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2 −. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
2 − 1. Conceptos básicos de matrices.
2 − 2. Tipos de matrices: fila, columna, cuadrada, diagonal, escalar, identidad, triangular,
traspuesta, simétrica y anti simétrica.
2 − 3. Operaciones con matrices.
2 − 3. 1. Adición y sustracción de matrices.
2 − 3. 2. Producto de un escalar por una Matriz.
2 − 3. 3. Multiplicación de matrices.
2 − 4. Sistemas de ecuaciones lineales.
2 − 4. 1. Definición y notación de sistemas de ecuaciones lineales.
2 − 4. 2. Representación matricial.
2 − 4. 2. 1. Matriz de coeficientes.
2 − 4. 2. 2. Matriz aumentada.
2 − 4. 3. Sistemas de ecuaciones lineales: consistente, inconsistente, homogéneos y
no homogéneos
2 − 4. 4. Solución de sistemas de ecuaciones lineales.
2 − 4. 4. 1. Método de Gauss
2 − 4. 4. 2. Método de Gauss - Jordan.
2 − 5. Aplicaciones de ingeniería, economía, etc.
2 − 6. Rango de una matriz.
2 −. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES:
2 − 1. Conceptos Básicos de Matrices: Las matrices son arreglos rectangulares de números
reales o complejos encerrados entre corchetes, dispuestos en 𝑚 filas o renglones y 𝑛 columnas.
La dimensión de una matriz 𝐴 de 𝑚 × 𝑛 está dada por el número de fila multiplicado por el número
de columnas, y es de la forma:
𝑚×𝑛
[
11
12
13
1 𝑛
21
22
23
2 𝑛
31
𝑚 1
32
𝑚 2
33
𝑚 3
3 𝑛
𝑚𝑛
]
Los números 𝑎 11
12
13
𝑚𝑛
son los elementos de la matriz, en la cual los elementos que
forman las líneas horizontales reciben el nombre de filas; mientras que las líneas verticales son
llamadas columnas.
2 − 2. Tipos de matrices:
2 − 2. 1. Matriz Fila: La matriz fila es toda aquella matriz constituida por una sola fila,
por lo tanto su dimensión u orden es de 1 × 𝑛; es decir, es de la forma 𝑀 𝑓
[
1
2
3
𝑛
]
2 − 2. 2. Matriz Columna: La matriz columna es un arreglo rectangular que consta de
una sola columna, por consiguiente su dimensión u orden es de 𝑚 × 1 , y es de la forma
𝑐
[
1
2
3
𝑚
]
2 − 2. 3. Matriz Cuadrada: Una matriz cuadrada es aquella matriz que tiene el mismo
número de filas que de columnas, es decir 𝑚 = 𝑛.
Los elementos de la diagonal principal son de la forma 𝑎 𝑖𝑖
; es decir, es la diagonal que va desde 𝑎
11
hasta 𝑎 𝑛𝑛
; y en la diagonal secundaria los elementos son de la forma 𝑎
𝑖𝑗
, con 𝑖 + 𝑗 = 𝑛 + 1 ; es decir,
los elementos en esta diagonal van desde 𝑎 1 𝑛
hasta 𝑎
𝑛 1
La traza de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de la diagonal principal, es decir
11
22
33
𝑛𝑛
2 − 2. 4. Matriz Diagonal: La matriz diagonal es aquella matriz en la cual los elementos
que no están en la diagonal principal son todos cero.
𝑑
[
11
22
33
𝑚𝑛
]
2 − 2. 5. Matriz Escalar: La matriz escalar es una matriz cuyos elementos de la diagonal
principal son todos iguales, y todos los demás son cero.
𝑒
[
]
2 − 2. 9. Matriz Simétrica: La matriz simétrica es una matriz cuadrada real 𝐴, tal que 𝐴
es igual a su transpuesta; es decir, 𝐴 = 𝐴
𝑡
Si A =
[
11
12
13
1 𝑛
21
22
23
2 𝑛
31
𝑚 1
32
𝑚 2
33
𝑚 3
3 𝑛
𝑚𝑛
]
y 𝐴
𝑡
[
11
21
31
𝑚 1
12
22
32
𝑚 2
13
1 𝑛
23
2 𝑛
33
3 𝑛
𝑚 3
𝑚𝑛
]
entonces
[
11
12
13
1 𝑛
21
22
23
2 𝑛
31
𝑚 1
32
𝑚 2
33
𝑚 3
3 𝑛
𝑚𝑛
]
[
11
21
31
𝑚 1
12
22
32
𝑚 2
13
1 𝑛
23
2 𝑛
33
3 𝑛
𝑚 3
𝑚𝑛
]
En la cual, los elementos correspondientes son iguales, es decir: 𝑎 11
11
12
21
13
31
, y
así sucesivamente.
2 − 2. 10. Matriz Anti-simétrica: Una matriz anti-simétrica es una matriz cuadrada real 𝐴,
tal que 𝐴
𝑡
= −𝐴, es decir:
Si A =
[
11
12
13
1 𝑛
21
22
23
2 𝑛
31
𝑚 1
32
𝑚 2
33
𝑚 3
3 𝑛
𝑚𝑛
]
y 𝐴
𝑡
[
11
21
31
𝑚 1
12
22
32
𝑚 2
13
1 𝑛
23
2 𝑛
33
3 𝑛
𝑚 3
𝑚𝑛
]
entonces
[
11
21
31
𝑚 1
12
22
32
𝑚 2
13
1 𝑛
23
2 𝑛
33
3 𝑛
𝑚 3
𝑚𝑛
]
[
11
12
13
1 𝑛
21
22
23
2 𝑛
31
𝑚 1
32
𝑚 2
33
𝑚 3
3 𝑛
𝑚𝑛
]
Ejemplos:
1 −) Determinar la matriz traspuesta de la matriz 𝐴 = [
]
Solución:
𝑡
= [
]
2 −) Verificar si la matriz 𝐴 = [
]
es simétrica.
Verificación:
𝑡
= [
], como 𝐴 = 𝐴
𝑡
, entonces la matriz 𝐴 es simétrica.
3 −) Verificar si la matriz 𝐴 = [
]
es antisimétrica.
Verificación:
𝑡
= [
], dado que 𝐴
𝑡
= −𝐴, entonces 𝐴 es una matriz antisimétrica.
2 − 3. Operaciones con Matrices:
2 − 3. 1. Adición y Sustracción de Matrices: Sean 𝐴 𝑦 𝐵 dos matrices de 𝑚 × 𝑛, de igual
número de filas que de columnas, tal que si 𝐴 𝑦 𝐵 son respectivamente
[
11
12
13
1 𝑛
21
22
23
2 𝑛
31
𝑚 1
32
𝑚 2
33
𝑚 3
3 𝑛
𝑚𝑛
]
y 𝐵 =
[
11
12
13
1 𝑛
21
22
23
2 𝑛
31
𝑚 1
32
𝑚 2
33
𝑚 3
3 𝑛
𝑚𝑛
]
, entonces:
[
11
12
13
1 𝑛
21
22
23
2 𝑛
31
𝑚 1
32
𝑚 2
33
𝑚 3
3 𝑛
𝑚𝑛
]
[
11
12
13
1 𝑛
21
22
23
2 𝑛
31
𝑚 1
32
𝑚 2
33
𝑚 3
3 𝑛
𝑚𝑛
]
[
11
11
12
12
13
13
1 𝑛
1 𝑛
21
21
22
22
23
23
2 𝑛
2 𝑛
31
31
𝑚 1
𝑚 1
32
32
𝑚 2
𝑚 2
33
33
𝑚 3
𝑚 3
3 𝑛
3 𝑛
𝑚𝑛
𝑚𝑛
]
y
[
11
12
13
1 𝑛
21
22
23
2 𝑛
31
𝑚 1
32
𝑚 2
33
𝑚 3
3 𝑛
𝑚𝑛
]
[
11
12
13
1 𝑛
21
22
23
2 𝑛
31
𝑚 1
32
𝑚 2
33
𝑚 3
3 𝑛
𝑚𝑛
]
2 − 3. 2. Producto de un escalar por una matriz: Si 𝐴 = (𝑎 𝑖𝑗
) es una matriz de 𝑚 × 𝑛 y 𝑘 un
escalar, entonces 𝑘𝐴 es también una matriz de 𝑚 × 𝑛, que está determinada por
𝑖𝑗
[
11
12
13
1 𝑛
21
22
23
2 𝑛
31
𝑚 1
32
𝑚 2
33
𝑚 3
3 𝑛
𝑚𝑛
]
[
11
12
13
1 𝑛
21
22
23
2 𝑛
31
𝑚 1
32
𝑚 2
33
𝑚 3
3 𝑛
𝑚𝑛
]
Ejemplos:
1 −) 𝑆𝑖 𝐴 = [
], hallar 2 𝐴.
Solución:
2 𝐴 = 2 [
]
2 𝐴 = [
]
2 −) Si 𝐴 = [
]
[
]
, hallar
Solución:
[
] − 3 [
]
𝐴 − 3 𝐵 = [
] − [
]
[
]
2 − 3. 3. Multiplicación de Matrices: Sean 𝐴 = (𝑎
𝑖𝑗
) una matriz de 𝑚 × 𝑛 y 𝐵 = (𝑏
𝑖𝑗
) una
matriz de 𝑛 × 𝑝, entonces el producto de 𝐴 𝑦 𝐵 es una matriz 𝐶 = (
𝑖𝑗
de 𝑚 × 𝑝, en donde
𝑖𝑗
= (𝑓𝑖𝑙𝑎 𝑖 𝑑𝑒 𝐴)(𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝑗 𝑑𝑒 𝐵); es decir: 𝑐
𝑖𝑗
𝑖 1
1 𝑗
𝑖 2
2 𝑗
𝑖 3
3 𝑗
𝑖𝑛
𝑛𝑗
𝑖𝑗
𝑖𝑗
𝑗𝑖
𝑛
𝑖= 1
Este producto tiene el mismo número de filas de la matriz 𝐴 y el mismo número de columnas de la
matriz 𝐵, esto implica que el número de columnas de 𝐴 debe ser igual al número de filas de 𝐵.
Ejemplos:
1 −) Dadas 𝐴 =
[
]
y 𝐵 = [
] , hallar 𝐴 × 𝐵.
Solución:
𝐴 × 𝐵 = [− 3 , 6 , − 1 ] × [
]
𝐴 × 𝐵 = [(− 3 )( 1 ) + ( 6 )( 2 ) + (− 1 )( 3 )]
𝐴 × 𝐵 = [− 3 + 12 − 3 ]
𝐴 × 𝐵 =
[
]
2 −) Si 𝐴 = [
]
y 𝐵 = [− 3 , 1 , − 1 ], hallar 𝐴 × 𝐵.
Solución:
𝐴 × 𝐵 = [
] × [− 3 , 1 , − 1 ]
𝐴 × 𝐵 = [
]
𝐴 × 𝐵 = [
]
3 −) Dado que 𝐴 = [
] y 𝐵 = [
] , hallar 𝐴 × 𝐵.
Solución:
𝐴 × 𝐵 = [
] × [
]
𝐴 × 𝐵 = [
]
2 − 4. 2. Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales:
2 − 4. 2. 1. Matriz de coeficientes:
𝑚×𝑛
[
11
12
13
1 𝑛
21
22
23
2 𝑛
31
𝑚 1
32
𝑚 2
33
𝑚 3
3 𝑛
𝑚𝑛
]
2 − 4. 2. 2. Matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales: La matriz
aumentada de un sistema de 𝑚 ecuaciones lineales con 𝑛 incógnitas se obtiene agregándole la
columna de los términos independientes a la matriz de coeficientes, y está dada por:
𝑎
[
11
12
13
1 𝑛
21
22
23
2 𝑛
31
𝑚 1
32
𝑚 2
33
3 𝑛
𝑚 3
𝑚𝑛
1
2
3
𝑛
]
2 − 4. 3. Sisntemas de ecuaciones lineales (consistentes, inconsistentes, homogéneos y no
homogéneos): Un sistema de ecuaciones lineales es consistente si tiene solución, es inconsistente
si no tiene solución, es homogéneo si los términos independientes son todos cero y un sistema de
ecuaciones es no homogéneo o heterogéneo si los términos independiente no son todos cero.
Si al escalonar un sistema de ecuaciones lineales se obtiene una ecuación de la forma
1
2
3
𝑛
= 𝑏, 𝑏 ≠ 0 , entonces el sistema es inconsistente y por lo tanto no
tiene solución; y si se obtiene una ecuación de la forms 0 𝑥 1
2
3
𝑛
= 0 , entonces
esta ecuación puede eliminarse sin que se afecte en nada la solución del sistema, por consiguiente
el sistema es consistente y tiene solución.
En un sistema de ecuaciones escalonado, las incógnitas 𝑥 𝑖
que no aparecen al principio de una
ecuación son llamadas variables libres.
Si el número de ecuaciones en un sistema de ecuaciones es igual que el número de incógnitas,
entonces el sistema tiene una solución única; y si existen menos ecuaciones que incógnitas,
entonces el sistema tiene infinitas soluciones, pudiéndose asignarle arbitrariamente valores a las
variables libres y obtener así una solución particular del sistema.
La solución de los sistemas de ecuaciones homogéneos y heterogéneos se realiza de la misma forma
que los sistemas de ecuaciones consistentes e inconsistentes, con la única condición de que los
sistemas homogéneos casi siempre tienen la solución trivial
1
2
3
𝑛
En un sistema de ecuaciones lineales homogéneo escalonado, si el número de ecuaciones es igual
que el número de incógnitas, entonces el sistema tiene la solución trivial; y si el sistema tiene menos
ecuaciones que incógnitas, entonces el sistema tiene una solución distinta de la solución trivial.
Ejemplos: Resolver los siguientes sintemas de eucaciones lineales.
Solución:
( 2 )( 3 𝑥 + 2y − z + 2w = 4 )
3y + 12z − 15w = 7 ( 5 )
Respuesta: Como la ecuación 0 = − 8 es falsa, entonces el sistema de ecuaciones es inconsistente,
y por consiguiente no tiene solución.
Solución:
( 1 )
( 2 )
( 3 )
Solución:
Solución:
y + 2z = 5
𝑥 + 6 − 3 = 4 Respuesta: {
Solución:
Solución:
Este sistema de ecuaciones es consistente, y como existen menos ecuaciones que incógnitas en la
forma escalonada, entonces el sistema tiene un número infinito de soluciones.
Si aceptamos que 𝑦 y 𝑤 son dos variables libres, entonces la solución general es:
𝑧 − 2 𝑤 = 1 y 𝑥 + 2 𝑦 − 2 𝑧 + 3 𝑤 = 2
Solución general: {
Una solución particular del sistema, si 𝑦 = − 1 𝑦 𝑤 = 2 es:
Una solución particular es: {
Solución:
− 24 𝑤
3
Este sistema es consistente, y puesto que existen menos ecuaciones que incógnitas en la forma
escalonada, entonces el sistema tiene un número infinito de soluciones, en la cual la solución
general del sistema es
Una de las infinitas soluciones particulares de este sistema es el siguiente:
Si 𝑤 = − 1 , entonces: 𝑥 = − 11 (− 1 )
Solución particular: {
La solución general es: {
Este sistema es consistente y como existen menos ecuaciones que incógnitas en la forma
escalonada, entonces él tiene infinitas soluciones particulares, si 𝑧 = 1 , una de estas soluciones es
Una solución particular es: {
2 − 4. 4. Solución de sistemas de ecuaciones lineales:
2 − 4. 4. 1. Método Eliminación de Gauss: El método de eliminación de Gauss consiste
en reducir por fila o renglón la matriz aumentada del sistema a la forma escalonada por fila,
seguidamente se despeja el valor de la última incógnita, y luego se utiliza la sustitución hacia atrás
para las otras incógnitas.
Ejemplos:
1
2
3
1
2
3
1
2
3
Solución:
[
] [
]
[
] [
]
[
] [
]
1
2
3
2
3
3
𝑓 2
𝑓 3
− 𝑓 1
𝑓 3
− 𝑓 2
3
3
3
2
3
2
2
2
2
2
2
1
2
3
1
1
1
1
1
Luego la solución única es: {
1
2
3
Solución:
[
] [
]
[
] [
]
[
] [
]
𝑓 2
− 4 𝑓 1
𝑓 3
− 2 𝑓 1
2 𝑓 3
