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Análisis Vectorial
ANÁLISIS VECTORIAL
ANÁLISIS VECT ORIAL
INDICADORES DE LOGRO:
- Identificar a un vector como un ente físico que es sumamente
útil para la descripción de los fenómenos físicos y asi compren-
der las leyes físicas que los rigen.
- Establecer algoritmos para la adición, sustracción y multiplica-
ción de vectores.
VECTOR
Segmento de recta orientada que sirve para representar a las
magnitudes vectoriales.
y
x
Mó
d
u
l o
|
A
|
A
(Dirección)
Línea de
acción
Sentido M
N
A
= Vector «A»
A
= Módulo del vector «A»
M = Origen del vector
N = Extremo del vector
TIPOS DE VECTORES:
a) V. Codirigidos. Poseen igual dirección:
A B
b) V. Contrariamente dirigidos. Poseen direcciones opuestas.
A B
c) V. Ortogonales. Son aquellos cuyas direcciones forman 90°:
A B
IGUALDAD DE VECTORES
A B
A B
A B
OPUESTO DE UN VECTOR
Sea
B
el opuesto de
A
, entonces:
A B
B A
A B
OPERACIONES CON VECTORES.
Suma de vectores
Vector resultante ( R )
R : Es aquel vector que reemplazará a dos o más vectores, causando
el mismo efecto.
B
A
B
A A B
R
R = A + B
máx
B
A
R
R = A - B
mín
B
A
R = A + B
2 2
B
A
B
A
R
* Para " " cualquiera:
R = A + B
2 2
+ 2.A.B.cos
B
A
R
Casos especiales (Para dos vectores de igual módulo):
x
R
x
R = x 3
x
x
R
R = x 2
x
x
R
R = x
Método del polígono
B
A
A
B
R
R = A + B
Caso especial
"poligono cerrado"
R = 0
A
B
C
D
Método de las componentes rectangulares.
Paso # 1: Los vectores a sumar se disponen partiendo del
origen de coordenadas.
Paso # 2: Los vectores inclinados respecto a los ejes se reem-
plazan por sus componentes rectangulares.
Paso # 3: Se calcula la resultante parcial en el eje X, así como
la resultante parcial en el eje Y, para esto se suman
algebraicamente las componentes en cada eje.
R =
x
R =
y
eje x eje y
vectores vectores
Paso # 4: Se calcula finalmente el módulo de la resultante, así:
Resultante = R + R x y
2 2
Análisis Vectorial
¿Qué es el vector unitario?
Es un vector cuyo módulo es la unidad. Para un vector dado, se
define matemáticamente como el cociente entre dicho vector y el
módulo de este.
u
A
Es decir:
A
u
A
O b s e r v a c i ó n :
Todo vector puede expresarse en función de su módulo y de su
vector unitario.
Vector V.Unitario Módulo
A A. u
Vectores unitarios cartesianos
Son aquellos asociados a los ejes positivos del sistema de coordenadas
cartesianas. Se les denota por: i j, k
* i j k 1
i j k
x
y
z
j
k
i
Cualquier vector en éste sistema podrá ser expresado en función de
estos vectores unitarios. Ejemplos:
- En el plano 2. En el Espacio
A = A
x
i + A
y
j ..... (1)
A
A
y
A
x
x
y
A = A
x
i
A
y
j
A
z
k ..... (2)
A
x
A
y
A
z
y
x
A
z
La s ex pre si on es (1) y (2) s on llamados EXP RESIONES
VECTORIALES del vector
A
Propiedades de los vectores espaciales
x y z
A A A
2 2 2
x y z
A A A A
3.- Cosenos directores:
cos
x
A
A
cos
y
A
A
cos γ
z
A
A
cos cos cos 1
Los vectores también pueden expresarse en forma de coorde-
nada es decir:
k (Ax;Ay;Az )
j A
i A
A A
x y z
¿Qué es el producto de vectores?
Es una operación en la que de dos vectores dados, puede resultar un
número o un vector; esto quiere decir que se tendrá dos clases de
producto.
a) Producto escalar:
El resultado es un número real. Se define así:
A
B
Si los vectores se expresan en forma de coordenada, entonces el
producto escalar también puede hallarse así:
x x y y z z
x y z x y z
A B AB AB A B
A B (A;A;A) (B;B;B )
A B|A||B|cos
Siendo:
: ángulo entre los vectores A y B
b) Producto vectorial
El resultado es un vector perpendicular al plano formado por
los dos vectores. Se define así:
A
B
A
x
B
A xB |A||B|sen. ˆ
k
j (AB BA)
i (AB BA)
AxB (AB BA)
B B B
A A A
k
j
i
Ax B
y z y z x z x z x y x y
x y z
x y z
En el sistema levógiro debes tener en cuenta que:
i j k
i k j
j i k
j k i
k j i
i i 0
j j 0
k k 0
i
j
k
Ejemplo 01
Sabiendo que los vectores tienen igual módulo a 4( 3 1 )m. Determina
la magnitud de la proyección del vector suma sobre la recta «L».
P
Q
Cinemática I
x
y
V 1
V 2
V 3
a 1
a 3
a 2
x
y
V 1
V 1
V 1
V 2
V 2
V 2
a m
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU)
Un móvil posee MRU, si su velocidad es constante. Esto supone que
la trayectoria es rectilínea y que su rapidez se mantiene siempre igual.
Cuando esto ocurre el móvil experimenta: «desplazamientos iguales
en tiempos iguales».
Puesto que la trayectoria es rectilínea y de una misma dirección, esto
equivale a decir que el móvil recorre desplazamientos iguales en
intervalos de tiempos iguales(t).
LEYES DEL MRU:
V
=constante
d
V t
1.- v=d/t
2.- d=vt
3.- t=d/v
Tiempo de encuentro:
e
d
t
v v
Tiempo de alcance: a
d
t
v v
Tiempo de cruce:
1 2
c
1 2
L L
t
V V
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE
VARIADO (MRUV)
En este movimiento el móvil experimenta cambios iguales en su
velocidad en intervalos de tiempo también iguales. Esto ocurre por
que el móvil está afectado de una aceleración constante.
TIPOS DE MOVIMIENTO VARIADO
a) Mov. acelerado. En este caso la velocidad aumenta de valor
dado que:
v a
b) Mov. desacelerado: En este caso la velocidad disminuye de va-
lor dado que:
v a
ECUACIONES ESCALARES
En estas ecuaciones no se consideran las características vectoriales
del desplazamiento, velocidad y aceleración:
a
=constante
f o
2 2
f o
2
o
o f
m
v v at
v v 2ad
a( ) m ovim iento acelerado 1
- d v t at a( ) m ovim iento desacelerado 2
v v d
- v
2 t
NÚMEROS DE GALILEO
a
t t t
k 3k 5k
V=
(MRUA)
a
t t t
5k 3k k
V
V =
F
(MRUD)
En ambos casos si t= 1 s, entonces k=a/2 ¡No lo olvide!
GRÁFICAS DEL MOVIMIENTO
GRÁFICAS DEL MRU
- Velocidad (V) vs Tiempo (t)
La gráfica es una recta paralela al eje del tiempo.
t t(s)
V
V(m/s)
Área=d
Note que la velocidad permanece constante en todo el movimiento.
Para un determinado tiempo (t) el área del rectángulo nos da la distancia.
- Posición (x) vs tiempo (t)
f
o
t
t(s)
X
X
x(m)
Análisis: La gráfica nos muestra el alejamiento del móvil del origen de
coordenadas hacia el eje positivo de las «x».
Propiedad:
Tg = velocidad
Demostrando: de la figura se tiene:
F O
x x d
Tan V
t t
GRÁFICAS DEL M.R.U.V.
- Aceleración (a) Vs Tiempo (t)
La aceleración es constante por lo tanto la gráfica es una línea paralela
al eje del tiempo.
t t(s)
a
a(m/s )
Área= V
2
En esta gráfica el área sombreada nos da el cambio de velocidad que
experimenta el móvil en un intervalo de tiempo (t).
De la figura se tiene:
Área = a.t
V
f
- V
o
= a.t
Por lo tanto: Área = Cambio de velocidad
- Velocidad ( V
) Vs tiempo (t)
f
o
t
t(s)
v
v
V(m)
A
A
1
2
Cinemática II
En este caso la velocidad aumenta uniformemente desde V o
hasta V f
El área debajo la gráfica es numéricamente igual a la distancia:
Demostrando: De la gráfica se obtiene:
Área =A 1
(rectángulo) + A 2
(triángulo rec.)
Al segundo elemento de la ecuación multiplicamos y dividimos por "t":
f o
o
a
2
o
Dis tan cia
1 (V V )
área V .t .t.t
2 t
área V .t a.t
área DISTANCIA
- Además se puede notar que:
f o
Aceleración
V V
Tg ( ) Tg Aceleración
t
- Posición(x) Vs Tiempo (t)
La gráfica es una parábola, debido a que la posición de la partícula
en movimiento varía con el cuadrado del tiempo.
2
0 0
x x v .t at
Movimiento acelerado (aumento de velocidad).
o
t
t(s)
x
x(m)
Tg =Velocidad, para el instante «t».
Movimiento desacelerado.
o
t t(s)
x
x(m)
Recta tangente
Tg = Velocidad….. Para el instante (t)
ECUACIONES VECTORIALES DEL M.R.U.V.
Permiten generalizar la descripción matemática del movimiento,
estas son:
V V a(t t )
f o o
f o o o o
a(t t)
r rV(tt )
ECUACIÓN GENERAL DEL MOVIMIENTO
RECTILÍNEO
2 3 4 n
o o
o O
x x v t a r bt c t ... zt
2 6 24 n!
donde z es la magnitud física que se mantiene constante en el
tiempo.
Ejemplo:
Un estudiante se encuentra a 3 m del centro de una ventana de
1 m de ancho y un bus, que experimenta M.R.U., se mueve por
una pista paralela a la ventana a una distancia de 87 m. Si el bus
de 10 m de longitud fue observado por el estudiante durante 8
s, determina qué valor tiene la velocidad del bus (en km/h).
Resolución:
Interpretamos gráficamente el problema(vista aérea):
1m
3m
87m
90m
d
10m
d
Bus
V
Por semejanza de triángulos se tiene:
d 1
d= 30 m
Como el bus demoró 8 s, se tiene:
Bus
d 30 10
V 5m / s
t 8
Que al convertirlo a km/h se tiene: V=
18 km
- 18
5 h
CINEMÁTICA II
MOVIMIENTO VERTICAL DE CAÍDA LIBRE (M.V.C.L)
- Actúa únicamente la fuerza de gravedad, el cual origina una
aceleración constante denominada aceleración de la gravedad.
- No se considera la forma, tamaño ni la masa del cuerpo tampoco
la viscosidad de aire.
- La caída se realiza en el vacío en cercanías de la superficie de la
tierrra en donde consideramos el valor promedio de la grave-
dad g=9,81 m/s
2 .
* | V | | V |
| V | | V |
* t t
t t
V
3
t
t
t
t
V
2
V
1
V
4
V
5
V = 0
3
Cinemática II
V
MRU
d
V
t
gt =h
2
L
Ejemplo
Desde un punto A se lanza una piedra con un ángulo de elevación de 37°
impactando con el plano inclinado a 36 m del punto "A". Determina con
qué rapidez inicial fue lanzada la piedra (g = 10 m/s
2 ).
a) 4 m/s b) 9 m/s c) 12 m/s d) 10 m/s e) 3 m/s
Resolución:
Desdoblamos el Movimiento Parabólico en M.R.U. y Caída Libre.
37°
53°
53°
d=vt
h=
gt
2
d=36 m
(A)
(B)
El triángulo es notable de 37° y 53°, luego se tiene:
4t
2 = 36
t= 3 s
También se observa del triángulo:
d= Vt = 3t
2
V.3 = 3.
2
V= 9 m/s
MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORME (M.C.U.)
Cuando una partícula describe una circunferencia de manera que
recorre arcos iguales en tiempos también iguales, diremos que posee
un movimiento circunferencial uniforme. Este movimiento se caracteriza
por que la velocidad angular es constante.
V
V
V
a
c
a
c
a
c
S
S
S
W=cte
- Velocidad angular * Velocidad tangencial
t
t
rad
rad/s
s t t
m
m/s
s
V
S
S
V
Periodo (T)
Es el tiempo empleado en una vuelta.
2
T
En el S.I., el período se expresa en segundos (s).
Frecuencia (f)
t
N
f
tiempo
númerode vueltas
f
Velocidad tangencial (V t
Su módulo es constante durante todo el M.C.U.
t
V .R
Donde es la velocidad angular con que gira el radio vector (
r
) que
sigue a la partícula, comprobándose además que los vectores que
representan a t
V
, r
y
son perpendiculares entre sí, tal como se
puede observar en la figura.
Unidades S.I.: (
) = rad/s, (r) = m, (v t
) = m/s
Eje de giro
r
s
t
v
t
O
Aceleración centrípeta ( c
a
Modifica la dirección de la velocidad tangencial.
. r
r
v
| a |
t
c
(m/s
2 )
MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORMEMENTE
VARIADO(M.C.U.V.)
Es aquel movimiento alrededor de un circunferencia en el cual la
aceleración angular y el módulo de la aceleración tangencial permane-
cen constante.
* Aceleración angular ( ) y aceleración tangencial (
T
a
w
o
w
F
V
o
V
F
T
a .R (m/s
2 )
(rad/s
2 )
- Aceleración lineal o total ( a
Es la suma vectorial de las aceleraciones tangencial y centrípeta.
V
a T
a c
a
Estática
ESTÁTICA
En medidas angulares En medidas lineales
f o
w w t *
f o
w w 2
o 2
w t t
o f
w w
t
Usar: (+) MCUV acelerado
(- ) MCUV desacelerado
TRANSMISIÓN DE MOVIMIENTO CIRCULAR
a. Fajas y Engranes
A
B
C
D
VA = VB V C = V D
A A B B
w R w R C C D D
w R w R
b. Cuerpos rígidos por un eje.
A A
= =
V
A
V
B
A
B
A B
A B
V V
R R
Ejemplo
Un tocadiscos gira a 90rpm. Halla su velocidad angular en radianes
por segundo y calcula superiodo y frecuencia
Para pasar de revoluciones por minuto a radianes por segundo,
solo tenemos que recordar que unavuelta entera (360º, una
revolución) equivale a 2 radianes (o que media vuelta, 180º,
son radianes). Con eso ya podemos hacer regla de tres:
Ya tenemos la velocidad angular (
). El periodo (T) se saca
mediante la fórmula:
La frecuencia (f) es la inversa del periodo:
INDICADORES DE LOGRO:
- Identificar las condicones para que un cuerpo se encuentre en
equilibrio.
- Encontrar el C.G de los cuerpos homogéneos y compuestos.
- Discriminar los distintos tipos de fuerza para establecer el equilibrio
de los cuerpos.
E S T Á T I C A
Es parte de la mecánica que estudia al sistema de fuerzas que actúan
sobre un cuerpo material haciendo que estos lo mantengan en
equilibrio mecánico.
PRIMERA LEY DE NEWTON
Llamada Ley de la Inercia
Si un cuerpo se halla en reposo; si está realizando M.R.U., continuará
con M.R.U a no ser que sobre él actúe una fuerza y modifique dicho
estado mecánico.
Equilibrio estático
Equilibrio cinético
V=
V=cte (M.R.U.)
a=
TERCERA LEY DE NEWTON
Llamada Ley de Acción y Reacción
Si un cuerpo A ejerce una fuerza sobre un cuerpo B (una "acción"),
entonces, B ejerce una fuerza sobre A (una "reacción"). Estas dos
fuerzas tienen el mismo módulo pero dirección opuesta y actúan
sobre diferentes cuerpos.
Fuerza
Antes de estudiar las leyes de la estática debemos conocer el concepto
de fuerza. La fuerza es la medida vectorial de la intensidad de la
interacción entre dos o más cuerpos.
a) FUERZA GRAVITATORIA (F g
Se representa como un vector dirigido hacia abajo.
M
T
R
T
C.G.
F
G
h
C.G.
F
G
h
w w
s
e
n
w
c o
s
G
F m.g
m=masa (kg)
g=aceleración de gravedad (m/s
2 )
F
G
=fuerza gravitatoria (N)
b) FUERZA DE TENSIÓN (
T
Se da en todos los cuerpos cuando son sometidos a estiramientos
por agentes externos, pero es más frecuente encontrarlo en las
cuerdas haciendo un corte imaginario en él; esta fuerza siempre
ingresa al corte. Es una fuerza que se da a nivel molecular cuando
se intenta separar a las moléculas de un cuerpo.
c) FUERZA DE REACCION NORMAL (F N
, N o R)
Aparece en el interior de dos superficies en contacto, se le grafica
por un vector perpendicular al plano donde actúa, empujando
al cuerpo.
Estática
SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO
Un cuerpo se encuentra en equilibrio rotacional cuando el momento
resultante respecto a cualquier punto, dentro o fuera del cuerpo, es nulo.
EQUILIBRIO
ROTACIONAL
M
o
RES
= 0 ó
M(+)= M( )
M = M
M
o
RES = 0
EQUILIBRIO MECÁNICO
Un cuerpo o sistema estará en equilibrio mecánico, si y solo si sobre
el cuerpo o sistema se cumple simultáneamente el equilibrio de
traslación y de rotación.
EQUILIBRIO
MECÁNICO
EQUILIBRIO
DE TRASLACIÓN
( F
R
= 0 ó a = 0 )
EQUILIBRIO
DE ROTACIÓN M
o
RES
= 0 ó = 0
TEOREMA DE LAS TRES FUERZAS
Cuando sobre un cuerpo actúan 3 fuerzas y no son paralelas ni
colineales entonces estas deben concurrir en un solo punto (de
hecho que se pueden prolongar sus líneas de acción y éstas son las
que se pueden cortar en un sólo punto).
Ejemplo:
La barra homogénea de 8 kg, está a punto de deslizar. Determina la
reacción de la pared rugosa (g=10 m/s
2 ).
Liso
Rugoso
Resolución:
N
R
80N
37° 37°
Método del triángulo
F =0 --- R=50N
40N
40N
37°
37°
F N
R=50N
CENTRO DE GRAVEDAD
Es un punto interior o exterior a un cuerpo donde se supone concen-
trado todo el peso del cuerpo.
El centroide, el centro de gravedad y el centro de masa pueden
coincidir bajo ciertos parámetros, estos son cuando el cuerpo es ho-
mogéneo y del mismo espesor. Recuerda que el centroide es estricta-
mente geométrico y el centro de gravedad asi como el centro de masa
son características físicas del cuerpo.
Para el cálculo del centro de masas usaremos el teorema de Varignon
y se dividirá al cuerpo en pequeñas masas de tal modo que su centro
de masa de cada parte sea conocida y luego aplicamos.
CENTRO DE GRAVEDAD
Abscisa (
X
) Ordenada (
Y
1 1 2 2 n n
1 2 n
x .w x .w ... x .w
X
w w .. w
1 1 2 2 n n
1 2 n
y .w y .w ... y .w
Y
w w .. w
CENTRO DE MASAS
Abscisa (
X
) Ordenada (
Y
1 1 2 2 n n
1 2 n
x .m x .m ... x .m
X
m m .. m
1 1 2 2 n n
1 2 n
y .m y .m ... y .m
Y
m m .. m
CENTROIDES
De volumen (por comodidad trabajemos en el plano)
Abscisa (
X
) Ordenada (
Y
1 1 2 2 n n
1 2 n
x .V x .V ... x .V
X
V V .. V
1 1 2 2 n n
1 2 n
V .m V .m ... V .m
Y
m m .. m
De superficie
Abscisa (
X
) Ordenada (
Y
1 1 2 2 n n
1 2 n
x .A x .A ... x .A
X
A A .. A
1 1 2 2 n n
1 2 n
y .A y .A ... y .A
Y
A A .. A
De línea
Abscisa (
X
) Ordenada (
Y
1 1 2 2 n n
1 2 n
x .L x .L ... x .L
X
L L .. L
1 1 2 2 n n
1 2 n
y .L y .L ... y .L
Y
L L .. L
Para cuerpos homogéneos el C.G. coincidirá con el centro geométrico
del cuerpo.
CENTRO DE GRAVEDAD DE CUERPOS MÁS USUALES
De líneas
Figura Representación X
i Y
i
Barra
homogénea
C.G.
x
L
L/
Semicircun-
ferencia
y
x
y
x x
y
Eje de
simetría
R
R
2R
Cuarto de
circunferencia
y
x x
y
R
C.G.
C.G.
2R
2R
Sector circun-
ferencial
y
x
x
R
C.G.
R
Rsen
De supercficies y volúmenes
Figura Representación X
i Y
i
Rectángulo
b/ h/
Triángulo
rectángulo
y
x x
y
Eje de
simetría
R
b
h
Semicírculo
y
x x
y
R
C.G.
C.G.
4R
Cuadrante de
círculo
2Rsen
Sector
Circular
y
x x
R
C.G.
R
y
C.G. x
y
x
C.G.
h
b y x x y b
h
R
4R
4R
Estática
De Volúmenes
Cilíndro y prisma
y
x
z
h
CG
x
y
h
CG
z z
h
z
Cono y pirámide
z
z
x
y
CG
h
z
x
y
CG
h
z
h
z
Semiesfera
R
y
x
z
CG
z
3R
z
Ejemplo 01
Determinar el peso que debe tener la persona sentada en el extremo
derecho, para que el sistema pueda estar en equilibrio. Además la
persona sentada en el extremo izquierdo pesa 540 N.
(No considere el peso de la barra AB)
AO = 1,2 m; OB = 1,8 m
O
A B
RESOLUCIÓN:
· Grafiquemos el diagrama de cuerpo libre de AB.
540 N W
B
A B
· Aplicando la segunda condición de equilibrio con respecto
al punto «O»:
0
F
O
M
W N
B
M ( 540 N)(AO)(W)(OB) 0 B
F
O
(540 N) (1,2) = W
B
(1,8m) ’!
Ejemplo 02
El sistema mecánico mostrado carece de fricción donde la barra es
homogénea y el bloque tiene masa de 1,5 kg. Sabiendo que PQ = QR,
determina el módulo de la fuerza en el apoyo P (g = 10 m/s
2 ).
P
Q
R
a) 35 N b) 40 N c) 29 N d) 32 N e) 20 N
Resolución:
Como Q es punto medio de la barra entonces AQ es una media-
na que en el caso de un triángulo rectángulo se cumple que:
PQ=QR=AQ, esto implica que el triángulo AQR es isósceles por
lo tanto el ángulo RAQ es 37º.
Luego descomponemos la tensión en componentes rectangula-
res. Como nos piden la reacción en el punto «P», le asignamos
el valor de 5F por el ángulo de 37º.
Q
N
=
5
F
P
N R
T
1 5 N
W
15N
T=15N
3F
4F
A
P
R
37º 37º
53º 37º
53º
12N
9N
Para el equilibrio de la barra trabajamos en el eje X-X exclusiva-
mente, puesto que la primera condición de equilibrio se puede
aplicar en forma independiente a cada eje, así:
x
F 0 ( ) ( )
3F = 12
F= 4N
Como dimos por comodidad N P
=5F, la reacción en P será:
N
P
= 5.4 = 20 N ………………..Rpta
Ejemplo 03
Determina las coordenadas del centro de gravedad de la barra
homogénea que a continuación se muestra:
x
y
2m
4m
a)
b) (1;2) c) (4;1) d)
e)
Resolución:
Encontramos la abscisa y la ordenada del C.G. de las dos longi-
tudes que se muestran L 1
=2m y L 2
=4m.
x y L
L
1
L
2
CG (0;1)
1
CG (2;0)
2
y
x
L =2m 1
L =4m 2
Utilizando La fórmula se tiene:
1 1 2 2
1 2
x .L x .L
x
L L
x
x
1 1 2 2
1 2
y .L y .L
y
L L
y
y
Luego el C.G. es:
C.G.( ; )
Dinámica
Caso especial
a
a
a
1
2
o
=a
=2a
La aceleración del
centro es la mitad de
la aceleración del extremo.
II. Aplicaciones al movimiento circular
Al analizar un movimiento curvilíneo cualquiera, observaremos que la
velocidad tangencial cambia continuamente de dirección; ello
presupone la existencia de una aceleración, la cual solo podrá justificarse
si existe una fuerza resultante que la produce. Esto nos conduce a la
aceptación del siguiente principio:
"Ningún cuerpo con movimiento curvilíneo
se encuentra en equilibrio".
Así pues, los movimientos de trayectoria curva se deberán analizar
como un caso especial de la dinámica, a la que denominaremos
dinámica circular, para lo cual la segunda ley de Newton se reformula
utilizando los conceptos de aceleración y fuerza centrípeta.
DINÁMICA CIRCUNFERENCIAL
Es la parte de la física que estudia las condiciones que debe cumplir
un cuerpo para que se encuentre en movimiento circunferencial.
En este caso se aplica la segunda ley en los ejes "Radial" y "Tangencial"
en forma separada.
ACELERACIÓN CENTRÍPETA
Llamada también aceleración normal y es perpendicular a la velocidad
tangencial, su función es cambiar de dirección y sentido a la velocidad,
provocando así un movimiento circunferencial. La aceleración
centrípeta siempre está dirigida hacia el centro de la circunferencia.
2
2
c
V
a W .R
R
= Aceleración centrípeta
= Velocidad tangencial
= Velocidad angular
= Radio de la circunferencia
a
C
R
FUERZA CENTRÍPETA
Es una fuerza resultante de todas las fuerzas radiales, que genera la
aceleración centrípeta y siempre va dirigida hacia el centro de
curvatura.
Por la segunda ley de Newton:
F
T
F
C
a T
a C m
R
Eje
tangencial
Eje Radial
W
V
Se observa las fuerzas
c T
F y F
que es la resultante en dirección
radial y tangente respectivamente, luego la segunda ley de Newton
se aplica asi;
Eje radial
cp cp
F ma
=m
2
V
R
=m
2
W .R
cp ingresan salen del
al centro al centro
(radial) (radial)
F F F
Eje tangencial
F T maT
En dirección tangente se aplicará para movimientos variados. En el
MCU la T
a
es nula por lo tanto
T
F
GRAVITACIÓ N UNIVERSAL
Introducción
Desde tiempos muy remotos el movimiento de los planetas fue motivo
de estudio y formulación de diversas teorías que trataban de explicarlo.
Entre las más importantes tenemos la Teoría Geocéntrica de
«Ptolomeo» quien sostenía que la Tierra era el centro del Universo.
Otra teoría importante es la de Copérnico llamada Heliocéntrica por
que sostenía que el Sol era el centro del Sistema Solar y que las
órbitas de los planetas eran circulares. Durante mucho tiempo ambas
teorías fueron discutidas sin que pudiera aprobarse ninguna de las
dos.
Un astrónomo llamado Ticho Brahe tomo datos sobre el movimiento
de los planetas por más de 20 años sin poder determinar cual era la
verdadera. Fue un discípulo suyo el que formuló las siguientes leyes:
LEYES DE KEPLER
1. LEY DE LAS ÓRBITAS:
El movimiento de los planetas es alrededor del Sol describiendo
órbitas elípticas en uno de cuyos focos se encuentra el Sol.
2. LEY DE LAS ÁREAS:
La línea que une el Sol con un planeta (radio vector) describe
áreas iguales en tiempos iguales.
Sol
A
A
(A)
(B)
(D)
C
t
t
En general se tiene:
1 2
1 2
A A
t t
3. LEY DE LOS PERÍODOS:
Los cuadrados de los períodos de revolución del movimiento de
los planetas alrededor del Sol son directamente proporcionales a
los cubos de sus distancias al Sol.
M
R
2
R
1
2 2
1 2
3 3
1 2
T T
K(constante)
R R
T = Período (tiempo empleado en una vuelta en torno al Sol)
R = Radio medio de orbita
LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Fue enunciada por Isaac Newton y establece que:
«La fuerza de atracción entre dos masas cualquiera en- cualquier
parte del universo -es directamente proporcional al producto de las
masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que
separa a sus centros geométricos»
Dinámica
r
F F
m
1
m
2
1 2
2
Gm .m
F
r
Donde:
Unidades S.I.
F= Fuerza gravitacional (N)
G= Constante de gravitación universal: 6,67.
2 / kg
2
m 1
y m 2
= masas (kg)
r = distancia entre centros de las masas (m)
Observaciones
- Las masas se consideran puntuales cuando sus dimensiones son
pequeños en comparación con la distancia que las separa.
- Toda esfera maciza y homogénea puede considerarse como una
masa concentrada y puntual en su centro.
- En todo cascarón esférico no existe fuerza de gravitación sobre
una pequeña masa que se encuentre en su interior por lo tanto
no existe campo gravitacional en el interior del cascarón.
F 0
g 0
m
¿Cómo podemos determinar la aceleración de la gravedad en la
superficie, en el interior y en puntos fuera de un planeta?
Para ello utilizamos la ley de gravitación universal de Newton, el cual
actuaría sobre una masa puntual y seguidamente aplicamos la 2da
Ley de Newton; tal como mostramos en cada uno de los casos:
a) En la superficie del planeta(g A
b) A una altura «h» sobre la superficie del planeta (g h
h
M
F
m
R
2
h A
R
g g
R H
c) En el interior del planeta.
M
x
C
m
x
El cascaron no ejerce ninguna fuerza gravitacional sobre «m», solo
se tiene la fuerza gravitatoria ejercida por la esfera de radio «x», así:
F = peso (x)
(x)
2 c
GM m
mg
x
g C =
(x)
2
GM
x
r (x)
=x
(considerando a la tierra como un planeta de densidad uniforme)
(x)
(x)
M
M
V V
(x)
3 3
M
M
x R
M
(x) =
3
3
Mx
R
En (1):
3
3
int 2
Mx
G
R
g
x
g C
2
GM x
R R
o
int
g .x
g
R
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA (U)
Es el trabajo que se debe realizar para mover una masa «m» desde el
infinito hasta un punto del campo gravitacional de una esfera o
planeta de masa «M».
r
M
F
m
Si: E = 0 Velocidad de escape.
Problema 1) Sobre un cuerpo actúa una fuerza constante de
módulo 50 N mediante la cual adquiere una aceleración de módulo
1,5 m/s², determinar:
a) La masa del cuerpo.
b) Su rapidez a los 10 s.
c) La distancia recorrida en ese tiempo.
Desarrollo
Datos:
a = 1,5 m/s²
F = 50 N
t = 10 s
SOLUCIÓN:
a)
F = m.a
m = F/a
m = 50 N/1,5 m/s²
m = 33,33 kg
b) Como parte del reposo:
v = a.t
Trabajo, Potencia y Energía
El nombre de Joule se adoptó en honor del físico inglés James Prescott
Joule (1818-1869), cervecero de profesión, pero a quien su
ac omodada posición ec on ómica , pe rmitió h ac er no ta bles
investigaciones en la física.
Al ubicar un eje de coordenadas (eje x) en la dirección del
movimiento, se puede observar como varía “F” en relación a su
posición “x” para luego graficar “F” vs “X”.
En nuestro caso, F es constante y presenta el mismo valor en cualquier
posición, siendo su gráfico (F vs X) el siguiente.
Al calcular el trabajo obtenemos:
1 2
F
x x 2 1
desplazamiento
W = F x - x
Al calcular el área bajo la gráfica obtenemos:
Área: 2 1
F x – x.
¡El área bajo la gráfica “F vs X” es numéricamente igual al
trabajo!
1 2
F
x x
W Área
Para una fuerza no constante
Si la fuerza es de módulo variable pero de dirección constante,
entonces, el área bajo la gráfica “F vs X” sigue siendo igual al trabajo,
aunque en este caso puede que el área no sea de una región
conocida.
En este caso el módulo de la fuerza toma distintos valores para cada
posición, sin embargo, el área bajo la curva "F vs X" sigue siendo
igual al trabajo.
variable
F
x x
W = Área
Para el caso de una dependencia lineal de “F” respecto de “X” se
puede utilizar el concepto de fuerza media.
1 2
2 1
media
F + F
Área = x - x
Área = F. d
TRABAJO TOTAL O NETO (W
NETO )
El trabajo neto que se realiza sobre un cuerpo sobre el cual actúan
varias fuerzas es la sumatoria de los trabajos realizados por cada
fuerza independientemente de las demás:
F
F
F
A B
d
W W W W ...
F
A B
F
A B
F
A B
NETO
A B
Nótese que esta suma es escalar, los sumandos pueden ser positivos,
negativos o cero, lo mismo ocurre con el resultado.
También se puede hallar el trabajo neto como el trabajo de la fuerza
resultante, así, si:
R 1
F = F +F + F +...
Nótese que es una suma vectorial, para obtener
R
F hay que tener
bastante cuidado con las direcciones y los módulos de cada fuerza.
F
R
d
w F.d Cos
w w
R
NETO
A B
R
F
A B
NETO
A B
Si R
F 0 (cuerpo en equilibrio)
NETO
W = 0
- Si el movimiento del bloque es uniforme (movimiento a
rapidez constante).
F V
R
NETO
W = 0
Por propia experiencia sabemos que necesitamos fuerza para alterar la
rapidez de un objeto, para vencer el rozamiento, para comprimir un
resorte, para moverse en contra de la gravedad; en cada caso debe
realizarse trabajo. En tal sentido, el trabajo es vencer siempre una
resistencia. Luego, entendemos por trabajo a la facultad que tienen las
fuerzas para generar movimiento venciendo siempre una resistencia,
sea esta una fuerza o bien la propia inercia de los cuerpos, y solo habrá
trabajo sobre un cuerpo si este se desplaza a lo largo de la línea de
acción de la fuerza aplicada.
POTENCIA
La definición de trabajo no mencionó el tiempo empleado, por ejemplo,
si se quiere desplazar un bloque una distancia horizontal de 5 m
mediante una fuerza horizontal de 10 N el trabajo que se tiene que
desarrollar sería:
F W = F. d = 10 N 5 m = 50 J independientemente
de cuanto tiempo nos tardemos, pues podría ser 1 s, 1 día, 1 año, etc.
Pero muchas veces necesitamos conocer la rapidez con la cual se
efectúa un trabajo, esto se describe en términos de potencia que es
el trabajo efectuado en la unidad de tiempo, esto es:
m
Trabajo F. d
Potencia media = F. V
Tiempo t
Eficiencia de una máquina ( )
Toda máquina necesita de un suministro de potencia para realizar
Trabajo, Potencia y Energía
algún tipo de trabajo, esto es, para desarrollar una potencia útil. Así
se define la eficiencia de una máquina como la razón entre las potencias
útiles a la entregada a la máquina.
útil
entregada
P
P
Note que la eficiencia es un número adimensional y que < 1 pues:
P
entregada
>P
útil
Esto es, toda la potencia que se entrega a una máquina no es
aprovechada íntegramente por esta para realizar trabajo, pues hay
pérdidas por rozamiento que normalmente se presencia en forma de
calor (la máquina se calienta).
entregada útil perdida
P P P
Observación
La potencia se suele expresar también en términos porcentuales esto
es:
útil
entregada
P
P
ENERGÍA MECÁNICA
Capacidad para desarrollar trabajo mecánico, esto es transmitir mo-
vimiento mecánico.
Energía cinética (E K
Es la energía asociada al movimiento de los cuerpos.
K
E mV
Donde:
m : masa del cuerpo (en kg)
V : rapidez del cuerpo (en m/s)
E
K
: energía cinética (en J)
Energía potencial (Ep)
Es la energía que tienen los cuerpos y que está asociada a la interacción
con otros cuerpos, esto es, depende de su ubicación o posición
frente a otros cuerpos. Estudiaremos las siguientes clases de energía
potencial.
- Energía potencial gravitatoria (Epg)
Si dicha posición es una altura respecto a la tierra o a cualquier
nivel de referencia, donde se asume dicha energía como nula.
pg
E mgh
Donde:
m: masa del cuerpo (en kg)
h: altura (en m)
g: aceleración de la gravedad (en m/s
2 )
E
pg
: energía potencial gravitatoria (en J)
Observación:
La "E pg
" es relativa; pues depende del nivel de referencia que se
tome como cero.
- Energía potencial elástica (E pe
Si dicha posición es una desviación respecto a una posición de
equilibrio, la presentan comúnmente los cuerpos elásticos cuan-
do son deformados.
K
x
Sin
deformar
Ep Kx
Donde:
x: deformación del resorte (en m).
K: constante de fuerza del resorte en (N/m).
E
pe
: energía portencia elástica (en J).
En conclusión
La energía mide las diversas formas de movimiento e interacción de
las partículas que conforman un sistema.
RELACIÓN ENTRE EL TRABAJO Y LA ENERGÍA
El joven realizó trabajo (+) sobre el bloque y este adquirió energía
cinética.
M.A.S. y Ondas Mecánicas
- Velocidad (
VMAS
Es positiva si se dirige hacia la derecha y negativa si se dirige
hacia al izquierda cuando el movimiento se realiza sobre el eje x
- x (en realidad depende de la posición de equilibrio(P.eq.) y el
plano de oscilación.
2 2
V max A cos( t ) V= A x
max
v A
La rapidez máxima se da en la posición de equilibrio.
- Aceleración (a MAS
Es proporcional al desplazamiento:
2
a A sen( t )
2
max
a A
El máximo valor de la aceleración se da en los extremos del
movimiento y el mínimo valor de la aceleración se da en la posición
de equilibrio.
- Energía en el M.A.S.
Es notorio que cuando un cuerpo desarrolla un M.A.S. en un
plano horizontal están presentes la energía potencial elástica y la
energía cinética. Analizando las posiciones fundamentales del
M.A.S. se concluye que en los extremos la energía mecánica es
igual a la energía potencial elástica y en la posición de equilibrio
la energía cinética es máxima(x=0) e igual a la energía mecánica
del oscilador armónico.
K
P.Eq.
m
P. Ext.
+A
v= V =wA máx
m m
x
V
2 2 2 2 2
M
kx
mV
mW A
kA
E
en x=A en x=0 en una pos. cualquiera
5. ACOPLAMIENTO DE RESORTES
5.1 En Serie 5.2 En Paralelo
K
K
K
K
K
K
e 1 2 3
K
K
K
K
e 1 2 3
K KK K
MOVIMIENTO PENDULAR
L
Periodo de oscilación
L
T=
g
- Periodo en sistemas acelerados
efectiva
L
T 2
g
efec
g g a
a
: aceleración del lugar donde se encuentra el péndulo.
¿QUÉ ES UNA ONDA?
Son oscilaciones que se propagan en el espacio y tiempo, desde un
lugar del espacio que ha sido perturado, conocido como "foco".
Para la propagación de una onda mecánica es necesario la existencia
de un medio.
Sabemos que las partículas de todo cuerpo, sea sólido, líquido o
gaseoso, interactúan unas con otras. Por eso si una partícula del
medio empieza a oscilar debido a la interacción, este movimiento
oscilatorio comienza a propagarse con cierta rapidez en todas las
direcciones. Una onda no transporta masa, solo transporta energía y
cantidad de movimiento, las cuales son propiedades fundamentales
de toda onda, sea cual fuese su naturaleza.
ONDA
Es una perturbación que viaja a través del espacio o en un medio
elástico, transportando energía sin que haya desplazamiento de
masa.
NATURALEZA DE LAS ONDAS
A. ONDAS MECÁNICAS
Son aquellas que se generan en los medios sólidos, líquidos o
gaseosos, en donde las perturbaciones se transmiten por
vibraciones de las moléculas del medio.
Las ondas mecánicas necesitan de un medio material para
propagarse.
Ejemplo: El sonido, las ondas producidas en una cuerda, las
ondas sísmicas, etc.
B. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
Son aquellas que se producen en el vacío por causa de estímulos
eléctricos y magnéticos. Son las únicas que no necesitan de un
medio material para propagarse. Ejemplos: Los rayos "x", rayos
gamma, la luz, etc.
TIPOS DE ONDA
A. ONDAS TRANSVERSALES
En una onda transversal la vibración de las partículas del medio
es perpendicular a la dirección en que se propaga (viaja) la
onda.
M.A.S. y Ondas Mecánicas
B. ONDAS LONGITUDINALES
En una onda longitudinal la vibración de las partículas del medio
es paralela a la dirección de propagación de la onda.
ELEMENTOS DE UNA ONDA
A. CICLO
Llamamos así a la oscilación completa que realiza una partícula
del medio cuando pasa por una onda por el lugar que ella
ocupa. En una onda transversal, el ciclo es la silueta del móvil
que vemos.
B. PERIODO (T)
Es el tiempo que emplea un ciclo en pasar por el punto del
medio. Es también el tiempo que utiliza una partícula del medio
en efectur una oscilación completa
C. FRECUENCIA(f)
Representa el número de ciclos que atraviesan un plano de
referencia en cada unidad de tiempo. Su unidad, según el SI es
hertz y su símbolo es "Hz".
N de ciclos completos
f
tiempo
D. AMPLITUD(A)
Llamamos así a la máxima elongación lineal que experimenta una
partícula del medio cuando por ella pasa una onda.
E. CRESTA
En una onda transversal, son los puntos más altos del ciclo.
F. VALLE
En una onda transversal, son los puntos más bajos del clcilo.
G. LONGITUD DE ONDA (l)
Es la distancia que recorre la onda en un tiempo igual al periodo.
Es también la distancia entre dos crestas o valles consecutivos.
RAPIDEZ DE PROPAGACIÓN DE UNA ONDA
Velocidad de una onda transversal en una cuerda tensa
masa(m)
longitud(L)
F F.L
V
m
ECUACIÓN DE LA ONDA
EL SONIDO
Es una onda mecánica longitudinal debido a que necesita de un
medio material para propagarse.
1. PROPAGACIÓN DEL SONIDO
Si "V" es la rapidez del sonido se cumple:
Vsólidos>Vlíquidos>Vgases
2. CUALIDADES DEL SONIDO
A. Intensidad
La intensidad del sonido es la energía que transportan las ondas
sonoras. Según su intensidad, los sonidos pueden ser fuertes
(de gran intensidad) o débiles (pequeña intensidad).
La intensidad del sonido a una distancia "r" se determina de la
siguiente manera:
Donde "P" es la potencia de la fuente que se mide en watts (W)
y "4r
2 " es el área de una esfera de radio "r", a través de la cual
pasa perpendicularmente la energía del sonido. "I" se mide en el
S.O. en W/m
2 .
La mínima intensidad que el oído humano puede detectar se le
denomina "UMBRAL DE AUDICIÓN (I 0
La máxima intensidad que el oído humano puede detectar se le
de no mina "U MB RAL DEL DO LOR", e l son ido es
desagradablemente alto y puede ser doloroso al oído.
Nivel de intensidad ()
Es conveniente comprimir el gran intervalo de intensidades del
sonido usando una escala logarítmica (base10) para expresar niveles
de intensidad. El nivel de un sonido debe ser referido a una
intensidad estándar, que se toma del umbral de audición (I 0
Donde se mide en decibel (dB)
b. Tono
El tono de un sonido lo marca la frecuencia o número de
vibraciones por segundo que produce el cuerpo que vibra: si
este número es alto, el sonido es agudo (alta frecuencia) y si es
bajo, el sonido es grave (baja frecuencia). Recordemos que la
frecuencia se mide en hertz (Hz).
c. Timbre
El timbre es la cualidad del sonido que nos permite distinguir
entre dos o más sonidos producidos por fuentes sonoras distintas,
aunque los sonidos tengan la misma intensidad y la misma
frecuencia. Por ejemplo, los sonidos emitidos por un piano y
una flauta al tocar la misma nota con la misma intensidad tienen
un timbre muy distinto.
