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El resumen más específico es decir que la vorticidad es una medida vectorial de la rotación local en un fluido. En la predicción y análisis del tiempo atmosférico, nos referimos a la componente vertical de la rotación. Esta medida es útil en los sistemas de tiempo sinóptico y mesoscalar. Por convenio valores positivos van asociados a rotación ciclónica, girando en sentido opuesto a las agujas del reloj. Las rotaciones pueden tomar valores positivos (vorticidad ciclónica) o negativos (vorticidad
Tipo: Monografías, Ensayos
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HUARAZ – 2021
2. OBJETIVOS
Tratar sobre la vorticidad y rotacionalidad en un fluido, como actúan en
los fluidos y de qué manera podemos determinarlas
Enforcarnos en la comparación de dos flujos circulares, usando para
ellos dos flujos diferentes, uno rotacional y uno de vórtice lineal
Ampliar nuestros conocimientos de fluidos, conociendo la vorticidad y
rotacionalidad.
3. VORTICIDAD Y ROTACIONALIDAD
La vorticidad es una propiedad cinemática del fluido. Además, la vorticidad es
una medida microscópica de la rotación de un fluido y es más fácil de tratar que
la circulación. La vorticidad es una cantidad vectorial que se define como el
rotor del campo de velocidades. Como para caracterizar la atmósfera
trabajamos en un sistema de coordenadas que gira es necesario definir la
vorticidad relativa y la vorticidad planetaria, cuya suma es la vorticidad
absoluta.
Ya se definió el vector de razón de rotación de un elemento de fluido. Una
propiedad cinemática relacionada tiene gran importancia para el análisis de los
flujos de fluidos; a saber, el vector de vorticidad se define matemáticamente
como el rotacional del vector de velocidad
.
Vector de vorticidad:
ζ =
∇ x
V = rot
Desde el punto de vista físico, se puede indicar la dirección del vector de
vorticidad mediante la aplicación de la regla de la mano derecha para el
producto. El símbolo ζ que se usa para la vorticidad es la letra griega zeta. El
lector debe de tener en cuenta que este símbolo para la vorticidad no es de uso
general en libros de texto de mecánica de fluidos; algunos autores usan la letra
griega omega (𝝎) en tanto que otros usan esta letra, pero en mayúscula (
).
En este libro se usa ⃗ ω para denotar el vector de razón de rotación (vector
velocidad angular) de un elemento de fluido. Resulta que el vector de razón de
rotación es igual a la mitad del vector de vorticidad:
Vector razón de rotación:
⃗ ω =
∇ x
rot
ζ
Por lo tanto, la vorticidad es una medida de la rotación de una partícula de
fluido. Específicamente, la Vorticidad es igual al doble de la velocidad angular
de una partícula de fluido.
Diferencia entre el flujo rotacional y el irrotacional: los elementos de fluido están
en rotación en una región rotacional del flujo, pero no están en una región
irrotacional de ese flujo.
La rotación de los elementos de fluido se asocia con las estelas, las capas
límites, el flujo a través de turbo maquinaria (ventiladores, turbinas,
compresores, etcétera) y el flujo con transferencia de calor. La vorticidad de un
elemento de fluido no puede cambiar, excepto por la acción de la viscosidad, el
calentamiento no uniforme (gradientes de temperatura) u otros fenómenos no
uniformes. Por consiguiente, si un flujo se origina en una región irrotacional,
continúa siendo irrotacional hasta que algún proceso no uniforme lo altera. Por
ejemplo, el aire que entra por una admisión proveniente de alrededores
tranquilos (quietos) es irrotacional y se mantiene a menos que encuentre un
objeto en su trayectoria o se someta a un calentamiento no uniforme. Si una
aproximación de una región de flujo se puede hacer como irrotacional, las
ecuaciones del movimiento se simplifican considerablemente.
En coordenadas cartesianas, (
i ,
j ,
k )
, (x, y, z), y (u, v, w), se puede desarrollar
como:
ζ =
(
∂ w
∂ y
∂ v
∂ z
)
i +
(
∂ z
∂ w
∂ x
)
j +
(
∂ v
∂ x
∂ u
∂ y
)
k
Si el flujo es bidimensional en el plano xy, la componente z de la velocidad (w)
es cero y ni “u” ni “v” varían con “z”. Entonces, las dos primeras componentes
de la ecuación 4-30 son idénticamente cero y la vorticidad se reduce a:
Flujo bidimensional en coordenadas cartesianas:
ζ =
(
∂ v
∂ x
∂ u
∂ y
)
k
Nota: que, si un flujo es bidimensional en el plano xy, el vector de vorticidad
debe apuntar en la dirección “z” o en la “-z”.
Ejemplo: Determinación de la rotacionalidad en un flujo bidimensional
Considere el siguiente campo estacionario, incompresible y bidimensional de
velocidad:
V =( u , v )= x
2
i +(− 2 xy − 1 )
j … … … … … … … … … … … … …. ( 1 )
¿Es rotacional o irrotacional este flujo? Trace el esquema de algunas líneas de
corriente y argumente sobre ello.
solución: Se debe determinar si un flujo con un campo dado de velocidad es
rotacional o irrotacional y se deben trazar algunas líneas de corriente en el
primer cuadrante.
Gráficas de perfiles de la componente horizontal de la velocidad como función
de la distancia vertical; flujo en la capa límite creciendo a lo largo de una placa
plana horizontal:
Análisis: Supuesto que el flujo es bidimensional, es válida; de donde:
Vorticidad:
ζ =
(
∂u
∂ x
∂ u
∂ y
)
k =(− 2 y − 0 )
k = 2 y
k … … … … … … … … … … … … …. ( 2 )
El flujo de agua por la boquilla de una manguera de jardín ilustra que las
partículas de un fluido se pueden acelerar, inclusive en un flujo estacionario. En
este ejemplo, la velocidad de salida del agua es mucho más elevada que la del
agua en la manguera, lo que implica que las partículas del fluido se han
acelerado, aun cuando el flujo sea estacionario.
En coordenadas cilíndricas: (
e ⃗
r
, ⃗ e
θ
, ⃗ e
z
¿ , ( r , θ , z ) , ( u
r
,u
θ
, u
z
, la ecuación se
puede desarrollar como:
ζ =
r
∂ u
z
θ
∂ u
θ
z
e
r
∂u
r
z
∂u
z
r
e
θ
Para el flujo bidimensional en el plano rθ , la ecuación ( β ) se reduce a:
ζ =
r
∂ ( ru
θ
∂ r
∂ u
r
∂ θ
k
donde se usa
k
como el vector unitario en la dirección z, en lugar de
e
z
.
Nota : que si un flujo es bidimensional en el plano rθ , el vector de vorticidad
debe apuntar en la dirección “z” o en la “-z”.
4. COMPARACIÓN DE DOS FLUJOS CIRCULARES
No todos los flujos con líneas de corriente circulares son rotacionales. Para
ilustrar este punto, se consideran dos flujos bidimensionales incomprensibles y
estacionarios, donde las dos tienen líneas de corrientes circulares en el plano
rθ:
Flujo A (rotación de cuerpo sólido):
u
r
= 0 y u
θ
= ωr
Flujo B: (Vórtice Lineal):
u
r
= 0 y u
θ
k
r
ω , k: constantes
Como en ambos casos la componente radial de la velocidad es cero, las líneas
de corriente son círculos alrededor del origen. En la figura se presentan
esquemas de los perfiles de velocidad para los dos flujos, junto con sus líneas
corriente. Ahora se calcula y compara el campo de vorticidad para cada uno de
estos dos flujos utilizando la ecuación del flujo bidimensional en coordenadas
cilíndricas.
ζ =
r
∂ ( ru
θ
∂ r
∂ u
r
∂ θ
k
Flujo A (rotación de cuerpo sólido):
ζ =
r
∂ ( ω r
2
∂r
k = 2 ω
k
Flujo B: (Vórtice Lineal):
ζ =
r
(
∂r
)
k = 0
Flujo A Flujo B
Líneas de corriente y perfiles de velocidad para:
: Flujo A, rotación de cuerpos sólidos.
: Flujo B, un vórtice lineal.
El flujo A es rotacional, pero el B es irrotacional en todas partes, excepto en el
origen.
No es sorprendente que la vorticidad para la rotación de cuerpo solido sea
diferente a cero. De hecho, es constante con magnitud igual al doble de la
velocidad angular y apunta en la misma dirección. El flujo A es rotacional.
Desde el punto de vista físico, esto significa que cada una de las partículas de
fluido gira conforme da la vuelta alrededor del origen. Como contraste, la
vorticidad del vórtice lineal es idénticamente cero en todas partes (excepto
precisamente en el origen, el cual es una singularidad matemática). El flujo B
es irrotacional. Físicamente, las partículas de fluido no giran conforme dan la
vuelta alrededor del origen.
Si se puede hacer una sencilla analogía entre el flujo A y un carrusel o tiovivo,
y el flujo B y una rueda de la fortuna. Conforme el niño se mueve dando la
vuelta en un tiotivo, también gira sobre sí mismo con la misma velocidad
angular que la del aparato. Esto es análogo a un flujo racional. Como contraste,
el niño en la rueda de la fortuna siempre permanece orientado en una posición
vertical conforme describe su trayectoria circular. Esto es análogo a un flujo
irrotacional.
(a) (b)
ζ =
r
(
∂ ( ru
θ
∂ r
∂ u
r
∂ θ
)
k =
r
(
∂ θ
(
2 πLL
r
))
k = 0
Ya que el vector de vorticidad es cero en todas partes, este flujo es irrotacional.
Líneas de corriente en el plano rθ para el caso de un sumidero lineal.
5. CONCLUSIONES
En base a la monografía llegamos a la conclusión que, para
enfocarnos en el tema de comparación de flujos circulares, tenemos
que tener conocimientos previos o saber lo que es vorticidad y
rotacionalidad
Logramos comprender que la vorticidad es una medida microscópica
de la rotación de un fluido y es más fácil de tratar que la circulación.
La vorticidad es una cantidad vectorial que se define como el rotor
del campo de velocidades.
Determinamos que cada una de las partículas de fluido gira con una
velocidad angular igual a ⃗ ω =− y
k
También sabemos que. si la vorticidad en un punto en un campo de
flujo es diferente de cero, la partícula de fluido que llegue a ocupar
ese punto en el espacio está girando
