¡Descarga Análisis de Circuitos Eléctricos AC: Voltaje, Corriente e Impedancia en R, L y C y más Guías, Proyectos, Investigaciones en PDF de Física solo en Docsity!
Circuitos Eléctricos AC.-
Se entiende por circuito eléctrico una trayectoria cerrada por donde circula la corriente a través de elementos activos, que entregan energía, y pasivos, que no le entregan. Este concepto conocido para ustedes no va a cambiar porque el circuito funcione con señales continuas o alternas, lo que si puede es cambiar la respuesta de estos elementos dependiendo del tipo de señal aplicada. Y es lo que se cubrirá a continuación.
Elementos Activos.- Fuentes AC
El símbolo para una fuente eléctrica AC se muestra en la fig. 1, el voltaje de una fuente alterna sinusoidal vendrá dado por la expresión
( ) ( )
la polaridad de la fuente va a cambiar en forma periódica, y cuando suministre energía, la corriente que la atraviese, medio ciclo circulara en un sentido y medio ciclo en el otro. Las fuentes de energía eléctrica AC por excelencia son los generadores sincrónicos o alternadores, cuya descripción y funcionamiento se realizará en el último corte.
Elementos Pasivos.-
Los elementos pasivos en alterna son tres: resistencia, inductancia y capacitancia. Lo que se pretende a continuación es definir cada uno de estos elementos y ver como es el funcionamiento de ellos cuando se les aplica señales eléctricas sinusoidales arrancando con la resistencia.
Resistencia.-
La resistencia es un elemento pasivo en el cual el voltaje y la corriente varían de manera directamente proporcional v = Ri (Ley de ohm). Si la corriente i(t) fuese una señal sinusoidal
( ) ( ), el voltaje en ella v(t) también lo sería de acuerdo con la Ley de ohm, ya que ( ) ( ) donde el valor pico del voltaje sería igual a Vp = R Ip , la velocidad angular del voltaje sería la misma velocidad angular de la corriente, y tanto la corriente como el voltaje tendrían el mismo ángulo de fase ϕ. En la fig. 3 se muestra el grafico de ambas señales, en el caso de que el ángulo de fase sea igual a cero grados, ambas señales están como una encima de la otra ya que tienen el mismo ángulo de fase, cuando esto se presenta se dice que las señales están en fase, o sea en una resistencia se cumple siempre que el voltaje y la corriente están en fase. Veamos como están relacionadas el voltaje y la corriente pero ahora con fasores. Se recordara que una señal sinusoidal
Tendrá asociado un fasor
Por lo que si la corriente en la resistencia es
( ) ( )
El fasor que la representa
Mientras que el voltaje
( ) ( )
El fasor correspondiente será
Lo cual implica que el fasor voltaje es igual al fasor corriente multiplicado por la resistencia, cumpliéndose también la Ley de Ohm trabajando con fasores
V = R I
Inductancia.-
La inductancia es el elemento pasivo que permite establecer la relación existente entre la tensión y la corriente cuando se está en presencia de campos magnéticos. Todo conductor que lleva corriente a su alrededor hay un campo magnético producido por dicha corriente y que varía de manera directamente proporcional a ella. Es decir el flujo es igual a, = K , donde K es una constante de proporcionalidad e “ I ” la corriente que circula por el conductor, lo que quiere decir que si no hay corriente no hay flujo, y si la corriente crece el flujo crece. Resulta también interesante que cuando el conductor que lleva corriente se enrolla formando un solenoide, el campo magnético aumenta, incrementando el número de vueltas del solenoide. Las líneas de campo magnético asociadas a un solenoide se pueden observar en la fig.5, y el sentido de las líneas de campo se obtienen aplicando la regla de la mano derecha, con el dedo pulgar se obtiene el sentido del campo y el resto de los dedos de la mano derecha es para indicar el sentido de la corriente. Se tiene entonces la relación que existe entre el flujo y la corriente, pero se necesita la relación entre el voltaje y la corriente, para ello se hará uso de la Ley de Faraday.
La Ley de Faraday es una ley de tipo experimental enunciada por Faraday y que constituye el principio de funcionamiento de todas las máquinas eléctricas. Expliquemos esto con un experimento muy sencillo, en donde se colocara a una bobina siendo atravesada por un campo magnético (observe la Fig.6). Faraday encontró que al producirse un movimiento entre la bobina y el campo magnético independientemente de quien de los dos se moviera, en terminales de la bobina iba a aparecer un voltaje que variaría de manera directamente proporcional a la rata de cambio del flujo, siendo la constante
en la inductancia lo que R es en la resistencia desde el punto de vista matemático. Al producto wL se le llama Reactancia Inductiva y se denota con la letra XL.
Utilizando fasores las relaciones entre el voltaje y la corriente serían
( ) ( )
De acuerdo con la fórmula de Euler
, (Revise material enviado sobre números complejos), se tendrá que
Por lo que el voltaje en una inductancia sería
Capacitancia.-
La capacitancia es el elemento pasivo que permite establecer la relación existente entre la tensión y la corriente cuando se está en presencia de campos eléctricos. Un condensador es simplemente un par de placas de material conductor separadas por un material aislante denominado dieléctrico. El símbolo con el que se representa se muestra en la fig. 9. Cuando a este dispositivo se le aplica un voltaje DC las cargas se acumularan en una de las placas creando así una diferencia de potencial, una tensión. Una vez cargado el condensador la corriente a través de él valdrá cero. Cuando la señal de voltaje aplicado v(t) es alterna, el condensador se cargara y descargara periódicamente produciéndose así movimiento de cargas eléctricas en ambos sentidos o sea se tiene corriente, o lo que es lo mismo en un condensador hay corriente siempre y cuando el voltaje aplicado varié, por lo que en un condensador se cumplirá que
Siendo C la constante de proporcionalidad que relaciona la corriente con el voltaje en este elemento, y es lo que se denomina capacitancia, la unidad en la que se mide es el faradio.
Una vez hallada la relación entre el voltaje y la corriente en un condensador entonces se verá como este elemento se comporta ante la aplicación de señales alterna sinusoidales. Siendo voltaje aplicado una señal sinusoidal
La corriente será
O lo que es lo mismo (se llega utilizando identidades trigonométricas)
( ) (^) ( )
Se muestran las señales en la fig. 10. Se observan que no están en fase el voltaje y la corriente como en el caso de la resistencia, sino que están desfasadas en 90 , y la que va primero es la señal corriente, por lo que normalmente se dice “en una capacitancia la corriente adelanta al voltaje en 90. También se puede anotar a partir de la expresión matemática de la corriente que el valor pico de ella se obtiene multiplicando el valor pico del voltaje por “wC”, o sea Ip = wC Vp , o Vp = (1/wC) Ip pareciéndose esto al caso de la resistencia en el cual Vp = R Ip , o sea que (1/ wC) es en condensador lo que R es en la resistencia desde el punto de vista matemático. A la expresión (1/ wC) se le llama Reactancia Capacitiva y se denota con la letra XC.
Utilizando fasores las relaciones entre el voltaje y la corriente serían
( ) ( )
Y ya que
La corriente en un condensador vendrá dado por
O
Paso 2.- Resolución del circuito
El circuito a resolver fasorialmente se muestra en la fig. 12, donde
se determinaran las incógnitas con la aplicación de las Leyes de
Kirchoff y la Ley de Ohm. La aplicación de la Ley de tensiones de
Kirchoff establece que la sumatoria de tensiones a lo largo de un
circuito cerrado es igual a cero con lo cual en este caso
-V + VR + VC = 0
VR + VC = V, y ya que V = ZI en un elemento pasivo,
VR = ZRI = 3 I, y en el condensador VC = ZCI = -4j I , sustituyendo en la ecuación de la Ley de tensiones se obtiene
3 I + (-4j I) = V
3 I + (-4j I) =
Ecuación donde la única incógnita es la corriente, despejando resulta que
I =
División de números complejos que al resolverla obtenemos
I = 2 Amps
VR = ZRI = 3 I
_VR = 3_* 2
VR = 6
Y por último
VC = ZCI = -4j I
VC = -4j (2 )
VC = 8
Paso 3.- Transformar los resultados obtenidos, fasores, a expresiones matemáticas en función del tiempo.
Asi
( ) √ ( )
( ) (^) √ ( ) volts
( ) (^) √ ( ) (^) volts
Potencia en Circuitos Eléctricos AC .-
La potencia se define como p(t) = v(t) * i(t)
Si la corriente y el voltaje vienen dados por
( ) ( )
La potencia p(t) vendría dada por
( ) ( ) ( )
Obviamente una señal variable en el tiempo
Nuestro interés es en determinar el valor promedio de la potencia que se consume o que se entrega, el cual se puede determinar a través del concepto de valor medio de una función. Al valor medio de la potencia se le llama potencia activa y se denota con la letra P, por lo que
∫ ( )
Resolviendo la integral
P = Veficaz Ieficaz cosϕ watts o vatios
donde ϕ es el ángulo existente entre el voltaje y la corriente
Otros dos conceptos de potencia que tienen muy poco sentido físico pero que son muy útiles a la hora de resolver problemas son
Potencia Reactiva: Q = Veficaz Ieficaz senϕ VAR o volt amp reactivos, y
Potencia Aparente: S = Veficaz Ieficaz VA o volt amp,
otra definición útil es lo que se llama factor de potencia: f.p.
f.p. = cosϕ
f.p. = P/S
Ejemplo.- Determinar para el circuito anterior los valores de P, Q, S para cada uno de los elementos del circuito anterior.
Ejercicios Propuestos.-
Determine la impedancia para:
a. una inductancia L = 4 henrios siendo la velocidad angular = 2 rad/seg.
b.- los siguientes arreglos de elementos
b1.- C1= ½ fd, C2 = ¼ fd, C3 =1/8 fd, w = 2 rad/seg
b2.- Los valores de las capacitancias igual al problema anterior, las dos inductancias iguales L = 8 hy, y la resistencia R = 3 ohms , w = 2 rads/seg
c.- Determine la corriente por C1en el siguiente circuito, siendo
Y los valores de las capacitancias, los del ejercicio b
d.- Determine el voltaje en la resistencia para el siguiente circuito, siendo
e.- Resuelva el siguiente circuito, determine:
a.- todas las
corrientes y los voltajes en todos los elementos pasivos
b.- P, Q, S en la fuente v 1 , y en la capacitancia C
c.- Realice el diagrama fasorial
( ) √ ( ) volts, ( ) √ ( ) volts
R1 = 2 ohms, R2 = 3 ohms, R3= 4 ohms, C1 = 1/6 fds, C2 =1/8 fds
