Estructuras Espaciales: Diseño y Aplicaciones, Apuntes de Estructuras y Materiales

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PALC

E S T R U C T U R A E S P A C I A L

DESCRIPCIÓN DESCRIPTION

El presente catálogo tiene la pretensión de acercar las estructuras espaciales al pro- yectista. Está inspirado en un ciclo de con- ferencias, mucho más extenso, dirigido a arquitectos y estudiantes de arquitectura. No se puede reflejar en él la totalidad del ciclo pero esperamos que haya ganado en asequibilidad. Un intento de acercamiento al problema de generación de estructuras espaciales es el capítulo de PAUTAS ESPACIALES que a continuación se expone.

Francisco Javier Alcalde Arquitecto

ESTRUCTURA ESPACIAL PALC3®

Denominamos Estructura Espacial al elemento resistente formado por la yuxtaposición en el espacio de módulos con distintas formas geométricas. Éstas, a su vez, están constituidas por la unión de nudos y barras de acero. Según la disposi- ción de estos elementos entre si mismos pueden ser de base cuadrada o triangular.

La fabricación de estructura espa-

This catalogue aims to provide information on space frames for the designer and is ins- pired by a far more extensive series of con- ferences directed towards architects and students of architecture. It would be impossible for us to reproduce the entirety of these conferences, but we hope that this work will prove a more acces- sible tool for your use. In the following chapter, entitled SPATIALS GUIDELINES, we venture to broads the subject by explaining the problem of gene- rating space frames.

Francisco Javier Alcalde Architect SPATIAL STRUCTURE PALC3® We give the name Spatial Structure to the bearing element formed by the juxtaposition in space of modules with different geometrical shapes. The latter, in turn, are formed by joining steel nodes and bars. Depending on the layout of these ele- ments in relation with each other, the sha- pes can have a square or triangular base.

The manufacture of spatial struc-

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DESCRIPCION DESCRIPTION

B) Place the spheres in the horizon- tal plane so that they form a triangu- lar grid, introducing the following layers in the gaps in the previous ones.

B) Colocar esferas en el plano hori- zontal en forma de retícula triangu- lar, intercalando así mismo las capas siguientes en los huecos anterior.

Sin embargo como podrá compro- barse fácilmente, estas ordenacio- nes son la misma si prescindimos de planos de referencia (el horizon- tal normalmente).

El elemento básico de esta ordena- ción es la figura formada por 6 esferas que estructuran una pirámi- de de base cuadrada unida a un tetraedro.

Este módulo compacta el espacio, cosa que no consiguen ni la pirámi- de por si misma ni el tetraedro por si mismo y en realidad es un prisma triangular deformado.

The basic element of this arrange- ment is the figure formed by 6 sphe- res that constitute a pyramid with a square base joined to a tetrahedron.

This module makes the space more compact, something that neither the pyramid by itself nor the tetrahedron by itself achieves, and is really a dis- torted triangular prism.

As can be easily verified, these arrangements are the same if we omit the planes of reference (nor- mally the horizontal plane).

PRISMA DEFORMADO

PRISMASIN DEFORMAR

ESTRUCTURA ESPACIAL

Si sustituimos las esferas por otras con el mismo centro y mucho más pequeñas y añadimos barras que unan estas últimas, llegamos a la concepción de un espacio infinito estructurado de una forma precisa que llamaremos Espacio Principal. Si eliminamos nudos (esferas pequeñas) o los añadimos, hablaremos de un Espacio Principal Reformado. Si deforma- mos este Espacio, estirándolo respecto a una dirección, moviendo una capa, por ejemplo horizontal, haciendo girar los nudos respecto a un eje o a un centro, etc... hablaremos de Espacio Principal (reformado o no) Deformado. Las siguien- tes tipologías de estructuras que se expo- nen a continuación son derivadas de estos Espacios. Así por ejemplo, la estructura de Base Cuadrada, es la materialización del espa- cio principal es sólo dos capas (de esfe- ras) de la solución A. Ahora bien ¿es necesario que sea de base cuadrada? No. Sigue siendo razona- ble una estructura de base rectangular, (Principal Deformado), o base romboidal o cualquier deformación o reforma que cumpla con las siguientes condiciones: ·Que no sea un mecanismo (no estable). ·Que no haya un enorme número de lon- gitudes de barras distintas. ·Que los ángulos entre barras no seanin- feriores en lo posible 40º. ·Que la posición de los nudos en el espa- cio pueda fijarse con algoritmos matemá- ticos claros. La estructura de base triangular está deri- vada de la materialización del espacio principal en dos capas de la solución B, del problema de apilar esferas. Las mis- mas consideraciones de variación geomé- trica de la estructura de Base Cuadrada sirven para esta tipología y para todas. La estructura de Base Cuadrada Reforzada deriva de un Espacio Principal Reformado en dos capas de la solución A. El resto también son materializaciones de los conceptos de Espacio Principal, Reformado y Deformado. La geometría de las estructuras espacia- les puede ser muy variable, por lo que vamos a abordar los diferentes tipos de estructuras tridimensionales y a definir su terminología según la disposición de sus elementos.

Estas son:

-Estructuras Planas -Vigas reforzadas -Estructuras de simple curvatura -Estructuras de doble curvatura -Diseño de estructuras

If we substitute the spheres with other much smaller ones but with the same cen- tres and we add bars joining the latter, we arrive at the concept of an infinite space structured in a precise way, which we shall call Main Space. If we eliminate nodes (small spheres) or if we add to them, we can speak of a Reformed Main Space. If we distort this Space, stretching it in one direction, moving one layer, for example the horizontal one, rotating the nodes with regard to an axis or centre, etc., we can speak of Distorted Main Space (whether reformed or not). The types of structures described in the following are derived from these Spaces. Thus for example the Square Base struc- ture is the materialisation of the Main space and represents only two layers (of spheres) of the solution A. Does it have to have a square base? No. A structure with a rectangular base (Distorted Main Space) or rhomboid base, or any distortion or modification of the shape that fulfils the following conditions is acceptable: It should not be a mechanism (not stable) There should not be an enormous number of different bar lengths. The angles between the bars, as far as possible, should not be less than 40 degrees. It should be possible to determine the spa- tial position of the nodes using clear mathematical algorithms. The structure of the triangular base is deri- ved from the materialisation of the main space in two layers, as shown in solution B to the problem of how to pile up spheres. The same principles of geometric variation of the structure of Square Base serve for both this type of spatial object and all others. The Reinforced Square Base structure derives from a Reformed Main Space in two layers, as in solution A. The other structures are also physical forms of the concepts of Reformed / Distorted Main Space. The geometry of spatial structures can be very variable, and, therefore, we are going to consider the various types of three- dimensional structures and define their terminology according to the arrangement of their elements.

These are: -Flat Structures -Spatial Beams -Single-curve Structures -Double-curve Structures -Structural design

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ESTRUCTURA ESPACIAL

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Características de una E.E. de base cua- drada girada 45º:

Characteristics of a Spatial Structure with a square base rotated 45º:

a

H

M

b (^1)

b 2

M = Módulo = Longitud de barra (b) más diámetro de nudo (D). H = Canto = Distancia entre ejes de tubos de las capas. El canto de la estructura se puede escoger entre dos variantes: 1.- H = M / √¯ b1 = b2 = M - D α = 45º 2.- H = M b1 = M - D b2 = 1,2247 M - D α = 54º 44' Hay que tener en cuenta que la separación entre apoyos en ambas direcciones tiene que ser múltiplo de M x √¯2. Este tipo de estructura es favorable desde el punto de vista resistente cuando la estructura define rectángulos de proporción entre lados »1.

BASE TRIANGULAR: Al contrario que la estructura de base cua- drada, la de base triangular no tiene sino un plano de simetría perpendicular al plano principal. Forma pirámides de base triangu- lar, tetraedros.

M = Module = Length of bar (b) plus diame- ter of node (D). H = Depth = Distance between centrelines of pipes forming the layers. The depth of the structure can be chosen from two variants: 1.- H = M / √¯ b1 = b2 = M - D .......... α = 45º 2.- H = M b1 = M - D b2 = 1,2247 M - D ...... α = 54º 44' Remember that the separation between supports in both directions must be a multi- ple of M x √¯2. This type of structure offers improved strength characteristics when the structure defines rectangles with a ratio bet- ween sides of »1.

TRIANGULAR BASE Contrary to the square-based structure, the triangular-based structure has only one symmetrical plane perpendicular to the main plane. It forms triangular-base pyramids, tetrahedrons.

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Estas direcciones forman una malla triangu- lar equilátera perfectamente indeformable, sin necesidad de incluir refuerzos y siendo de una excepcional rigidez. Características de una E.E. de base trian- gular: M = Módulo = Longitud de barra (b) más diámetro de nudo (D). H = Canto = Distancia entre ejes de tubos de las capas. N = M √¯3/ H = M √¯2/√¯3 ...... α = 54º 44' b = M - D ............... α = 70º 32' La separación entre apoyos en una direc- ción, debe ser múltiplo de la modulación y en la dirección perpendicular a la anterior, múltiplo de 2N. La utilización de este tipo de estructura es recomendable para grandes luces. Así mismo esta triangulación nos per- mite la realización de estructuras de una sola capa, tales como cúpulas, bóvedas cilíndricas, etc... BASE CUADRADA REFORZADA: Es una estructura de base cuadrada y que por lo tanto mantiene todas las característi- cas generales de la misma. A esto se le añade el que se refuerzan las bases de las pirámides con sus corres-pon- dientes diagonales y se une el punto de cruce de estas diagonales con un nudo enfrentado de la otra capa mediante una barra vertical.

These directions form an equilateral triangu- lar grid, which is exceptionally rigid and does not require reinforcements. Characteristics of a Spatial Structure on a triangular base: M = Module = Length of bar (b) plus diame- ter of node (D). H = Depth = Distance between centrelines of pipes forming the layers N = M √¯3/ H = M √¯2/√¯3 ...... α = 54º 44' b = M - D ............... α = 70º 32' The separation between supports in one direction must be a multiple of the modular dimension and in the direction perpendicu- lar to the former, a multiple of 2N.This type of structure is recommended for large spans. Further, this triangulation allows the erection of structures with a single layer, such as domes, vaulted roofs, etc., which are discussed in the following.

REINFORCED SQUARE BASE: This is a square-based structure and it the- refore maintains all the general characteris- tics inherent in such a structure.To this is added the reinforcement of the bases of the pyramids with their corresponding diago- nals, and the point where they intersect is joined to a facing node in the other layer by a vertical bar.

a b

H

b

b

M

N

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VIGAS ESPACIALES:

Las diversas formas y características que ofrecen estas vigas, les hacen presentear grandes ventajas sobre las tradicionales, como son: ligereza, transporte cómodo por ser elementos individuales pequeños y manejables, su fácil montaje y una buena anticorrosiva por aplicarse la pintura al horno en taller. Los apoyos de estas vigas pueden realizarse de diversas maneras, dependiendo de la dis- posición deseada de los pilares. De esta forma podemos obtener el apoyo sobre dos pilares separados la modulación de la viga, sobre un pilar rematado en V o creando simplemente una viga de carga corrida sobre la cabeza de los pilares de apoyo. Las modulaciones en las que deben realizar- se este tipo vigas, tienen que ser las com- prendidas entre 2 y 4 metros aproximada- mente, pudiendo llegar a una separación entre vigas del orden de 7 metros, depen- diendo todo ello de las características dimen- siónales de las naves a realizar.

SPATIAL BEAM:

Due to the variety of their possible shapes and characteristics, these beams offer great advantages over traditional beams: light- ness, ease of transport (they are made up of small and manoeuvrable individual pieces), ease of erection and good protection against corrosion, as the individual items are shop-painted and stove-dried. The beam supports can be constructed in various ways, depending on the desired arrangement of the pillars. The beams can be supported on two pillars, separated by a distance equal to the beam module, on a single pillar with a V- shape finish, or by simply constructing a continuous bearing beam resting on the tops of the supporting pillars.

The size of the modules in which such beams can be constructed range between 2 and 4 metres, approximately, with a separa- tion between beams of up to around 7 metres, depending on the dimensional cha- racteristics of the bays required.

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ESTRUCTURA ESPACIAL

ESTRUCTURAS DE SIMPLE CURVA-

TURA

BÓVEDAS:

Las estructuras con doble o simple curvatura pueden acometerse con estructuras de base cuadrada o triangular. En este tipo de estructu- ras, aumentar el módulo no se tradu- ce en disminuciones importantes del peso de la misma.

SINGLE CURVE STRUCTURES

VAULTED ROOFS:

Structures with a double or single curve can be assembled with square- or triangular-based elements. In structures of this kind, increasing the size of the module does not imply any notable decrease in the weight of the structure.

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ESTRUCTURA ESPACIAL

ESTRUCTURAS DE DOBLE CURVA-

TURA

En este capítulo vamos a dar algunas notas generalizadas sobre algunos tipos de cúpulas. Existen formas muy diversas de subdividir una esfera. Aquí vamos a detallar tres tipos:

• Cúpulas Geodésicas
• Cúpulas de paralelos
• Cúpulas de paralelos laminares.

CÚPULA GEODÉSICA:

Es la proyección de un icosaedro con las caras moduladas en malla trian- gular en la esfera que la circunscribe. Sin embargo, si proyectamos un poliedro derivado del icosaedro, trun- cando los vértices hasta que todas las aristas de pentágonos y hexágo- nos sean iguales, habremos conse- guido que las variaciones de longitud sean relativamente pequeñas. Con esta disposición conseguimos un buen reparto de tensiones, aun a costa de que su montaje sea dificulto- so. Estas cúpulas se resuelven siem- pre con estructura triangular de una o dos capas, o bien con una solución intermedia, consistente en plegar la

DOUBLE CURVE STRUCTURES

In this chapter, we are going to give some general notes on some types of domes. There are many different ways of subdividing a sphere. Here we focus on three ways:

• Geodesic domes
• Parallel section domes -Parallel laminar section domes.

GEODESIC DOMES:

A geodesic is a projection of an ico- sahedron with the modulated faces forming a triangular grid on the sphe- re that surrounds it. Nevertheless, if we project a polyhedron derived from an icosahedron, truncating the verti- ces until all the edges of pentagons and hexagons are equal, we will have achieved relatively small variations in length. With this arrangement, we achieve a good distribution of stresses, although at the expense of a more complex erection. These domes are always designed with a triangular structure containing one or two layers; alternatively, an intermediate

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superficie por medio de pirámides rebajadas hexagonales casi siempre atirantadas.

PARALLEL SECTION DOMES

This type of parallel section dome is constructed with square-based ele- ments (trapezoidal in this case) or preferably, from a structural point of view, with triangular-based elements. Further, the dome can be designed in one or two layers, depending basi- cally on the size of the maximum dia- meter. Very large spans can be covered with domes that do not consist of just a single layer; domes with diameters of 300 metres are feasible.

solution can be used, which consists in folding the surface by means of shortened hexagonal pyramids, almost always braced.

CÚPULAS DE PARALELOS:

Este tipo de cúpulas de paralelos se resuelven con estructura de base cua- drada (trapezoidal en este caso), o de base triangular, desde el punto de vista estructural. Así mismo, pueden resolverse en una o dos capas dependiendo del tamaño de la planta. Las luces que se pueden cubrir con cúpulas que no sean de una sola capa son muy grandes, a tal punto, que se pueden acometer diámetros de 300 metros.

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DISEÑO DE ESTRUCTURAS:

ELECCIÓN DEL MÓDULO:

La elección de las diferentes familias de estructuras, no es siempre fácil y depende de un número determinado de criterios, que habrá que tener en cuenta si se quiere lle- gar a una realización lógica y económica. Para hacer este estudio, vamos a elegir una estructura cuadrada de dos capas y dimen- siones superficiales infinitas. De esta forma se mantendrá la siguiente relación:

a) Si H = M / √¯2, los metros lineales de barra por m² de estructura es 8 dividido entre la longitud del módulo. b) Si H = M, los metros lineales de barra por m² de estructura es 8,9 dividido entre la lon- gitud del módulo. En ambos casos el número de barras por m² es dividido por el módulo al cuadrado y el nº de nudos por m² de estructura es 2 dividido por la longitud del módulo al cua- drado.

En este tipo de estructuras de cada 8 barras, 4 están en las capas y las otras 4 están entre las capas, es decir, son lo que llamamos diagonales. Si queremos cubrir una superficie de, por ejemplo, 20 x 20 metros con una estructura de base cuadrada y dos capas con las barras paralelas a las fachadas, el único problema que nos queda es el de elegir la longitud de la barra compatible con las dimensiones del recinto. Antes de seguir con este ejemplo, conviene recordar que las tensiones en las barras horizontales, son prácticamente indepen- dientes de la longitud del módulo y los esfuerzos, siempre a igual carga, en las barras diagonales son proporcionales al módulo elegido.

DESIGN OF STRUCTURES:

CHOICE OF MODULE:

The choice of the different families of struc- tures is not always easy and depends on a given number of criteria that have to be taken into account in order to achieve a logi- cal and cost-effective construction. For the purpose of this study, we are going to chose a square structure with two layers and infinite surface dimensions. Thus the following ratio will be maintained:

a) If H = M / √¯2, the linear metres of bar per m² of structure is 8, divided by the length of the module. b) If H = M, the linear metres of bar per m² of structure is 8.9, divided by the length of the module. In both cases, the number of bars per m² is divided by the square of the module, and the number of nodes per m² of structure is 2 divided by the square of the length of the module.

In structures of this type, out of each 8 bars, 4 are in the layers and the other 4 are bet- ween the layers, i.e. they are what we called diagonals. If we wish to cover a surface measuring, for example, 20 x 20 metres, with a structure of square-based elements and two layers, with the bars parallel to the façades, the only pro- blem remaining is to chose the length of the bars so that they are compatible with the dimensions of the enclosure. Before continuing with this example, it is worthwhile remembering that the tensions in the horizontal bars are practically indepen- dent of the length of the module while the stresses in the diagonal bars, the loads being equal, are proportional to the module chosen.

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ESTRUCTURA ESPACIAL

If we compare two module lengths of 2.5 m and 1 m, we would need 8 and 20 modules, respectively, to cover the initial surface of 20 x 20 metres.

If the structures are supported on all the nodes in the periphery and considering in this case the large number of diagonal bars, these latter work very little. As the stresses in the bars in the upper and lower layers in the centre are similar, the dimension of the nodes in both structures will be practically the same, as will the average cross-section of the bars.

Then, what difference is there? The difference is that the length of the hori- zontal bars per m² of structure will be 2. times greater in one case than in the other and, what is worse, the number of nodes (of the same size) in the structure with a modu- le of 1 m will be 6.25 times greater than in the case of the 2.5 m module. The structure of the 2.5 m module, while having the same strength as the 1 m modu- le, will require approximately half the weight of steel, and further - this is the most impor- tant aspect in a bolted structure - the num- ber of nodes, of bolts, nuts, shop welds of the end of the bars, the number of bars to be lifted, the m² of paintwork, etc. would be divi- ded by 6.25. Thus, the choice of the module is of funda- mental importance and should be as large as possible, but compatible with the span that the walls or slab can support.

We shall be able to speak of small modules when the relation between the depth of the structure and the span between supports is less than 1/15 for two-layer structures without curves and less than 1/30 to 1/40 for structures with a single or double curve.

Si comparamos dos longitudes de módulo de 2,5 m. y 1 m. necesitaríamos respectiva- mente, 8 y 20 módulos para cubrir la super- ficie inicial de 20 x 20 m. Ahora bien, si las estructuras están apoya- das en todos los nudos del contorno y con- siderando en este caso el gran número de barras diagonales, éstas trabajarían muy poco. Como los esfuerzos de las barras de la capa superior e inferior en la parte central son parecidos, la dimensión de los nudos de una y otra estructura será prácticamente la misma, al igual que al sección media de las barras. Entonces, ¿Qué diferencia existe? La diferencia es que la longitud de las barras horizontales por m2 de estructura será 2,5 veces mayor en un caso que en el otro y lo que es peor, que el número de nudos (del mismo tamaño), en la estructura con módulo de 1 metro será 6,25 veces mayor que en el caso de módulo de 2, metros. La estructura de módulo 2,5 m., resistiendo lo mismo que la de módulo 1 m., tendría un peso de acero de aproximadamente la mitad y además, esto es lo más importante, en una estructura atornillada, dividiría por 6,25 el número de nudos, de tornillos, sol- daduras en taller de las puntas, nº de ele- vaciones de barras, de m² de pintura, etc... Por tanto, la elección del módulo es funda- mental, debiendo ser la mayor posible, pero compatible con la luz que puede soportar el cerramiento o forjado.

Podremos hablar de módulos pequeños, cuando la relación entre el canto de la estructura y la luz entre apoyos, sea menor de 1/15 para estructuras de dos capas sin curvatura, y de 1/30 a 1/40 para estructura de simple o doble curvatura.

Puede parecer mucha diferencia entre estos dos valores de 15 y 40, pero hay que insistir en estas proporciones si queremos aprovechar al máximo las características resistentes del acero, puesto que con esbel- teces mayores no sólo existen problemas de economía, sino también la flecha, siem- pre que no se vuelva a sobredimensionar las secciones de las barras.

It may seem that there is a very large diffe- rence between these two values of 15 and 40, but we must insist on these proportions if we wish to take maximum advantage of the strength characteristics of steel, as more slender designs give rise to problems not only of cost but also of sagging, unless the bar cross-sections are again oversized.

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ESTRUCTURA ESPACIAL

CÁLCULO PLÁSTICO:

En estructuras espaciales, no debe emplearse en general el cálculo plás- tico, ya que la rotura por pandeo es frágil y por tanto las premisas de for- mación de rótulas o ejes plásticos pueden no cumplirse. Sin embargo, si tomamos las debidas precauciones, sobredimensionando las barras de compresión y valorando debidamente algunos puntos de la estructura, puede ser un cálculo satisfactorio. Independientemente de si es o no un cálculo definitivo, sí que es de gran valor para conocer el comportamiento de todo tipo de estructuras. Esto es así, puesto que al señalar las líneas de rotura (rótulas) en el meca- nismo de ruina, podemos conocer los puntos de máxima solicitación e incluso podemos saber el valor de los esfuerzos.

EJEMPLOS DE CÁLCULO:

Placa isótropa de planta cuadrada apoyada en contorno y con carga uniforme En este caso el mecanismo de rotura estaría en las dos diagonales. Igualando el trabajo de la fuerzas exteriores con el de las interiores, da como resultado que el momento flec- tor en el centro de la placa es: M=Q/ siendo Q, la carga total de la estruc- tura, es decir, la carga unitaria multi- plicada por la superficie en planta. Afinando más sobre el mecanismo de rotura, pueden detectarse mecanis- mos que llegarían hasta un momento plástico de: M=Q/21,

Estructura espacial de dos capas de base cuadrada apoyada en el contor- no y con carga uniforme

• 1er. caso: Lados del cuadrado en la dirección de las diagonales, es decir, cuadrada girada 45º.

En este caso el mecanismo de rotura es igual que el anterior y por tanto podemos pensar que el momento flector en el centro de la estructura es: M=Q/24 o si se quiere: M=Q/ Los cortantes pueden tomarse como: M=(Qx3) / (8xL) siendo L la longitud del lado (luz).

PLASTIC CALCULATIONS:

Generally speaking, the plastic calcu- lation method should not be used for spatial structures, as rupture due to buckling is a brittle phenomenon, and therefore the premises relating to the formation of plastic axes or hinges may not be fulfilled. Nevertheless, if due precautions are taken, the compression bars over- sized and some points of the structu- re properly estimated, it can provide satisfactory calculations. Regardless of whether it is a final cal- culation or not, it certainly is very valuable to determine the behaviour of structures of all types. This is due to the fact that, on indica- ting the rupture lines (hinges) in a catastrophic mechanism, we can ascertain the points of maximum stress and even discover the value of the stresses.

EXAMPLES OF CALCULATIONS:

Isotropic plate with a square plan view, supported on the periphery and with uniform load In this case, the rupture mechanism would occur on the two diagonals. When the work of the exterior forces is equalized with that of the interior forces, we obtain the moment of fle- xion in the centre of the plate: M=Q/ where Q is the total load of the struc- ture, i.e. the unit load multiplied by the plan view area. On examining the rupture mechanism in more detail, mechanisms can be detected that attain a plastic moment of up to: M=Q/21,

Two-layer spatial structure with squa- re base, supported on the periphery and with uniform load

• 1st case: Sides of the square in the direction of the diagonals, i.e. the square is rotated 45º.

In this case, the rupture mechanism is identical to the one described pre- viously and we can, therefore, assu- me that the bending moment in the centre of the structure is: M=Q/24 or: M=Q/ The shear forces can be considered as: M=(Qx3)/(8xL) where L is the length of the side (span).

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• 2º caso: Lados del cuadrado parale- los a los lados, es decir, cuadrada normal. En este caso el mecanismo es perpendicular a los lados de la planta. El momento flector resultante es: M=Q/ Hay que hacer una aclaración y es que el método de cálculo, se ha supuesto una inercia uniforme o lo que es lo mismo, barras de igual sec- ción en cada una de las capas. En este caso si tomamos un momen- to máximo de: M=Q/
  • 2nd case: Sides of the square para- llel to the sides, i.e. a normal square. In this case, the mechanism is per- pendicular to the sides of the plan view area. The resulting bending moment is: M=Q/ Here we should clarify that for this method of calculation, uniform inertia has been assumed or, what comes to the same thing, bars with identical cross-sections in each of the layers. In this case, if we take a maximum moment of: M=Q/

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podemos dimensionar de forma varia- ble las distintas barras, según el dia- grama de momentos, es decir, por las parábolas acotadas por las dos prin- cipales con flecha máxima de: f=Q/ en cuanto a los cortantes, si llama- mos L al lado de la estructura, el cor- tante máximo por ml. En el centro de los lados puede tomarse como:Tc=Q/2L El cortante máximo por ml. En los extremos será:Tc=Q/8L Estructura espacial de forma y base cuadrada apoyada en los cuatro vérti- ces:

Si pasamos de supuestos plásticos a elásticos, vemos que el momento máximo es del orden de: M=Q/ y aparece en el centro de cada uno de los lados libres. En el centro de la estructura puede tomarse como momento de precálcu- lo: M=Q/ para obtener los momentos interme- dios, basta con interpolar parabólica- mente. En este caso ya no es fácil fijar a priori los cortantes aunque si pueden determinarse los esfuerzos en los apoyos, en los que coinciden general- mente tres diagonales. La diagonal en dirección al centro puede a estructura puede soportar una carga del orden de: M=Q/ Las otras dos diagonales deben

we can vary the size of the different bars, in accordance with the moment diagram, i.e. using the parabolas bounded by the two main ones, with a maximum sag of: f=Q/ As regards the shear stresses, if we call L the side of the structure, the maximum shear stress per linear metre in the centre of the sides can be taken as: Tc=Q/2L The maximum shear stress per linear metre at the ends will be: Tc=Q/8L Spatial structure with a square shape and base, supported on the four verti- ces

If we change from plastic to elastic assumptions, we see that the maxi- mum moment is around: M=Q/ and that it appears in the centre of each of the free sides. In the centre of the structure, the moment for preliminary calculations can be taken as: M=Q/ The intermediate moments can be obtained by parabolic interpolation.

In this case, it is not easy to establish the shear stresses "a priori", although the stresses on the supports where three diagonals generally coincide can be determined. The diagonal going towards the cen- tre of the structure can withstand a load of around: M=Q/ The other two diagonals have to