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COLECCIÓN
DIDÁCTICA
PRIMARIA
Coordinadora:
Ma del Carmen Chamorro
Didáctica de las
Matemáticas
C A P Í T U L O 6
Las relaciones multiplicativas: el
cálculo multiplicativo y de división.
Cálculo mental y con calculadora
- Introducción
- Objetivos
- Problemas multiplicativos y de división 3.1. Tipo I: Problemas de isomorfismo de medidas 3.2. Tipo II: Problemas de producto de medidas 3.3. Tipo III: Problemas con un espacio único de medidas
- Hacia los algoritmos de cálculo de la la multiplicación y la división 4.1. Cálculos multiplicativos 4.2. Cálculos de división
- El cálculo mental frente al cálculo escrito
- El uso de la calculadora en la enseñanza del cálculo Bibliografía
Juan Miguel Belmonte Gómez
ÍNDICE
Tipo I. Problemas de isomorfismo de medidas Tipo II: Problemas de producto de medidas Tipo III: Problemas con un espacio único de medidas
3.1. Tipo I. Problemas de isomorfismo de medidas^2
Veamos los siguientes ejemplos: Disponemos de seis bolsas de caramelos y en cada una de ellas hay siete carame- los, ¿cuántos caramelos tenemos?
Una bolsa de 6 kilos de naranjas cuesta 12 euros. ¿Cuánto costarán 8 kilos de naranjas?
Compré 4 botellas de leche por 3 euros y 20 céntimos. ¿Cuánto vale cada bote- lla?
Dispongo de 78 céntimos para comprar lápices. Cada uno vale 13 céntimos. ¿Cuántos puedo comprar?
Se trata de situaciones donde se establece un isomorfismo 3 (basado en la pro- porcionalidad) entre dos campos de medidas. En todos ellos aparecen escrituras numéricas correspondientes a medidas de dos magnitudes distintas: bolsas y ca- ramelos, peso de naranjas y dinero, botellas de leche y dinero, etc.
Cada problema plantea una función de proporcionalidad entre dos magnitu- des:
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Número Número de bolsas de caramelos 6? 1 7
Kilos de naranjas Precio 6 12 8?
(^2) Problemas de razón, según la terminología de C. Maza (1991). (^3) Un isomorfismo es una aplicación biyectiva entre dos conjuntos que «respeta» la operación
que hay definida en cada uno de ellos. En este caso f(a+b)=f(a)+f(b). Dicho de otra manera, si ten- go 3+4 bolsas de caramelos, tendré 21+28 caramelos, 21 de las tres primeras y 28 de las cuatro se- gundas.
Botellas (^) Precio de leche 1? 4 3,
Número (^) Precio de lápices 1 0, ? 0,
Lo primero que se puede observar es que en estos problemas multiplicativos no estamos ante una relación ternaria (dos números se componen para obtener otro tercero, como era el caso de la adición), sino cuaternaria: intervienen cua- tro números que son los que permiten dar significado a la situación.
Los problemas más simples serán aquellos en los que uno de los datos haga referencia a una unidad del primer campo de medidas: en el ejemplo 1 nos encontramos quizá con el problema más elemental de multiplicación y en los ejemplos 3 y 4, clásicos problemas de división. Cuando esto no es así, incluso desde el punto de vista escolar es frecuente no considerar el problema como multiplicativo, en el segundo ejemplo que proponemos se identifica más como un problema de proporcionalidad, recordándonos a la tan traída y llevada «re- gla de tres».
Una consecuencia decisiva de este tipo de problemas en los que intervie- nen dos campos de medidas distintos es que el papel que desempeñan los dos números a multiplicar es distinto. Detengámonos en el problema del primer ejemplo:
« Disponemos de seis bolsas de caramelos, y en cada una de ellas hay siete cara- melos, ¿cuántos caramelos tenemos?»
La situación podría representarse como sigue:
(^162) Didáctica de las Matemáticas para Primaria
Bolsas
Caramelos
× 6
6 ×
× 7
× 6
× 7
Procedimiento escalar
Procedimiento funcional
Caramelos bolsa
caramelos bolsa
acabamos de ver. Comprender el funcionamiento de las situaciones que las pro- vocan pasa por el trabajo de un cierto «cálculo dimensional» en tanto en cuan- to es necesario manejar la relación entre distintas magnitudes en un problema. Esto permitirá más adelante el trabajo con magnitudes multilineales y magnitu- des derivadas^5.
Esta dualidad en los procedimientos se observa muy fácilmente cuando es- tudiamos los problemas de división asociados a este problema multiplicativo.
En el primer caso la división busca la cantidad de unidades de una de las mag- nitudes.
Hemos comprado bolsas de caramelos. En cada una de ellas había 7 caramelos y en total tenemos 42 caramelos. ¿Cuántas bolsas hemos comprado?
Como se puede observar, este tipo de problemas no se corresponde con una situación de reparto, situaciones que parecen que representan de manera exclu- siva la noción de división. Los datos numéricos que nos proporciona el proble- ma pertenecen ambos al mismo campo de medidas (cantidad de caramelos). Nos aboca a utilizar el que llamábamos procedimiento escalar, pero en sentido inverso, claro está. Si en el caso de la obtención de producto hablábamos de su- mas repetidas, en este caso el procedimiento inicial más sencillo para resolverlo es el de las sustracciones sucesivas.
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(^5) La superficie es una magnitud bilineal y el volumen trilineal. En cuanto a las magnitudes de-
rivadas encontramos a la velocidad y densidad como ejemplos más sencillos.
Número Número de bolsas de caramelos 1 7 ? 42
Caso 1 Caso 2
Número Número de bolsas de caramelos 1? 6 42
Bolsas Caramelos rellenas restantes 1 42 – 7 = 35 2 35 – 7 = 28 3 28 – 7 = 21 4 21 – 7 = 14 5 14 – 7 = 7 6 7 – 7 = 0
El número de veces que podamos restar el divisor (7) del dividendo (42) se- rá el resultado demandado (cociente).
En el segundo caso la división consiste en la búsqueda del valor unitario: Hemos comprado 6 bolsas de caramelos y tenemos 42 caramelos, ¿cuántos cara- melos había en cada bolsa?
Estamos ante un ejercicio típico de reparto, que son los que tradicionalmen- te se asocian a la división, y muestra claramente la dualidad de procedimientos que hemos indicado en este tipo de problemas. Nótese que ahora los dos nú- meros que aparecen en el enunciado corresponden a campos de medidas distin- tos: 6 bolsas y 42 caramelos. No tiene sentido, entonces, proceder como en el caso anterior mediante sustracciones sucesivas.
La resolución fomentará el tanteo mediante multiplicaciones, siempre bajo el funcionamiento de la función de proporcionalidad que nos plantea el problema. Estamos inmersos en el que hemos llamado antes procedimiento funcional , ac- tuando aquí de manera inversa.
Como hemos observado la dualidad de procedimientos da lugar, cuando se trata de divisiones, a tratamientos distintos para resolver los problemas. Recor- daremos esta dualidad cuando trabajemos las técnicas de cálculo de la división, ya que un uso adecuado de los dos tipos de problemas permitirá el manejo de estas dos técnicas artesanales, cuya conjunción nos proporcionará las claves pa- ra la construcción de nuestra técnica definitiva.
3.2. Tipo II: Problemas de producto de medidas
6
Veamos ahora otro tipo de problemas multiplicativos muy diferente del anterior.
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Caramelos Caramelos por bolsa utilizados 1 6 2 12 3 18 … … 6 36 7 42
(^6) Problemas de combinación, según C. Maza (1991).
Una habitación rectangular mide 8 metros de ancho y 6 metros de largo. ¿Cuánto mide su superficie?
La resolución de este problema produce un cierto «producto de medidas». La obtención de la medida de la superficie de un rectángulo, conocidas las lon- gitudes de sus lados, surge de la resolución de este problema multiplicativo. Co- mo se observa en el dibujo, al descomponer el rectángulo en cuadrados, cada uno de ellos de 1 m 2 , el problema es similar al ejemplo 2 de las disposiciones rectangulares de objetos.
Pero quisiéramos hacer una consideración sobre este problema. Al aplicar la «fórmula» del área de un rectángulo encontramos escrituras como
S = 8 m × 6 m = 48 m^2 Naturalmente 6 × 8 = 48, pero ¿es correcto afirmar que m × m = m^2? En realidad esto supone un abuso de lenguaje. Es el contexto el que dota de significado al hecho de que al multiplicar esos números obtengamos el valor del área, pero no multiplicamos los metros. Si fuera así, ¿por qué multiplicamos los metros y no otras cosas? Si m × m = m^2 , ¿por qué no tiene sentido litro × litro = litro^2? Es el conocimiento de las magnitudes, con todo lo que ello implica tal y como se verá en el capítulo correspondiente, el que proporciona las claves pa- ra conocer las relaciones multiplicativas que se producen entre distintas magni- tudes. De esta manera podemos hablar de^7 :
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8m
6m
(^7) Como ya se dijo esto no es más que un abuso de lenguaje, pero que representa la relación multiplicativa de ciertas magnitudes con las llamadas elementales o simples. No en vano en Física de habla de ecuaciones dimensionales que no hacen más que representar estas relaciones entre las distintas magnitudes. Lo importante es no confundir estos procesos con las operaciones aritméti- cas de multiplicación y división.
Magnitudes lineales: longitud, masa, tiempo... Magnitudes «producto» o multilineales: área, volumen... Magnitudes «cociente»: velocidad, densidad...
3.3. Tipo III: Problemas con un espacio único
de medidas 8
Estamos ante problemas de comparación pero en términos multiplicativos. Veamos un ejemplo:
Enrique tiene 12 canicas y su hermana cuatro veces más. ¿Cuántas tiene su her- mana?
Como se puede observar los problemas son muy similares a los de compa- raciones aditivas, pero la comparación utiliza un coeficiente multiplicativo (ra- zón).
No aparece más que un campo de medidas (cantidad de canicas) con un operador (escalar) que relaciona ambas cantidades. No nos detendremos en ellos ya que son muy similares a los del primer tipo, de isomorfismo de medi- das, cuando se abordaban con el procedimiento llamado escalar. Ya entonces po- dríamos haber enunciado « en seis bolsas hay seis veces más caramelos que en una»^9 , lo que mostraba el operador escalar que indicábamos entonces.
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(^8) C. Maza los contempla como un caso particular de los problemas de razón. (^9) Recordemos el enunciado que estudiamos de aquel tipo de problema: « Disponemos de seis bol-
sas de caramelos y en cada una de ellas hay siete caramelos, ¿cuántos caramelos tenemos?».
Enrique
Canicas
Hermana de Enrique
12 × 3 X
Actividad 1: Estudie los problemas de multiplicación y división que presente un libro de texto. Clasifí- quelos según los tipos aquí expuestos. ¿Hay predominancia de alguno?
La división euclídea no es en sentido estricto una operación en los números naturales. El resultado de componer dos números no da como resultado otro número, sino dos: cociente y resto. Así pues, nos debe preocupar que los pro- blemas que utilicemos para dar sentido a la división den carta de naturaleza a los dos resultados 11.
Incluso existen numerosos contextos en los que el resultado que resuelve los problemas no es el cociente sino el resto:
En una pista numerada mi ficha se desplaza de cuatro en cuatro. En la casi- lla 31 hay una trampa en la que no debo caer. Si empiezo en la casilla 1, ¿caeré en la trampa?
El resto no es un residuo ingrato que produce la división, forma parte de la misma y es consustancial a la aritmética discreta (con números naturales y ente- ros). Es importante utilizar problemas que pongan de manifiesto cuál es su pa- pel. Desde luego la desafortunada, y tan extendida en los libros de texto, denominación de división exacta para las divisiones euclídeas de resto cero no ayuda especialmente.
4
. Hacia los algoritmos de cálculo
de la multiplicación y división
4.1. Cálculos multiplicativos
Como ya hemos apuntado en el apartado anterior, muchos autores aseguran que es más sencillo para el niño comenzar la multiplicación a partir de proble- mas de isomorfismo de medidas, lo que permite conectar esta nueva operación con la adición. Estos primeros problemas pueden ser abordados por los niños mediante la suma iterada que, como vimos, surge en este tipo de problemas co- mo uno de los sentidos posibles de la multiplicación.
Naturalmente, estas estrategias de cálculo deben ser abandonadas en bene- ficio de otras propias del cálculo que, como dijimos en el capítulo anterior,
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Actividad 4: Descubra el lector distintos contextos en los que sea el resto el dato decisivo en la resolu- ción de un problema. ¿Son utilizados estos problemas en la introducción de la noción de división euclí- dea?
(^11) Obviamente hay situaciones en las que es imposible considerar la existencia de un resto: que-
remos cortar una banda de 82 cm en cuatro trozos iguales. ¿Cuál es la longitud de cada trozo?: 20,5 cm. En este contexto no tiene sentido hablar de resto, pero ya trabajamos en otros conjun- tos numéricos: decimales o racionales.
parten de unos resultados previos (el repertorio) para obtener los resultados que se piden 12.
Para conseguirlo, debemos producir unas determinadas transformaciones en el producto que se nos plantea hasta que, con el repertorio de que disponemos, podamos obtener el resultado.
Recordemos que, en el caso de la adición (y sustracción), las técnicas des- componían los sumandos hasta conseguir algunos resultados ya conocidos, o bien más sencillos de obtener. La descomposición se hacía de forma aditiva, lo mismo que se hará en la multiplicación, lo que hará necesario el uso de la pro- piedad distributiva 13.
Así pues, la transformación de resultados en una multiplicación se va a reali- zar mayoritariamente mediante la propiedad distributiva del producto respecto de la suma, lo que nos va a permitir obtener unos productos a partir de la suma de otros.
Para tomar conciencia y ejercitarse en el uso de esta propiedad, los proble- mas con disposiciones rectangulares (pertenecientes al tipo de producto de me- didas), nos ofrecen una gran utilidad didáctica. Veamos el siguiente problema:
Aquí tenemos cuatro cuadrículas de dimensiones 8 × 7, 8 × 5, 7 × 6 y 6 × 5. Construir con ellas otras más grandes. Obtener las escrituras.
Con todas ellas se puede obtener un rectángulo de 14 × 12,
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(^12) En el caso de nuestra técnica de cálculo el repertorio consiste en los resultados de los pro- ductos hasta 9 × 9, a partir de los cuales, siguiendo las reglas del algoritmo, podemos obtener cual- quier otro. (^13) Si tenemos un producto a × b y descomponemos a = c + d, nos queda (c + d) × b o lo que es lo mismo, por la propiedad distributiva, c × b + d × b.
8 × 7
8 × 5
7 × 6
6 × 5
del sistema) cualquier número, el resultado se obtiene añadiendo un cero como cifra final al número multiplicado. Si tomamos ab como un número de cifras a y b:
ab × 10 = ab Naturalmente es fundamental que se presenten al alumno actividades que le permitan constatar este hecho, lo que le irá haciendo ver cuáles son las descom- posiciones de los números que, mediante la propiedad distributiva, permiten obtener escrituras más sencillas.
El proceso podrá evolucionar de manera que surjan técnicas más evolucio- nadas como la que sigue, en la que se descomponen los números de forma ca- nónica.
Para obtener 74 × 46 Descomponemos 74 = 70 + 4 y 46 = 40 + 6
74 × 46 = 2 800 + 160 + 420 + 24 = 3 404
Como se puede observar, debido a la regla de los ceros, el repertorio im- prescindible para obtener los productos queda ya configurado por los productos
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Técnica de los recortados
70 × 40 = (7 × 4) × 100
40 × 4 = (4 × 4) × 10
70 × 6 = (7 × 6) × 10
4 × 6 = 24
de números de una cifra, resultados que todos los algoritmos de cálculo tienen necesidad de utilizar^14. Todo lo que dijimos referente a las tablas de sumar en el apartado anterior, lo hacemos extensivo al caso del aprendizaje del repertorio multiplicativo.
Este proceso puede justificar muy bien los porqués de nuestro algoritmo, cu- yas dificultades más frecuentes están siempre asociadas al tratamiento de los re- sultados parciales, bien por las llevadas dentro de un mismo resultado, bien por la colocación de los mismos. Hay que entender que el orden de unidad está siempre presente en la técnica antes descrita (los ceros marcan el orden de uni- dad en el que nos movemos), mientras que en nuestro algoritmo éste sólo vie- ne marcado por la posición precisa en el que hay que colocar cada resultado. Intentar adiestrar directamente en técnicas como la nuestra provocará aprendi- zajes memorísticos carentes de significado.
Ilustremos todo esto observando una posible evolución de esta técnica de los recortados y su correspondencia con nuestra técnica usual.
Como complemento a nuestra técnica, y para evitar los numerosos errores de los acarreos en la obtención de los resultados parciales, la utilización de algorit- mos como el de la celosía pueden ser excelentes puentes para su construcción, incluso pueden presentar grandes ventajas como algoritmos finales, adaptándo- se a las distintas singularidades de los aprendizajes de los alumnos.
Veamos dicha técnica en el caso del producto anterior 356 × 84.
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(^14) En realidad existen técnicas como la egipcia (que se verá más adelante) que no lo necesita,
ya que no utiliza todo el potencial de nuestro sistema de numeración.
29904
4
80
300 50 6
1200 200
24000 4000 480
24 1424
28480
sumamos
sumamos
X 8 4
Actividad 6: Realice una multiplicación de un número de varias cifras por otro de una sola mediante la técnica de la celosía. Investigue qué utilización puede tener esta actividad en la enseñanza de la técnica estándar de la multiplicación.
×
La solución sería el rectángulo de 7 × 8. Como ya vimos en el apartado dedicado a los problemas, este tipo de pro- blemas conduce al uso del encuadramiento para la obtención del cociente.
El resto será 58 – (7 × 8) = 2 Veamos, sin embargo, este otro problema: Queremos repartir en bolsas 45 canicas, de manera que haya 6 en cada una de ellas. ¿Cuántas bolsas tendré?
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Como se observa estos contextos inducen a utilizar las sustracciones repeti- das del divisor.
Ninguna de estas dos técnicas por separado evoluciona satisfactoriamente hasta una técnica definitiva. Cuando los números sean de un cierto tamaño, las tareas de restas sucesivas o encuadramiento de múltiplos serán excesivamente costosas.
Las actividades a proponer a los alumnos deben provocar, entonces, la coor- dinación de ambas técnicas artesanales. Mediante el trabajo con números más grandes podremos conseguir procesos como sigue:
Construir con 2 664 cuadraditos un rectángulo que tenga 21 por fila.
Bolsas Canicas utilizadas que quedan 1 45 – 6 = 39 2 39 – 6 = 33 3 33 – 6 = 27 4 27 – 6 = 21 5 21 – 6 = 15 6 15 – 6 = 9 7 9 – 6 = 3
Cuadrados Filas 2 664 – 2100 = 564 100 564 – 210 = 354 10 354 – 210 = 144 10 144 – 105 = 39 5 39 – 21 = 18 1 Resto: 18 Filas: 126
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Buscar directamente entre qué dos múltiplos de 21 se encuentra 2 664 es una estrategia posible pero poco económica. Determinar cuántas veces se puede res- tar 21 de 2 664 también resulta poco realizable. La decisión óptima consiste en restar, no de 21 en 21, sino restar múltiplos de 21 fáciles de encontrar, de ma- nera que con una única sustracción disponga de una cantidad importante para incorporar al cociente. Así, restando 2 100 (21 × 100) ya conozco que al menos el rectángulo tendrá 100 filas. Luego seguiré restando múltiplos de 21 hasta que no podamos seguir. De esta manera convergen las dos técnicas para dar lugar a otra mucho más efectiva y económica. Queremos hacer notar que los múltiplos del divisor (21) utilizados son los más sencillos de obtener (21 × 10, 21 × 100, ...) o, en todo caso, conocidos por el que ejecute la técnica.
El proceso hasta un algoritmo similar al nuestro pasa por introducir una va- riable importante: hacerlo en el menor número de pasos, intentando establecer de antemano el número de pasos que voy a necesitar. Cada uno de estos pasos se corresponderá con la obtención, en la técnica usual, de cada una de las cifras del cociente.
Pueden favorecerse procesos de este tipo: Para obtener 848 : 35
Como 1 050 > 848 > 700 calculamos 848 – 700 = 148 Estos cálculos se corresponderían con los que realiza nuestra técnica obte- niendo la primera cifra del cociente:
× 35
Regla de los ceros
Ahora se encuadra 148 entre múltiplos de 35:
Como 175 > 148 > 140 restamos 148 – 140 = 8 En nuestra técnica:
× 35
