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Cap´ıtulo 1
LA DEMOSTRACI ´ON
MATEM ´ATICA.
DEMOSTRACI ´ON POR
INDUCCI ´ON Y FORMA
FUERTE DEL PRINCIPIO
DE INDUCCI ´ON (O
INDUCCI ´ON
COMPLETA)
1.1. M´etodo de demostraci´on por inducci´on
Se trata de demostrar una proposici´on, P , del tipo ∀ n ∈ N se verifica P (n), siendo P (n) una propiedad que se refiere al n´umero natural n. Se procede como sigue:
- Se comprueba que P (1) es cierta, es decir la proposici´on se verifica cuando n = 1.
- Se demuestra que si P (h) es cierta entonces P (h + 1) es cierta tambi´en, es decir, que si se verifica la proposici´on para un n´umero h, a esto es lo que llamamos hip´otesis de inducci´on (H.I.), tambi´en se verifica para el siguiente (h + 1), a esto lo llamamos, tesis de inducci´on (T.I.).
Es claro que si hemos conseguido 1. y 2. entonces P (n) es cierta para cada nn (si es cierta P (1), entonces por 2., es cierta P (2), y entonces, por 2., es cierta P (3),...
Ejemplo 1.1.1. Demostrar por inducci´on la siguiente igualdad: ∑^ n k=
k^2 = n(n+1)(2 6 n+1)
- Lo podemos escribir como
12 + 2^2 + 3^2 +... + (n − 1)^2 + n^2 = n(n+1)(2 6 n+1)
Comprobamos si P (1) es cierto. P (1) es
12 = 1(1+1)(2 6 ,1+1)
que resulta cierto.
- Tenemos que demostrar que si se verifica P (h), es decir suponiendo que 12 + 2^2 + 3^2 +... + (h − 1)^2 + h^2 = h(h+1)(2 6 h+1)
entonces veamos si se cumple P (h + 1) es decir
12 + 2^2 + 3^2 +... + (h − 1)^2 + h^2 + (h + 1)^2 = (h+1)((h+1)+1)(2( 6 h+1)+1)
Entonces:
12 +2^2 +3^2 +.. .+(h−1)^2 +h^2 +(h+1)^2 = (aplico la H.I.) = h(h+1)(2 6 h+1)+(h+1)^2
Pero esto se reduce a ver, con pocas cuentas, que:
(h + 1)((h + 1) + 1)(2(h + 1) + 1) + 1) − [h(h + 1)(2h + 1) + 6(h + 1)^2 ] = 0
1.2. Forma fuerte del principio de inducci´on
Se llama as´ı porque la hip´otesis es algo m´as fuerte. En el paso de k a k + 1 debemos suponer que la afirmaci´on no solo es cierta para k sino que la afirmaci´on es cierta hasta k.
Cap´ıtulo 2
AN ´ALISIS
COMBINATORIO
2.1. Introducci´on
Regla de la Suma.- Si un objeto .A”se puede elegir de mm maneras dis- tintas y el objeto ”B”de n, entonces .A^ o B”se pueden elegir de m + n maneras.
Regla del Producto.- Si un objeto .A”se puede elegir de m maneras dis- tintas y para cada una de ellas podemos elegir ”B”de n maneras, entonces .A^ y B”se pueden elegir, en ese orden, de m.n maneras distintas.
Proposici´on 2.1.1. Pares ordenados: Con m elementos diferentes entre s´ı {a 1 ,... , am} y n elementos tambi´en diferentes entre si {b 1 ,... , bn} es posible formas mn pares ordenados (ai, bj ) conteniendo un elemento de cada grupo. DEMOSTRACI ON.-´ Agrupando todos los pares en una tabla con m filas y n columnas de modo que (ai, bj ) se coloque en la fija i, columna j, resulta que toda la tabla queda completamente ocupada y cada par s´olo aparece una vez, de donde se deduce que hay un total de mn pares posibles.
Remark 2.1.1. Observa que este ´ultimo resultado nos est´a dando el n´umero de elementos que contine el producto cartesiano A × B de dos conjuntos con m y n elementos respectivamente:
A × B = {a 1 , a 2 ,... , am} × {b 1 , b 2 ,... , bn} = {(ai, bj ) | 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}
Proposici´on 2.1.2. (r-tuplas): Dados n 1 elementos diferentes entre s´ı, {a 1 , a 2 ,... , an 1 }, n 2 elementos tambi´en distintos entre s´ı {b 1 , b 2 ,... , bn 2 }, etc..., hasta nr el- ementos diferentes entre s´ı {v 1 , v 2 ,... , vr } entonces el n´umero total de r − tuplas (ai 1 , bi 2 ,... , vir ) conteniendo un elemento de cada clase es el produc- to n 1 n 2... nr. DEMOSTRACI ON.-´ Si r = 2 la afirmaci´on se reduce al caso de pares ordenados de la proposici´on anterior. Para r=3 podemos considerar (ai, bj ) como un elemento de una nue- va clase, en la que hay n 1 n 2 elementos diferentes y considerar que cada terna (ai, bj , ck) est´a formada por el par que consta de (ai, bj ) con ck; el n´umero de ternas es por tanto, (n 1 n 2 )n 3. Procediendo por inducci´on se concluye la afirma- ci´on para cualquier r.
Remark 2.1.2. Este ´ultimo resultado nos est´a dando el n´umero de elementos que contiene el producto cartesiano A×B ×.. .×V de r conjuntos con n 1 , n 2 ,... , nr elementos cada uno, respectivamente. Como consecuencia de la proposici´on anterior podemos afirmar lo siguiente: Al efectual r selecciones sucesivas, con nk posibilidades en la k-´esima etapa, se produce un total de n 1 n 2... nr resultados diferentes
2.2. Muestras ordenadas
Consideremos un conjunto o ”poblaci´on.A^ de N elementos distintos entre s´ı: A = {a 1 ,... , aN }
ciones, variaciones ordinarias o variaciones sin repetici´on de esos N el- ementos tomados de n en n a las distintas selecciones ordenadas que se pueden formar al tomar n de ellos sin que se repita ninguno de ellos; as´ı pues, en cada grupo entran n elementos de los N que hay, son elementos distintos entre si y un grupo se diferencia de otro bien en un elemento o bien en el orden de colocaci´on de ´estos.
Proposici´on 2.3.1. El n´umero de variaciones ordinarias de N elementos toma- dos de n en n, que denotaremos con VN,n es:
VN,n = N.(N − 1)(N − 2)... (N − n + 1) = (^) (NN −^ !n)! DEMOSTRACI ON.-´ Basta tener en cuenta que el primer elemento de la variaci´on lo podemos elegir entre los N que hay en total, el segundo puede ser uno cualquiera de los N − 1 restantes (pues no podemos repetir el primero), el tercero lo podemos elegir entre los N − 2 que quedan, y as´ı sucesivamente hasta completar los n que formen la variaci´on.
Ejemplo 2.3.2. Con las cifras 1 , 3 , 5 y 7 , ¿cu´antos n´umeros de tres cifras distintas pueden formarse? ¿Cu´ales son estos n´umeros? A = { 1 , 3 , 5 , 7 } ⇒ N = 4 luego V 4 , 3 = 4, 3 ,2 = 24 135, 137, 153, 157, 173, 175, 315, 317, 351, 357, 371, 375, 513, 517, 531, 537, 571, 573, 713, 715, 731, 735, 751, 753.
Ejemplo 2.3.3. En una competici´on de nataci´on participan 9 deportistas y se establece medalla de oro, de plata y de bronce. ¿De cu´antas formas pueden subir al podio los nadadores?
Son ordenacions de 3 nadadores tomas de entre los 9, por tanto: V 9 , 3 = 9, 8 ,7 = 504
Definici´on 2.3.2. Variaciones con repitici´on: Dado un conuunto A con N elementos distinos, A = {a 1 , a 2 ,... , aN }, se llaman variaciones con repetici´on de esos N elementos tomados de n en n a las distintas selecciones ordenadas que se pueden formar al tomar n cualesquiera de ellos, repetidos o no. As´ı, pues, en cada grupo entran n elementos, iguales o no de los N que hay en el colectivo A, de modo que un grupo se diferencia de otro bien en un elemento al menos o bien en el orden de colocaci´on de ´estos.
Remark 2.3.1. Como en las variaciones con repetici´on ingluyen los elementos que intervienen, su orden y adem´as pueden repetirse, resulta que cada variaci´on con repetici´on de los elementos de un conjunto A tomados de n en n puede considerarse como un elemento del producto cartesiano A×A×.. .n^.. .×A = An
Proposici´on 2.3.4. El n´umero de variaciones con repetici´on de N elementos tomados de n en n es
V RN,n = N.N... .n^... N = N n DEMOSTRACI ON.-´ Teniendo en cuenta que las variaciones con repetici´on de los elementos de un conjunto A, que consta de N elementos, las podemos identificar con elementos del producto cartesiano A×A×.. .n^.. .×A, es claro que el n´umero de estas ser´a el que nos dice la proposici´on pues para la primera componente podemos elegir cualquiera de los N elementos de A, para la segunda componente podemos volver a elegir cualquiera de los elementos de A y as´ı sucesivamente hasta completar la correspondiente n-tupla o variaci´on con repetici´on.
Ejemplo 2.3.5. Se lanza una moneda cuatro veces. ¿Cu´antos resultados puedne producirse? ¿Cu´ales son esots resultados?
Ejemplo 2.4.1. Con las cifras 0,1,2,3 y 4, ¿cu´antos n´umeros de cinco cifras distintas pueden formarse? Permutanto estas cinco cifras tendremos: P 5 = 51 = 5, 4 , 3 , 2 ,1 = 120,
y restando las que empiezan por cero,
P 4 = 4! = 4, 3 , 2 ,1 = 24,
resultan 120 − 24 = 96,
n´umeros.
Definici´on 2.4.2. Permutaciones de N elementos con repetici´on.- Al igual que hemos hecho en el caso de las variaciones, podemos suoner permuta- ciones con repetici´on de los elementos, de modo que las permutaciones de N elementos con repetici´on no son sino las vairaciones con permutaci´on de esos N elementos tomados de N en N. En consecuencia su n´umero ser´a:
P RN = VN,N = N N Con k letras distintas l 1 , l 2 ,... , lk, repetimos n 1 veces la letra l 1 , n 2 veces la letra l 2 ,... nk veces la letra lk, es decir, disponemos de un total de m = n 1 + n 2 +... + nk letras. Se trata de establecer cu´antas palabras, tengan significado o no, podemos formar con las m letras. Este n´umero, que corresponde al de permutaciones con repetici´on de m elementos entre los que se repiten n 1 , n 2 ,... nk se puede determinar del siguiente modo:
P Rn m^1 ,n^2 ,...nk= (^) n 1 !nm 2 !...n! k! Tambi´en se le llama variaciones con repetici´on restringida. Por ejemplo, tenemos un conjunto A con N elementos A = {a 1 , a 2 ,... , aN },
y tomamos n de ellos con repetici´on, de forma que a 1 aparezca n 1 veces, a 2 aparezca n 2 veces, ... con ni ≥ 0 para cada i, y n 1 + n 2 + n 3 +
... + nN = n, entonces los distintos grupos o selecciones que se pueden formar se dice que son variaciones de repetici´on restringida.
Proposici´on 2.4.2. El n´umero V R(N ; n 1 , n 2 ,... , nN ) de las variaciones con repetici´on restringida de N objetos diferentes de forma que el primero parezca n 1 veces, el segundo n 2 veces ... est´a dado por :
V R(N ; n 1 , n 2 ,... , nN ) = (n^1 n+ 1 n!n^22 +!...n...+Nn !N^ )! DEMOSTRACI ON´ Sea A = {a 1 , a 2 ,... , aN } el conjunto con cuyos elementos vamos a formar esas variaciones con repetici´on restringida y sea x el n´umero de ellas. Formemos un nuevo conjunto B con n elementos distintos (n = n 1 + n 2 +... + nN ) de forma que n 1 de ellos van a representar a a 1 , n 2 de ellos representar´an a a 2 , n 3 de ellos representar´an a a 3 ... Si formamos una permutaci´on ordinaria con los n elementos de B y sustituimos a continuaci´on los elementos de B por los elementos de A que representan obtendremos una variaci´on con repetici´on restringida de los elementos de A, ahora bien aunque permutemos entre s´ı los n 1 representantes de a 1 o permutemos entre s´ı los n 2 representantes de a 2 o los n 3 de a 3 etc ... resultar´a que todas esas permutaciones de los elementos de B conducir´an a la misma variaci´on con repetici´on restringida de los elementos de A, es decir, hay n 1 !n 2 !n 3!... nN! permutaciones de los elementos de B que conducen a la misma variaci´on con repetici´on restringida de los elementos de A; por tanto podemos escribir que;
V R(N ; n 1 , n 2 ,... nN ) = x = (^) n 1 !n 2 n!...n! N! = (n^1 n+ 1 n!n^22 +!...n...+Nn N!^ )!
Ejemplo 2.4.3. Reordenando las letras de la palabra PATATA, ¿cu´antas pal- abras pueden formarse?
Teorema 2.5.1. (αn^ )^ es el coeficiente de xn^ en el desarrollo en serie de potencias del binomio (1 + x)α, es decir:
(1 + x)α^ =
∑^ ∞
n=
(α n
xn
siendo la serie absolutamente convergente para todo α ∈ R y |x| < 1.
Corolario 2.5.2. Para N ∈ N y x ∈ R se tiene que:
(1 + x)N^ =
(N
(N
x +
(N
x^2 +... +
(N
N
xN
DEMOSTRACI ON.- Teniendo en cuenta el teorema anterior y que´ (Nn^ )^ va a ser cero para n > N deducimos la igualdad entre ambos miembros para |x| < 1 , pero como ambos miembros son polinomios de grado N que coinciden en todos los puntos del intervalo (− 1 , 1) tambi´en coincidir´an para todo x ∈ R, seg´un establece el teorema fundamental del ´algebra ( que die ques i dos polinomios reales de grado N coinciden en N+1 puntos diferentes, entonces coinciden en toda la recta real).
Corolario 2.5.3. (N 0
(N
(N
(N
N
= 2N
para todo N ∈ N. Es consecuencia del corolario anterior tomando x = 1.
Proposici´on 2.5.4. Para N y n enteros tales que N ≥ n ≥ 0 se tiene que: (N n
( N
N − n
= (^) n!(NN −^ !n)!
DEMOSTRACI ON.-´
Para n = 0 y n = N es inmediato probar que se cumple la citada relaci´on, en los dem´as casos, tenemos:
(N
n
= N^ (N^ −1)... n!( N^ −n+1)= N^ (N^ −1)... n!((NN^ − −nn+1)()! N^ −n)!= (^) n!(NN −^ !n)! y an´alogamente ( (^) N N − n
= N^ (N(^ −N1) −...n()!n +1)= N^ (N^ (−N1) −...n()!nn+1)! n!= (^) n!(NN −^ !n)! con lo que obtenemos el resultado.
Proposici´on 2.5.5. Para α ∈ R y n ∈ N se verifica que (α n
( (^) α n + 1
(α + 1 n + 1
DEMOSTRACI ON.- Para´ n = 0 resulta inmediato, pues: (α 0
(α 1
= 1 + α =
(α + 1 1
y para n > 0 tenemos que: (α n
( (^) α n + 1
= α(α−1)... n(!α −n+1)+ α(α−1)...((nα+1)!−n+1)( α−n)=
=
(α(α−1)...(α−n+1) )(n+1)+ (α(α−1)...(α−n+1)(α−n) ) (n+1)! = =
(α(α−1)...(α−n+1) )(n+1+α−n) (n+1)! =
(α + 1 n + 1
Remark 2.5.2. Esta ´ultima proposici´on permite calcular de forma r´apida y sen- cilla los n´umeros combinatorios (Nn^ )^ para ello, se disponen los c´alculos como sigue:
2.6. Combinaciones
Definici´on 2.6.1. Se llaman combinaciones, combinaciones ordinarias o com- binaciones sin repetici´on de N elementos diferentes, tomados de n en n, a los distintos grupos que se pueden ofrmar con los N elementos de tal manera que en cada grupo entren n elementos diferentes y que un grupo se diferencie de los dem´as en un elemento por lo menos. El n´umero de combinaciones ordinarias de N elementos tomados de n en n es: CN,n = VN,n n! = N.(N^ −1).... n!( N^ −n+1)=
(N
n
donde suponemos N ≥ n > 0
DOS CONJUNTOS SE DIFERENCIAN ENTRE SI POR TENER ALG ´UN ELEMENTO DIFERENTE Y NO POR EL ORDEN EN QUE ´ESTOS FIGUREN. Debido a esto, las combinaciones ordinarias de n elementos tomados de n en n se pueden interpretar como los subconjuntos de n elementos que se puedne formar a partir de un conjunto que posea N. Tambi´en pueden interpretarse como muestras de tama˜no n, sin reposici´on, en las que no se tiene en cuenta el orden de sus elementos para diferenciar uno de otra.
Ejemplo 2.6.1. De una clase de 25 alumnos hay que elegir cuatro para formar una comisi´on que se encargue de organizar una excursi´on. ¿De cu´antas formas puede formarse?
Como se trata de elegir un subconjunto de cuatro alumnos, y no interviene el orden, son
C 25 , 4 = V^25 P 4 , 4 = 25 , 424 , 3 ,,^232 , 1 ,^22 = 12650 maneras
Ejemplo 2.6.2. Disponemos de 12 bolas diferentes y dos cajas: a)¿De cu´antas formas se pueden colocar 7 bolas en una caja y 5 en la otra? b) ¿De cu´antas se pueden colocar 5 bolas en cada caja? a) Eligiendo 7 de las 12 bolas para una caja, las restantes ir´an a la otra caja, luego C 12 , 7 = V^12 P 7 , 7 = 127 ,^11 , 6 ,, 510 , 4 ,,^93 ,,^82 ,,^71 , 6 = 792
b) Debemos elegir primero las dos bolas que no entrar´an en ninguna caja, y por cada elecci´on de ´estas, elegiremos las 5 que entrar´an en la primera caja, as´ı tenemos que:
C 12 , 2 .C 10 , 5 = 122 ,,^111. (^105) ,, 49 ,, 38 ,, 27 ,, 16 = 16632 f ormas
Definici´on 2.6.2. (Combinaciones con repetici´on) Se llaman combina- ciones con repetici´on de N elementos diferentes tomados de n en n, a bf los distintos grupos que se pueden formar de tal manera que en cada grupo entren n de los N elementos dados, repetidos o no, y que un grupo se diferencie de otro en un elemento por lo menos. Las combinaciones con repetici´on se pueden considerar como muestras de tama˜no n, tomadas con reposici´on de una poblaci´on de tama˜no N, en las que no se tiene en cuenta el orden de sus elementos para diferenciar una muestra de otra. El n´umero de combinaciones con repetici´on de N elementos tomados de n en n es : CRN,n = CN +n− 1 ,n
