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CAPÍTULO 3: CENTROIDE DE UNA
REGIÓN PLANA
La matemática es el trabajo del espíritu humano que está destinado tanto a estudiar como a conocer, tanto a buscar la verdad como a encontrarla Evariste Galois
Logro de la sesión
Al terminar la sesión el alumno deberá reconocer las regiones que encierran las funciones, además de calcular el área y centroide usando integrales.
1. MOMENTOS Y CENTROS DE
MASA
Como en el caso unidimensional, las coor- denadas del centro de masa (x, y) están dadas en términos de los momentos por las fórmulas:
x =
My m
y =
M x m donde m es la masa total. Puesto que mx = My y my = Mx, el centro de masa es el punto donde una sola partícula de masa m tendría los mismos momentos que el sistema. Al igual que para sistemas de partículas, el centro de masa de la placa se de ne tal que mx = My y my = Mx. Pero la masa de la placa es el producto de su densidad y su área: m = ρA = ρ
∫ (^) b a f^ (x)^ dx, donde la densidad de la lamina a trabajar es constante. y por lo tanto:
x =
My m
∫ (^) b ∫a x.f^ (x)^ dx b a f^ (x)^ dx
y =
Mx m
1 2
∫ (^) b a [f^ (x)]
(^2) dx ∫ (^) b a f^ (x)^ dx
Generalizando para una región encerrada por la grá ca de dos funciones, superiormente por y = f (x) e inferiormente por y = g(x):
x =
My m
∫ (^) b ∫a x[f^ (x)^ −^ g(x)]^ dx b a [f^ (x)^ −^ g(x)]^ dx
y =
Mx m
1 2
∫ (^) b a [f^ (x)]
(^2) − [g(x)] (^2) dx ∫ (^) b a [f^ (x)^ −^ g(x)]^ dx
Nota: En el caso que x=f (y) podemos cam- biar las letras x por y en las fórmulas antes mencionadas.
NIVELACIÓN DE MATEMÁTICAS
Semana 7 Sesión 1
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
- Encontrar el centroide de la región en- cerrada√ por la semicircunferencia y = 9 − x^2 con el eje x
Solución. :
- Encontrar el centroide de la región en- cerrada por las curvas x^2 − 8 y = 0 , x^2 + 16y = 24
Solución. :
- Encontrar el centroide de la región en- cerrada por: y = −x^2 , x = − 1 , x = 2,
y =
1 − x si x ≤ 0 x^2 + 1 si x > 0
Solución. :
- Encontrar el centroide de la región ence- rrada por: y = cos x, para x ∈ [0; π/2]
Solución. :
NIVELACIÓN DE MATEMÁTICAS
TAREA DOMICILIARIA
- Determine las coordenadas del centroide de la región limitada por las curvas y = x, y = x^2 − 6 , y = 0
- Encontrar el centroide de la lamina limi- tada por las gra cas de y = x, y = x^2 / 3
- Determine las coordenadas del centroi- de de la región limitada por las curvas y = x^2 , y =
x
- Halle las coordenadas del centroide de la región limitada por las curvas y = x^2 − 5 x + 1, y = −x^2 + 5x + 1
- Determine las coordenadas del centroi- de de la región limitada por las curvas y = ex, y = 1 en el intervalo [0; 2] 6. La región limitada por el lazo y^2 = x(x − 4)^2 tiene como centroide a:
Respuestas:
- x = 1, 17 , y = − 1 , 47
- x = 3/ 2 , y = 6/ 5
- x = 9/ 20 , y = 9/ 20
- x = 2, 5 , y = 1
- x =
− 1 + e^2 e^2 − 3
, y =
e^4 − 5 4(e^2 − 3)
- x = 12/ 7 , y = 0
