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Figura 1
TEMA 1
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
1.- Vectores posición, desplazamiento, velocidad y aceleración. Valores medios e instantáneos
Decimos que un cuerpo se encuentra en movimiento relativo con respecto a otro cuando su posición,
referida al segundo cuerpo, cambia con el tiempo. Por el contrario, si la posición no cambia con el tiempo
decimos que se encuentra en reposo relativo. Tanto el movimiento como el reposo son conceptos relativos pues
dependen del punto que se toma como referencia: un árbol o una casa se encuentran en reposo relativo con
respecto a la Tierra y en movimiento relativo con respecto al Sol. Por tanto, para describir un movimiento el
observador debe comenzar por definir un sistema de referencia con relación al cual estudia el movimiento.
Desde dos sistemas de referencia en reposo relativo se observa el mismo movimiento; desde dos sistemas en
movimiento relativo se observan movimientos diferentes.
Definimos el vector posición de un móvil como el vector que une el origen del sistema de referencia con
la situación del móvil en cada instante. Se suele representar por r y sus coordenadas, si usamos como
referencia un sistema cartesiano de coordenadas, por x , y , z.
Definimos el desplazamiento como la variación que experimenta la posición de un móvil , es decir, como
el vector que une dos posiciones cualesquiera del móvil (Figura 1).
Es conveniente destacar que no es lo mismo desplazamien-
to que espacio: el desplazamiento es una magnitud vectorial y el
espacio escalar, y el módulo del vector desplazamiento no tiene
por qué coincidir con el espacio recorrido ; sólo coinciden si la
trayectoria es rectilínea y el móvil no cambia su sentido de
movimiento (La trayectoria es la línea que une las sucesivas
posiciones que adopta el móvil , es decir, la línea que describen
los extremos del vector posición). Por ejemplo, si un móvil
describe una trayectoria circular de radio R y da una vuelta
completa, el desplazamiento total es nulo y el espacio recorrido
es 2B R.
Definimos velocidad media como la variación que experimenta la posición de un móvil en la unidad de
tiempo.
La velocidad media es una magnitud vectorial cuyo módulo es el módulo del desplazamiento dividido por
el tiempo empleado en realizarlo y cuya dirección y sentido son los del desplazamiento. (pues ) t > 0).
El vector velocidad media suministra poca información acerca del movimiento (en el ejemplo del
movimiento circular, puesto anteriormente, la velocidad media sería cero) ya que si lo que deseamos es describir
perfectamente el movimiento, lo que necesitamos conocer es la velocidad del móvil en cada instante. Por eso
definimos velocidad instantánea como el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a
r xi y j zk * x x t (( (( )))) , y y t (((( )))) , z z t (((( )))) [1.1]
2 1
∆ r = r − r [1.2]
[1.3] * [1.4]
m m
r
r
v v
t t
0
lim
t
r
v
t
∆ →∆ →∆ →∆ →
cero, es decir, como la derivada de la posición con respecto al tiempo.
Sabemos, por lo visto en el tema anterior, que la dirección de es la de la recta tangente a la trayectoria
en el punto en el que se evalúa la velocidad; su sentido es, evidentemente, el del movimiento. En cuanto a su
módulo, podemos escribir
En el límite, cuando el punto B tiende a confundirse con el A, el módulo del desplazamiento coincide con
la longitud del arco de trayectoria, es decir, con el espacio recorrido.
Definimos el vector unitario como el vector cuya dirección es la de la tangente a la trayectoria en
cada punto y cuyo sentido es el del movimiento. Este vector, de módulo constante y dirección variable, marca,
pues, la dirección y el sentido de la velocidad instantánea, con lo que
Como, a su vez, el vector velocidad instantánea puede cambiar en el tiempo, introducimos una magnitud,
la aceleración, que será la encargada de detectar dichos cambios. Definimos aceleración media como la
variación que experimenta la velocidad instantánea del móvil en la unidad de tiempo. Es decir:
Por las mismas razones expresadas al hablar de la velocidad media, la aceleración media es una magnitud
que proporciona poca información acerca del movimiento: si la velocidad cambia (en módulo y/o en dirección),
necesitamos conocer cómo cambia en cada instante. Definimos aceleración instantánea como el límite de la
aceleración media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, es decir, como la derivada de la velocidad
instantánea con respecto al tiempo.
[1.5]
dr dx dy dz
v i j k
dt dt dt dt
2 2 2
[1.6]
x y z
v = v + v + v == ++ ++
0 0
lim lim [1.7]
t t
r s ds
v
t t dt
∆ →∆ →∆ →∆ → ∆ →∆ →∆ →∆ →
[1.8]
ds
v v
dt
[1.9] * [1.10]
m m
v v
a a
t t
2 2 2 2
2 2 2 2
[1.11]
y
x z
dv
dv dv dv d r d x d y d z
a i j k i j k
dt dt dt dt dt dt dt dt
2 2 2
[1.12]
x y z
a ==== a ++++ a ++++ a
El sentido del vector aceleración normal coincide con el sentido del vector ∆ τ en el límite y, como
podemos apreciar, ∆ τ apunta a C, centro de curvatura de la trayectoria. Por esta razón, a la aceleración normal
también se la llama aceleración centrípeta (que significa "hacia el centro"). De la misma forma que
introdujimos el vector τ para marcar la dirección y el sentido del vector velocidad instantánea, introducimos
ahora el vector unitario n , cuya dirección es la de la perpendicular a la trayectoria en cada punto y dirigido
siempre hacia el centro de curvatura de la misma en dicho punto. Así pues,
A las componentes y se las llama componentes intrínsecas de la aceleración.
t
a
n
a
3.- Estudio de diversos tipos de movimiento
Vamos a proceder ahora al estudio de algunos de los movimientos más característicos de la Física, en el
bien entendido de que dichos movimientos son modelos en cuanto suponen una idealización de los movimientos
reales.
3.1. Movimiento rectilíneo. Representaciones gráficas
a) Movimiento rectilíneo uniforme. Se define como aquél en el que la velocidad es constante , es decir,
no cambia en dirección (con lo que la trayectoria ha de ser forzosamente rectilínea) ni en módulo. Buscaremos
ahora la ecuación de la posición:
Si integramos la ecuación anterior entre el instante inicial ( t = 0) y un instante cualquiera ( t = t), siendo
0
r
y r las respectivas posiciones en dichos instantes, tendremos:
es decir, la posición del móvil en cualquier instante es igual a su posición inicial más la velocidad por el tiempo.
Si el origen del sistema de referencia lo tomamos en un punto de la trayectoria, el movimiento tendrá lugar
en una sola dimensión y, por tanto, los vectores r , y tienen la misma dirección, por lo que la ecuación
0
r
vt
[1.22] también se cumple en módulos. Además, en esas condiciones el módulo de la posición coincide con el
espacio recorrido, por lo que, si tomamos como sentido positivo del eje el mismo que el del movimiento, se
2
[1.18]
n
d v v
a v v
dt R R
2
[1.19]
n
v
a n
R
2
[1.20]
t n
dv v
a n a a
dt R
2 2
[1.21]
t n
a = a + a
dr
v dr v dt
dt
[
[[
[ ]
]]
] [
[[
[ ]
]]
]
0
0
0 0
0
[1.22]
r t
r t
r
r
dr v dt r v t r r vt
Figura 3 .- ( a ) Representación de la ecuación horaria
caso que el movimiento ocurra en el sentido positivo del
eje de referencia. ( b ) Representación gráfica de la
velocidad bajo el mismo supuesto anterior.
Figura 4 .- ( a ) Igual que 3 a , caso que el movimiento
tenga lugar en sentido contrario al tomado como positivo
en el eje de referencia. ( b ) Representación gráfica de la
velocidad bajo el mismo supuesto
cumple:
s = s
0
La representación gráfica de la ecuación [1.23] se da en la figura 3 a , y la de la velocidad en función del
tiempo en la figura 3 b. Es de destacar que la figura 3 a no representa la trayectoria; sólo nos indica cómo varía
el espacio recorrido con el tiempo. Siempre, pues, que veamos una representación rectilínea del espacio en
función del tiempo (la ecuación correspondiente se suele denominar ecuación horaria) sabremos que el
movimiento es rectilíneo y uniforme. Si el sentido positivo del eje de la referencia no coincidiese con el del
movimiento, y serían vectores de sentido opuesto a , por lo que la ecuación [1.22], en módulo, se
0
r
r
vt
escribiría como
s = s
0
! v t [1.24]
b) Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Se define como aquél en el que la trayectoria es
una línea recta y la aceleración es constante.
Si la trayectoria es rectilínea, no tiene aceleración normal ya que la velocidad no cambia en dirección
(Matemáticamente, puede razonarse diciendo que el radio de curvatura de una recta en cualquiera de sus puntos
es infinito, con lo que ). Como, por definición, en este movimiento hay
2 2
n
a ==== v R n ==== v ∞∞∞∞ n ====
aceleración, concluimos que toda ella es tangencial.
Partiendo de la constancia de la aceleración, y procediendo como antes
es decir, la velocidad en cualquier instante es igual a la inicial más la aceleración por el tiempo.
Si tomamos el origen de la referencia en un punto de la trayectoria y el sentido positivo del eje lo hacemos
coincidir con el eje del movimiento (que es el de la velocidad), entonces las ecuaciones [1.27] y [1.28] también
se cumplen en módulos.
v = v
0
s = s
0
0
t + ½ a t
2
[1.30]
[1.25] * 0 [1.26]
t n
dv
a a a
dt
= = τ =
0
0
0
[1.27]
v t
v
dv
a dv adt v v at
dt
0
2 1
0 0 0 2
0 0
[1.28]
r t t
r
dr
v dr vdt v at dt r r v t at
dt
coordenadas (con lo que ) y, generalmente, llamaremos ángulo de tiro ( 2 ) al que forma la velocidad
0
r = 0
inicial con el semieje positivo de abscisas (Figura 7)
La posición del proyectil en cualquier instante será:
Para determinar la ecuación de la trayectoria, eliminamos el tiempo en las ecuaciones paramétricas de la
posición
Vemos pues, que la trayectoria es parabólica.
Se llama alcance del tiro ( x
max
) a la máxima distancia horizontal que recorre el proyectil , medida desde
el punto de lanzamiento (Figura 7). Para determinar el alcance tenemos varios procedimientos: el más sencillo
es hacer y = 0 en la ecuación de la trayectoria (1.36)
A partir de aquí obtenemos dos soluciones. La primera es x
max
=0 que, evidentemente, no es la que estamos
buscando. La otra se obtiene de resolver la ecuación. A partir de aquí, y teniendo en
max
2 2
0
tg 0
2 cos
g x
v
θ
θ
cuenta que: { , llegamos a: {{
{ } }}
2sen θ cos θ ====sen 2θ}
Vemos que para una velocidad inicial dada, el máximo alcance se consigue cuando 2 = 45º ya que
sen2 2 = sen 90º = 1. Se deja como ejercicio para el alumno que demuestre que se consiguen idénticos alcances
cuando los ángulos de tiro son complementarios.
Se llama altura máxima a la máxima elevación del proyectil sobre la horizontal del punto de lanzamiento
(Figura 7). Para determinarla, calcularemos en primer lugar el tiempo que tarda en conseguirla, sabiendo que
en el punto del que hablamos, la velocidad vertical ( v y
) es nula. Así pues
{ }
0 0 0 0 0
0 0 0
cos sen
cos sen
x y
v v i v j v i v j
v v at a g j v i v j gt j
Figura 7
( )
0 0
cos sen [1.32]
[1.33]
v v i v gt j
a g j
( ) ( )
2 2 2 1 1 1
0 0 0 0 0 2 2 2
r = v t + at = v cos θ i + v sen θ j t − gt j ⇒ r = v t cos θ i + v t sen θ− gt j [1.34]
0
0
cos [1.35]
cos
x
x v t t
v
2
2
0 0
0 0
sen sen
2 cos 2 cos
x x
y v t gt v g
v v
θ θ
θ θ
2
2 2
0
tg
2 co
1.36]
s
[
g
y x x
v
θ
θ
2 max
max max max 2 2 2 2
0 0
0 tg tg
2 cos 2 cos
g g x
x x x
v v
θ θ
θ θ
2
0
max
sen
[1 ]
v
x
g
θ
Figura 8
Sustituyendo en la coordenada y de la posición
Para finalizar, diremos que todo el estudio que hemos realizado acerca del movimiento de proyectiles se
fundamenta en tres suposiciones:
- El alcance es lo suficientemente pequeño como para despreciar
la curvatura y la rotación de la Tierra. Efectivamente, si hay que
tener en cuenta la curvatura de la Tierra, la trayectoria deja de ser
parabólica y pasa a ser elíptica debido a las variaciones de la
aceleración en dirección ( ya que siempre apunta al
centro de la Tierra; figura 8). Si hay que tener en cuenta la
rotación, entonces la trayectoria no es completamente plana,
debido a la aceleración de coriolis: se produce una ligera
desviación hacia la derecha en el hemisferio Norte y hacia la
izquierda en el hemisferio Sur.
- La altura máxima es lo suficientemente pequeña como para despreciar las variaciones de la gravedad
con la altura.
- El rozamiento del aire es despreciable (si no lo es, el alcance puede reducirse considerablemente).
3.3. Movimiento circular. Magnitudes angulares
Definimos radián como el ángulo central de una circunferencia cuyo arco tiene una longitud igual al
radio de la misma. De acuerdo con esta definición, la longitud de cualquier arco (que podría ser el espacio lineal
recorrido por un móvil) será igual al ángulo, expresado en radianes, multiplicado por el radio de la
circunferencia.
s = N R [1.39]
De la ecuación [1.8], deducimos, para movimientos circulares (en los que R es constante),
Definimos velocidad angular (T) como la derivada del espacio angular con respecto al tiempo
En el Sistema Internacional se mide en rad/s. Así pues, para movimientos circulares se cumplirá
0
0 0
sen
sen 0 sen
y y y
v
v v gt v gt t
g
θ
==== θ−−−− ⇒⇒⇒⇒ ==== θ−−−− ⇒⇒⇒⇒ ====
2
2 0 0
0 max 0
sen sen 1 1
sen sen
v v
y v t gt y v g
g g
θ θ
θ θ
2 2
0
max
sen
[1 8]
v
y
g
θ
[ ]
d R
ds d
v R
dt dt dt
φ
φ
[1.40]
d
dt
φ
ω =
Para el caso particular del movimiento circular uniforme, un ciclo completo es una vuelta a la
circunferencia y ello supone un espacio angular igual a 2B rad. Así pues, de la ecuación [1.43]
Evidentemente, de las ecuaciones [1.48] y [1.49] deducimos que
b) Movimiento circular uniformemente acelerado.
Definimos la aceleración angular como la derivada de la velocidad angular con respecto del tiempo.
En el Sistema Internacional, la aceleración angular se mide en rad/s
2
. Como el movimiento circular es
plano, ω es un vector de dirección constante y módulo variable, por lo que su derivada, , tendrá su misma
α
dirección (el sentido será el mismo si el módulo de ω aumenta con el tiempo y el opuesto si disminuye). Por
tanto, al ser vectores de idéntica dirección, la ecuación [1.51] también se cumple en módulos; es decir:
El movimiento circular y uniformemente acelerado se define como aquél cuya trayectoria es una
circunferencia y en el que la aceleración angular es constante.
Eliminando el tiempo de las ecuaciones [1.53] y [1.54], se obtiene:
Puesto que " y R son constantes, la ecuación [1.52] nos dice que la aceleración tangencial es constante
en este movimiento. Puesto que T no es constante, la ecuación [1.56] nos dice que la aceleración normal no es
constante y, por tanto, tampoco lo será la aceleración total.
0
0
t t T [1.49]
φ φ π
φ φ ω
ω ω
[1.50]
f
ω
π
[1.51]
d
dt
ω
α =
[1.52]
t
t
d v R d v dv dt a
R Cte a R
dt R dt R R
ω
α ω α
0
0
0
[1.53]
t
d
d dt t
dt
ω
ω
ω
α==== ⇒⇒⇒⇒ ω ==== α ⇒⇒⇒⇒ ω ==== ω ++++α
0
2
0 0 0
0
[1.54]
t
d
d t dt t t
dt
φ
φ
φ
ω==== ⇒⇒⇒⇒ φ ==== ω ++++ α ⇒⇒⇒⇒ φ ==== φ ++++ ω ++++ α
2 2
0 0
ω −−−− ω ==== 2 α φ −−−−φ [1.55]
2
2
[1.56]
n
v
a R
R
= = ω
2 2 2 4
[1.57]
t n
a = a + a = R α +ω
2
2 2
0,034 m s
T T
a R R
T
4.- Sistemas de referencia inerciales y acelerados
Decíamos en el primer epígrafe del presente tema que los conceptos de reposo y movimiento son
conceptos relativos, pues todo depende del sistema de referencia que se considere.
Básicamente distinguimos dos tipos de sistemas de referencia : A) los que se encuentran en reposo
absoluto, o se mueven con velocidad vectorial constante respecto de uno que se encuentre en reposo absoluto ,
que se denominan inerciales , y B) los que se mueven con algún tipo de aceleración , denominados no inerciales.
Ahora bien, si hemos razonado que no existe ni el reposo ni el movimiento absolutos, ¿Qué sentido tienen los
sistemas de referencia inerciales (que, tal y como han sido definidos, son aquéllos que no poseen ningún tipo
de aceleración absoluta)? Para estudiar el movimiento de los objetos ordinarios, escogemos un sistema de
referencia ligado a la Tierra: debido a la rotación de la misma, dicho sistema de referencia no es estrictamente
inercial, ya que tiene una aceleración dirigida hacia el eje de rotación. En el ecuador, dicha aceleración vale
Cuando esta aceleración sea muy pequeña comparada con las demás, puede despreciarse y considerar que
un sistema de referencia ligado a la Tierra es aproximadamente inercial. También podemos compensar la
rotación de la Tierra escogiendo un sistema de referencia que gire respecto de ella con un período de un día: a
pesar de ello, dicho sistema estaría acelerándose debido a la rotación de la Tierra respecto del Sol. Tomando
como período un año y como radio medio 1,49 10
11
m, dicha aceleración vale: a. 5,9 10
! 3
m/s
2
.
Podríamos despreciar esta aceleración si es pequeña frente a las demás. Si queremos más precisión
podríamos escoger un sistema de referencia en reposo respecto del Sol y otras estrellas fijas (proposición de
Newton): la aceleración del Sol correspondiente a la rotación de la galaxia es a. 10
m/s
2
.
Esta aceleración es lo suficientemente pequeña como para poder despreciarla en la mayoría de los casos.
Resumiendo: no existen, rigurosamente hablando, los sistemas de referencia inerciales, si bien siempre es
posible elegir adecuadamente uno de forma tal que, al ser su aceleración despreciable frente a las que se
estudian, sea aproximadamente inercial.
5.- Las transformaciones de Galileo
Son unas expresiones que nos sirven para determinar la posición, velocidad y aceleración de un objeto,
respecto de un sistema de referencia inercial, si las conocemos respecto de otro sistema de referencia, también
inercial.
Así pues, consideremos dos sistemas de referencia, E y E', que se mueven, uno respecto al otro, con
movimiento de traslación uniforme, es decir, ninguno de los dos rota respecto al otro y, por tanto, son dos
sistemas de referencia inerciales (Figura 10).
Sea la velocidad con que E' se mueve respecto de E: esto quiere decir que.
0
OO ' v t
La anterior ecuación vectorial equivale a las tres escalares
0 0
r OO ' r ' r ' r OO ' r v t r ' r v t [1.58]
0 0 0
' * ' * ' [1.58bis]
x y z
x ==== x −−−− v t y ==== y −−−− v t z ==== z −−−− v t
