución de carga, elija una superficie gaussiana cilíndrica de radio r y longitud que sea coaxial con la línea de carga. Para la parte curva de esta superficie, E
→ es constante en magnitud y perpendicular a la superficie en cada punto, lo que satisface las condiciones 1) y 2). Además, el flujo a través de los extremos del cilindro gaussiano es cero porque E
→ es paralelo a estas superficies. Esta es la primera aplicación de la condición 3). Debe tomar la integral de superficie en la ley de Gauss sobre toda la superficie gaussiana. Sin embargo, ya que E
→ d A
→ es cero para los extremos planos del cilindro, restrinja la atención sólo a la superficie curva del cilindro.
Aplique la ley de Gauss y las condiciones 1) y 2) para la super- ficie curva, y note que la carga total dentro de la superficie gaussiana es l:
a
E
a r
E keQ r^2
E
keQ a^3
r
Figura 24.11 (Ejemplo 24.3) Gráfica de E en función de r para una esfera aislante con carga uniforme. El campo eléctrico dentro de la esfera ( r < a ) varía linealmente con r. El campo afuera de la esfera ( r > a ) es el mismo que el de una carga puntual Q ubicada en r = 0.
Superficie gaussiana
E d A
r
(a)
E
(b) Figura 24.12 (Ejemplo 24.4) a) Línea infinita de carga rodeada por una superficie gaussiana cilíndrica concéntrica con la línea. b) Una vista lateral muestra que el campo eléctrico en la superficie cilíndrica es constante en magnitud y perpendicular a la superficie.
E lím r S a
a k (^) e
Q
r^2
b k (^) e
Q
a^2
E lím r S a
a k (^) e
Q
a^3
r b k (^) e
Q
a^3
a k (^) e
Q
a^2
£ E E
S d A
S E dA EA
q in P 0
l/ P 0
r Q >^43 p a^3 y P 0 1/4p ke : (2) E
1 Q >^43 p a^3 3 11 > 4 p k (^) e 2
r k (^) e
Q
a^3
Sustituya r 1 para r 6 a 2
682 Capítulo 24 Ley de Gauss
¿Qué pasaría si? Suponga que dos planos infinitos de carga son mutuamente paralelos, uno con carga positiva y el otro con carga negativa. Ambos planos tienen la misma densidad de carga superficial. ¿En esta situación a qué se parece el campo eléctrico?
Respuesta Los campos eléctricos debidos a los dos planos se suman en la región entre los planos, lo que resulta en un campo uniforme de magnitud s / e 0 , y se cancela en otra parte para dar un campo de cero. Este método es una forma prác- tica de lograr campos eléctricos uniformes.
EJEMPLO CONCEPTUAL 24.6 ¡En este caso no utilice la ley de Gauss!
Explique por qué no es posible utilizar la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico cercano a un dipolo eléctrico, a un disco con carga o a un triángulo con una carga puntual en cada vértice.
SOLUCIÓN
Las distribuciones de carga de todas estas configuraciones no tienen una simetría suficiente que haga práctico el uso de la ley gaussiana. En este caso no es posible encontrar una superficie cerrada que rodee a cualquiera de las distribuciones y satisfaga una o más de las cuatro condiciones mencionadas al principio de esta sección.
Propiedades de un conductor en equilibrio electrostático
24.4 Conductores en equilibrio electrostático
Como aprendió en la sección 23.2, un buen conductor eléctrico contiene cargas (elec- trones) que no se encuentran unidas a ningún átomo y debido a eso tienen la libertad de moverse en el interior del material. Cuando dentro de un conductor no existe ningún movimiento neto de carga, el conductor está en equilibrio electrostático. Un conductor en equilibrio electrostático tiene las siguientes propiedades:
1. En el interior del conductor el campo eléctrico es cero, si el conductor es sólido o hueco. 2. Si un conductor aislado tiene carga, ésta reside en su superficie. 3. El campo eléctrico justo fuera de un conductor con carga es perpendicular a la su- perficie del conductor y tiene una magnitud s / e 0 , donde s es la densidad de carga superficial en ese punto. 4. En un conductor de forma irregular, la densidad de carga superficial es máxima en aquellos puntos donde el radio de curvatura de la superficie es el menor.
En el análisis siguiente se comprueban las primeras tres propiedades. Se presenta la cuar- ta propiedad para tener una lista completa de las mismas para conductores en equilibrio electrostático (pero esta última no podrá ser comprobada sino hasta el capítulo 25.) Es posible comprender la primera propiedad si piensan en una placa conductora co- locada en un campo eléctrico externo E
→ (figura 24.14). El campo eléctrico en el interior del conductor debe ser igual a cero bajo la hipótesis de que existe equilibrio electrostático. En caso de que el campo no sea cero, los electrones libres en el interior del conductor experimentarían una fuerza eléctrica ( F
→ q E
→ ) y, debido a ella, se acelerarían. Sin embargo, este movimiento de electrones, significaría que el conductor no está en equilibrio electros- tático. Por lo tanto, la existencia de un equilibrio electrostático es consistente solamente cuando se tiene un campo cero dentro del conductor. Vea cómo se da este campo cero. Antes de aplicar el campo externo, en todo el volumen del conductor están distribuidos electrones libres de manera uniforme. Al aplicar el campo externo, los electrones libres se aceleran hacia la izquierda, como se ve en la figura 24.14, lo que genera un plano con carga negativa que se acumula en la superficie izquierda. El movimiento de los electrones hacia la izquierda causa un plano de carga positiva en la superficie derecha. Estos planos de carga crean un campo eléctrico adicional en el inte- rior del conductor que se opone al campo externo. Conforme se mueven los electrones, las densidades de carga superficial de las superficies izquierda y derecha se incrementan
Figura 24.14 Placa conductora en un campo eléctrico externo E
→
. Las cargas inducidas en las dos superficies de la placa producen un campo eléctrico que se opone al campo externo, lo que produce en el interior de la placa un campo eléctrico resultante igual a cero.
E E
Sección 24.4 Conductores en equilibrio electrostático 683
hasta que la magnitud del campo interno es igual a la magnitud del externo, lo que resulta en un campo eléctrico cero en el interior del conductor. El tiempo que necesita un buen conductor para alcanzar el equilibrio es del orden de 10^16 s, lo que para la mayor parte de los efectos se considera instantáneo. Si el conductor es hueco, el campo eléctrico dentro del conductor también es cero, ya sea que considere puntos en el conductor o en la cavidad dentro del conductor. El valor cero del campo eléctrico en la cavidad es más fácil de argumentar con el concepto de potencial eléctrico, así que este tema se abordará en la sección 25.6. Es posible utilizar la ley de Gauss para verificar la segunda propiedad de un conductor en equilibrio electrostático. La figura 24.15 muestra un conductor de forma arbitraria. Se ha dibujado una superficie gaussiana en el interior del conductor, que puede acercarse a la superficie del conductor tanto como se desee. Como acaba de ver, el campo eléctrico en todos los puntos del interior del conductor es igual a cero cuando se encuentra en equilibrio electrostático. Por lo tanto, el campo eléctrico debe ser cero en todos los puntos de la superficie gaussiana, en cumplimiento de la condición 4) de la sección 24.3 y el flujo neto que pasa a través de la superficie gaussiana es cero. De este resultado y de la ley de Gauss se concluye que la carga neta en el interior de la superficie gaussiana es cero. Ya que no puede existir ninguna carga neta en el interior de la superficie gaussiana (que colocó de manera arbitraria muy cerca de la superficie del conductor), cualquier carga neta en el conductor deberá residir sobre su superficie. La ley de Gauss no indica la forma en que esta carga excesiva se distribuye sobre la superficie del conductor; dice, exclusivamente, que reside sobre la superficie. También es posible utilizar la ley de Gauss para verificar la tercera propiedad. En primer término, debe notar que si el vector de campo E
→ tuviera algún componente paralelo a la superficie del conductor, los electrones libres estarían sujetos a una fuerza eléctrica y se moverían a lo largo de la superficie; en este caso, el conductor no estaría en equilibrio, por lo que el vector de campo debe ser perpendicular a la superficie. Para determinar la mag- nitud del campo eléctrico se dibujará una superficie gaussiana en forma de un pequeño cilindro cuyas caras extremas queden paralelas al conductor (figura 24.16). Parte del cilin- dro queda justo fuera del conductor y parte está en el interior. El campo es perpendicular a la superficie del conductor si parte de la condición de equilibrio electrostático. Por lo tanto, ha satisfecho la condición 3) de la sección 24.3 en lo que se refiere a la parte curva de la superficie gaussiana cilíndrica: no existe flujo a través de esta parte de la superficie gaussiana, ya que E
→ es paralelo a la superficie. A través de la cara plana del cilindro en el interior del conductor no existe flujo porque en este caso E
→ 0; con ello se satisface la condición 4). Por esto, el flujo neto a través de la superficie gaussiana corresponde al flujo a través de la cara plana en la parte exterior del conductor, donde el campo es perpendi- cular a la superficie gaussiana. Si para esta cara utiliza las condiciones 1) y 2), el flujo es igual a EA , siendo E el campo eléctrico justo fuera del conductor y A el área de la cara del cilindro. Al aplicar la ley de Gauss a esta superficie, obtiene
£ E E dA EA
q in P 0
s A P 0
donde aprovecha que q in sA. Si resuelve para E obtiene el campo eléctrico justo afuera de un conductor con carga
E (24.9)
s P 0
Pregunta rápida 24.3 Su pequeño hermano gusta de frotar sus pies sobre la alfombra para después tocarlo y darle una descarga. Mientras usted intenta escapar, descubre en el sótano un cilindro hueco de metal, lo suficientemente grande como para introducirse en su interior. ¿En qué casos no sufrirá descarga alguna? a) Si se encuentra en el interior del cilindro, y hace contacto con la superficie interior y su hermano con carga toca la superficie metálica exterior del cilindro; b) Si su hermano con carga está en el interior y toca la superficie interior de metal y usted está en el exterior y toca la superficie exterior del cilindro; c) Si ambos están en el exterior del cilindro y tocan la superficie exterior de metal pero sin tocarse directamente entre ustedes.
Superficie gaussiana
A
^
E
Figura 24.15 Conductor con forma arbitraria. La línea discontinua representa una superficie gaussiana que puede acercarse a la superficie del conductor tanto como uno lo desee.
Figura 24.16 A fin de calcular el campo eléctrico que existe justo afuera de un conductor con carga se utiliza una superficie gaussiana con forma de un cilindro pequeño. El flujo a través de la superficie gaussiana es EA. Recuerde que en el interior del conductor E
→ es igual a cero.
2 intermedio; 3 desafiante; razonamiento simbólico; razonamiento cualitativo
A B C D
Figura P24.11 Pregunta 11 y problema 44.
6. O Una superficie gaussiana cúbica se divide en dos partes me- diante una gran hoja con carga, paralela a sus caras superior e inferior. No hay otras cargas en las cercanías. i) ¿Sobre cuántas de las caras del cubo el campo eléctrico es cero? a) 0, b) 2, c) 4, d) 6. ii) ¿A través de cuántas de las caras del cubo el flujo eléctrico es cero? Elija entre las mismas posibilidades. 7. O Dos esferas sólidas, ambas de 5 cm de radio, portan cargas totales idénticas de 2 mC. La esfera A es un buen conductor. La esfera B es un aislador, y su carga se distribuye de manera uniforme en todo su volumen. i) ¿Cómo comparar las magni- tudes de los campos eléctricos que crean por separado a una distancia radial de 6 cm? a) E A E 0, b) E A E 0, c) E A E 0, d) E A E 0, e) 0 E A E , f) 0 E A E . ii) ¿Cómo comparar las magnitudes de los campos eléctricos que crean por separado radios de 4 cm? Elija entre las mismas posibilidades. 8. Si se conoce la carga total en el interior de una superficie ce- rrada pero no se especifica la distribución de la carga, ¿puede utilizar la ley de Gauss para determinar el campo eléctrico? Explique. 9. Explique por qué el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada que tiene una carga encerrada conocida es indepen- diente del tamaño o forma de la superficie. 10. Respecto a la naturaleza repulsiva de la fuerza que se genera entre cargas iguales y a la libertad de movimiento de las cargas dentro de un conductor, explique por qué un exceso de carga en un conductor aislado debe residir sobre su superficie. 11. O Una esfera aislante sólida de 5 cm de radio, tiene una carga eléctrica distribuida uniformemente en todo su volumen. Concéntrico con la esfera hay un cascarón esférico conductor sin carga neta, como se muestra en la figura P24.11. El radio interior del cascarón mide 10 cm, y el radio exterior 15 cm. No hay otras cargas en las cercanías. a) Clasifique la magnitud del
campo eléctrico en los puntos (a un radio de 4 cm), B (radio de 8 cm), C (radio de 12 cm) y D (radio 16 cm) de mayor a menor. Muestre cualquier caso de igualdad en su clasificación. b) De igual modo, clasifique el flujo eléctrico a través de las superficies esféricas concéntricas a través de los puntos A , B , C y D.
12. O Un cable coaxial consiste de un filamento recto largo rodea- do por cubierta conductora cilíndrica, coaxial larga. Suponga que la carga Q está en el filamento, sobre la cubierta la carga neta es cero y el campo eléctrico es E 1 ˆ en un punto particular i P a la mitad entre el filamento y la superficie interior de la cubierta. A continuación, coloque el cable en un campo exter- no uniforme E 1 i ˆ. En tal caso, ¿cuál es el componente x del campo eléctrico P? a) 0, b) entre 0 y E 1 , c) E 1 , d) mayor que E 1 , e) entre 0 y E 1 , f) E 1 , g) menor que E 1. 13. Una persona entra en una gran esfera metálica hueca aislada de la tierra. Si a la esfera se le deposita una carga considerable, ¿la persona resultará lastimada si toca el interior de la esfera? Explique qué pasaría si la persona tiene además una carga ini- cial cuyo signo es opuesto al de la carga de la esfera. 14. O Una gran cubierta metálica y esférica no tiene carga. Se apoya sobre una base aislante y tiene un pequeño orificio en la parte superior. Una pequeña tachuela con carga Q se baja me- diante un hilo de seda a través del orificio hacia el interior de la cubierta. i) ¿Ahora cuál es la carga sobre la superficie interior de la cubierta? a) Q , b) Q /2, c) 0, d) Q /2, e) Q. Elija sus res- puestas a las siguientes partes entre las mismas posibilidades. ii) ¿Cuál es la carga sobre la superficie exterior de la cubierta? iii) Ahora la tachuela se baja hasta tocar la superficie interior de la cubierta. Después de este contacto, ¿cuál es la carga sobre la tachuela? iv) ¿Ahora cuál es la carga sobre la superficie interior de la cubierta? v) ¿Ahora cuál es la carga sobre la superficie exterior de la cubierta? 15. Una demostración consiste en cargar un globo de látex, que es un aislante, al frotarlo con el cabello de alguien, y después pegarlo al techo o a la pared, que también son aislantes. La atracción eléctrica entre el globo con carga y la pared neutra da como resultado que el globo se adhiera a la pared. Imagine ahora dos láminas planas infinitamente grandes de material ais- lante. Una de las láminas tiene carga y la otra es neutra. Si éstas son puestas en contacto, ¿existirá una fuerza de atracción entre ellas, como ocurrió entre el globo y la pared?
Sección 24.1 Flujo eléctrico
1. En un campo eléctrico uniforme se hace girar una espira de 40.0 cm de diámetro hasta encontrar la posición en la cual existe el máximo flujo eléctrico. El flujo en esta posición tiene un valor de 5.20 105 N m^2 /C. ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico? 2. Existe un campo eléctrico vertical, de 2.00 104 N/C de mag- nitud, sobre la superficie de la Tierra en un día con tormenta eléctrica. Un automóvil, con dimensión rectangular de 6.00 m por 3.00 m, viaja a lo largo de un camino de grava seca que se
inclina hacia abajo a 10.0°. Determine el flujo eléctrico en el chasis del automóvil.
3. Un campo eléctrico uniforme a ˆ i^ b j ˆ atraviesa por una super- ficie de área A. ¿Cuál es el flujo que pasa a través de esta área si la superficie se encuentra a) en el plano yz, b) en el plano xz , c) en el plano xy? 4. Considere una caja triangular cerrada en reposo dentro de un campo eléctrico horizontal con una magnitud E 7.80 104 N/C, como se muestra en la figura P24.4. Calcule el flujo
686 Capítulo 24 Ley de Gauss
Problemas
Problemas 687
2 intermedio; 3 desafiante; razonamiento simbólico; razonamiento cualitativo
eléctrico a través de a) la superficie rectangular vertical, b) la superficie inclinada, y c) la superficie total de la caja.
30.0 cm
10.0 cm 60.0
E
5. Una pirámide de base horizontal cuadrada, de 6.00 m de lado, y con una altura de 4.00 m está colocada en un campo eléctrico vertical de 52.0 N/C. Calcule el flujo eléctrico total que pasa a través de las cuatro superficies inclinadas de la pirámide.
Sección 24.2 Ley de Gauss
6. El campo eléctrico presente en la superficie total de una cubierta esférica delgada de 0.750 m de radio tiene un valor de 890 N/C y apunta radialmente hacia el centro de la esfera. a) ¿Cuál es la carga neta en el interior de la superficie de la esfera? b) ¿Qué se puede concluir en relación con la natu- raleza y distribución de la carga en el interior de la cubierta esférica? 7. Las siguientes cargas están localizadas en el interior de un sub- marino: 5.00 m C, 9.00 m C, 27.0 m C y 84.0 m C. a) Calcule el flujo eléctrico neto a través del casco del submarino. b) ¿El número de líneas de campo eléctrico que salen en compara- ción con las que entran es: mayor, igual o menor? 8. a) A una distancia d de un plano infinito está localizada una carga puntual q. Determine el flujo eléctrico a través del plano debido a la carga puntual. b) ¿Qué pasaría si? Una carga puntual q está localizada muy cerca del centro de un cuadrado muy grande sobre la línea perpendicular a dicho cuadrado y que pasa por su centro. Determine el flujo eléctrico aproximado que pasa a través del cuadrado que se espera de la carga pun- tual. c) Explique por qué las respuestas a los incisos a) y b) son idénticas. 9. En la figura P24.9 se muestran cuatro superficies cerradas, S 1 a S 4 , así como las cargas 2 Q , Q y Q. (Las líneas de color son las intersecciones de las superficies con el plano de la página.) Determine el flujo eléctrico a través de cada superficie.
Q
Q
2 Q
S 2
S 3
S 1
S 4
10. Una carga puntual de 12.0 m C está colocada en el centro de una cubierta esférica de 22.0 cm de radio. ¿Cuál es el flujo eléctrico total que pasa a través de a) la superficie del cascarón y b) cualquier superficie hemisférica de la misma?
c) ¿Los resultados dependen del radio de la cubierta? Explique su respuesta.
11. Una carga puntual Q se localiza justo por encima del centro de la cara plana de un hemisferio de radio R, como se muestra en la figura P24.11. ¿Cuál es el flujo eléctrico que pasa a) a través de la superficie curva y b) a través de la cara plana?
0^ Q R
d
12. El aire que está por encima de cierta región a una altitud sobre el nivel del suelo de 500 m, el campo eléctrico es de 120 N/C en dirección hacia abajo. A una altitud de 600 m sobre el nivel del suelo, el campo es de 100 N/C hacia abajo. ¿Cuál es la densidad de carga volumétrica promedio de la capa de aire entre estas dos alturas? ¿Es positiva o negativa? 13. Una carga puntual Q 5.00 m C se localiza en el centro de un cubo de arista L 0.100 m. Además, simétricamente alrededor de Q, como se muestra en la figura P24.13, existen otras seis cargas puntuales idénticas q 1.00 m C. Determine el flujo eléctrico a través de una de las caras del cubo.
L
L
q
q
q
q q Q
q
L
14. Una carga puntual positiva Q está en el centro de un cubo de arista L. Además, otras seis cargas puntuales negativas idénti- cas q están colocadas simétricamente alrededor de Q como se muestra en la figura P24.13. Determine el flujo eléctrico a través de una de las caras del cubo. 15. Una carga lineal infinitamente larga tiene carga uniforme por cada unidad de longitud l y se localiza a una distancia d del punto O, como se muestra en la figura P24.15. Determine el flujo eléctrico total a través de la superficie de una esfera de radio R con centro en O como resultado de la carga lineal. Tome en cuenta cuando R d y R d.
Figura P24.4 Pregunta 11 y problema 44.
Figura P24.
Figura P24.
Figura P24.13 Problemas 13 y 14.
d
R O
l
Figura P24.
Problemas 689
2 intermedio; 3 desafiante; razonamiento simbólico; razonamiento cualitativo
ra de su superficie es k e Q/ a^2 radialmente hacia afuera. ¿El campo eléctrico en este caso también se conoce por s / e 0? ¿Por s / 2 e 0? Explique si debe esperar que sea igual a alguna de estas cantidades.
39. Un alambre largo y recto, rodeado por un cilindro de metal hueco cuyo eje coincide con el suyo, tiene una carga por uni- dad de longitud l , y el cilindro una carga por unidad de lon- gitud 2 l. Con esta información, utilice la ley de Gauss para determinar a) la carga por unidad de longitud en las super- ficies interna y externa del cilindro y b) el campo eléctrico exterior al cilindro, a una distancia r de su eje. 40. Una carga puntual positiva se encuentra a una distancia R / del centro de una cubierta esférica conductora delgada, sin carga y de radio R. Dibuje las líneas de campo eléctrico que se establecen debido a este sistema tanto adentro como afuera de la cubierta. 41. Una delgada placa conductora y cuadrada de 50.0 cm de lado se encuentra sobre el plano xy. Se deposita una carga total de 4.00 10 ^8 C sobre la placa. Determine a) la densidad de carga sobre la placa, b) el campo eléctrico justo por encima de la placa y c) el campo eléctrico justo por debajo de la misma. Puede suponer que la densidad de carga es uniforme.
Problemas adicionales
42. Un campo eléctrico no uniforme tiene la expresión
E
S ay ˆ i^ bz ˆ j^ cx k ˆ
donde a, b y c son constantes. Determine el flujo eléctrico a través de una superficie rectangular en el plano xy , que se extiende de x 0 hasta x w y de y 0 hasta y h.
43. Una esfera de radio R rodea una partícula con carga Q , ubi- cada en su centro. a) Demuestre que el flujo eléctrico a través de un casquete circular de semiángulo u (figura P24.43) es
£ E
Q 2 P 0
11 cos u 2
¿Cuál es el flujo para b) u = 90° y c) u = 180°?
campo eléctrico en el punto C , a 12.0 cm de radio. e) Con- sidere una superficie gaussiana esférica a través del punto C y encuentre la carga neta encerrada por esta superficie. f) Considere una superficie gaussiana esférica de 8.00 cm de radio y encuentre la carga neta encerrada por esta superficie. g) Encuentre el vector de campo eléctrico en el punto B , a 8 cm de radio. h) Considere una superficie gaussiana esférica a través del punto A , a 4.00 cm de radio, y encuentre la carga neta encerrada por esta superficie. i) Encuentre el vector de campo eléctrico en el punto A. j) Determine la carga sobre la superficie interior de la cubierta conductora. k) Determine la carga sobre la superficie exterior de la cubierta conducto- ra. l) Bosqueje una gráfica de la magnitud del campo eléctri- co en términos de r.
45. Una cubierta esférica metálica y hueca tiene radio exterior de 0.750 m, sin carga neta y está apoyado sobre una base ais- lante. El campo eléctrico en todas partes justo afuera de su superficie es 890 N/C radialmente hacia el centro de la esfera. a) Explique qué puede concluir acerca de la cantidad de carga sobre la superficie exterior de la esfera y sobre la distribución de esta carga. b) Explique qué puede concluir acerca de la cantidad de carga sobre la superficie interior de la esfera y su distribución. c) Explique qué puede concluir acerca de la cantidad de carga dentro de la cubierta y su distribución. 46. Imagine dos esferas conductoras idénticas cuyas superficies se encuentran a una pequeña distancia una de la otra. A una esfera se le da una gran carga positiva neta, en tanto que a la otra se le da una pequeña carga neta, también positiva. Se descubre que la fuerza existente entre ambas esferas es de atracción, aun cuando las dos tienen cargas netas del mismo signo. Explique por qué es posible. 47. Una esfera aislante y sólida, de radio a, tiene una densidad de carga uniforme r y una carga total Q. Colocada en forma con- céntrica a esta esfera existe otra esfera hueca, conductora pero descargada, de radios interno y externo b y c, respectivamente, como se observa en la figura P24.57. a) Determine la magnitud del campo eléctrico en las regiones r a , a r b , b r c y r c. b) Determine la carga inducida por unidad de superficie en las superficies interna y externa de la esfera hueca.
R
Q
u
Figura P24.
Aislante Conductor a
c
b
Figura P24.47 Problemas 47 y 63.
44. Una esfera aislante y sólida, de 5.00 cm de radio, tiene una carga positiva neta de 3.00 mC, con distribución uniforme en todo su volumen. Concéntrico a la esfera hay una cubierta esférica conductora con radio interior de 10.0 cm y radio exterior de 15.0 cm, que tiene carga neta de 1.00 mC, como se muestra en la figura Q24.11. a) Considere una superficie gaussiana esférica de 16.0 cm de radio y encuentre la carga neta encerrada por esta superficie. b) ¿Cuál es la dirección del campo eléctrico en el punto D , a la derecha de la cu- bierta y a un radio de 16 cm? c) Encuentre la magnitud del campo eléctrico en el punto D. d) Encuentre el vector de 48. Problema de repaso. Uno de los primeros modelos (incorrec- to) del átomo de hidrógeno, sugerido por J. J. Thomson, supo- nía que una nube positiva con carga e estaba distribuida de manera uniforme en todo el volumen de una esfera de radio R , con el electrón (una partícula con carga negativa e de igual magnitud) en el centro. a) Con la aplicación de la ley de Gauss, demuestre que el electrón estaría en equilibrio en el centro y, en caso de ser desplazado del centro una distancia r R , ex- perimentaría una fuerza de restauración de la forma F Kr , siendo K una constante. b) Demuestre que K kee^2 / R^3. c)
2 intermedio; 3 desafiante; razonamiento simbólico; razonamiento cualitativo
Encuentre una expresión para la frecuencia f de oscilaciones armónicas simples que podría sufrir un electrón de masa me si fuera desplazado y después liberado en una pequeña distan- cia ( R ) desde el centro. d) Calcule un valor numérico para R, como resultado de una frecuencia de 2.47 1015 Hz, que es la frecuencia de la luz que irradia la línea más intensa del espectro del hidrógeno.
49. Una partícula de masa m y carga q se mueve con magnitud de velocidad alta a lo largo del eje x. Inicialmente se localiza cerca de x , y termina cerca de x . Una segunda carga Q se encuentra fija en el punto x 0, y d. Cuando la carga en movimiento pasa por la carga estacionaria, su componente x de velocidad no sufre una modificación significativa, pero adquiere una velocidad pequeña en la dirección y móvil. De- termine el ángulo en que la carga se desvía. Sugerencia: La integral a la que llegue al determinar vy puede ser evaluada aplicando la ley de Gauss a un cilindro largo de radio d , cen- trado sobre la carga estacionaria. 50. Dos láminas infinitas de carga, no conductoras, se encuen- tran paralelas entre sí, como se observa en la figura P24.50. La lámina de la izquierda tiene una densidad de carga su- perficial uniforme s , y la de la derecha tiene una densidad de carga uniforme s. Calcule el campo eléctrico a) a la izquierda de, b) entre, y c) a la derecha de las dos láminas. 53. Una cubierta esférica con carga uniforme de densidad superfi- cial s tiene una pequeña perforación en su superficie. El radio de la perforación es pequeño en comparación con el radio de la esfera. ¿Cuál es el campo eléctrico en el centro de la perfo- ración? Sugerencia : Este problema, al igual que el problema 52, se resuelve con la idea de la sobreposición. 54. Una superficie cerrada de dimensiones a b 0.400 m y c 0.600 m está colocada como se observa en la figura P24.54. La arista izquierda de la superficie cerrada está ubicada en la posición x a. El campo eléctrico en toda la región no es uniforme y se conoce por E
→ (3.0 2.0 x^2 ) i ˆ N/C, donde x está expresado en metros. Calcule el flujo eléctrico neto que sale de la superficie cerrada. ¿Cuál es la carga neta que se encuentra dentro de la superficie?
51. ¿Qué pasaría si? Repita el cálculo del problema 50 en el caso de que ambas láminas tuvieran densidades de carga superfi- ciales uniformes positivas de valor s. 52. Una esfera de radio 2 a está hecha de un material no conductor con una densidad de carga volumétrica uniforme r. (Suponga que el material no afecta al campo eléctrico.) Se efectúa en seguida una cavidad de radio a en la esfera, como se muestra en la figura P24.52. Demuestre que el campo eléctrico dentro de la cavidad es uniforme y está dado por Ex 0 y E y ra /3 e 0. Sugerencia: El campo en el interior de la cavidad es la sobrepo- sición del campo debido a la esfera original sin perforación mas el campo debido a una esfera del tamaño de la cavidad con una densidad de carga negativa uniforme de r.
s
s
Figura P24.
y
x 2 a
a
Figura P24.
y
x
E
a
c
z
x a
b Figura P24.
55. Una esfera aislante y sólida de radio R tiene una densidad de carga no uniforme que varía en función de r de acuerdo con la expresión r Ar^2 , donde A es una constante y r R está medi- da desde el centro de la esfera. a) Demuestre que la magnitud del campo eléctrico exterior de la esfera ( r R ) es igual a E AR^5 /5 e 0 r^2. b) Demuestre que la magnitud del campo eléctrico interior de la esfera ( r R ) es igual a E Ar^3 /5 e 0. Sugerencia: La carga total Q de la esfera es igual a la integral de r dV, donde r se extiende desde cero hasta R ; también la carga q dentro de un radio r R es inferior a Q. Para evaluar las integrales, observe que el elemento de volumen dV para una cubierta esférica de radio r y de espesor dr es igual a 4 pr^2 dr. 56. Una carga puntual Q está localizada sobre el eje de un disco de radio R a una distancia b del plano del disco (figura P24.56). Demuestre que en el caso de que una cuarta parte del flujo eléctrico de la carga pasara a través del disco, R sería igual a 43 b.
R
Q
b
Figura P24.
57. Una distribución de carga de simetría esférica tiene una den- sidad de carga expresada por r a / r , siendo a una constante. Determine el campo eléctrico como una función de r. Sugeren-
690 Capítulo 24 Ley de Gauss
