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Proyecto e-Math 1
ANÁLISIS DE CONGLOMERADOS
Autor: Manuel Terrádez Gurrea ([email protected]).
ESQUEMA DE CONTENIDOS_______ ________________________
INTRODUCCIÓN ___________________
El análisis de conglomerados ( cluster ) es una técnica multivariante que busca agrupar elementos (o variables) tratando de lograr la máxima homogeneidad en cada grupo y la mayor diferencias entre los grupos.
Nos basaremos en los algoritmos jerárquicos acumulativos (forman grupos haciendo conglomerados cada vez más grandes), aunque no son los únicos posibles.
El dendograma es la representación gráfica que mejor ayuda a interpretar el resultado de un análisis cluster.
El análisis de conglomerados se puede combinar con el Análisis de Componentes Principales, ya que mediante ACP se puede homogeneizar los datos, lo cual permite realizar posteriormente un análisis cluster sobre los componentes obtenidos.
OBJETIVOS ________________________
- Entender por qué es importante agrupar elementos parecidos en bloques diferentes.
- Saber aplicar el análisis de conglomerados, con ayuda de Minitab.
- Interpretar el dendograma resultante del análisis.
Análisis de
conglomerados
( cluster )
Interpretación de dendogramas
Proyecto e-Math 2
CONOCIMIENTOS PREVIOS ___________________________________
Aparte de estar iniciado en el uso del paquete estadístico Minitab, resulta muy conveniente haber leído con profundidad los siguientes math-blocks :
- Estadística descriptiva.
- Correlación y regresión lineal múltiple.
CONCEPTOS FUNDAMENTALES ______________________________
Medidas de disimilitud
Partimos de una matriz de información que contiene las observaciones de todas las variables sobre los diferentes elementos considerados (ver Tabla 1), y calculamos las diferencias entre dichos elementos mediante alguna de las medidas de disimilitud habituales: la distancia
euclidiana ( ∑
=
J
j
Xrj Xsj
1
( )^2 ), su cuadrado, la distancia de City-Block (
=
J
j
Xrj Xsj
1
la de Mahalanobis, la de Minkowski, la de Tchebychef, etc. Todas ellas proporcionan ordenaciones muy similares de las distancias en casi todos los casos.
Tabla 1 Elementos X 1 X 2 ... XJ 1 X 11 X 12 ... X1J 2 X 21 X 22 ... X2J ... ... ... ... ... K XK1 XK2 ... XKJ
Algoritmos de clasificación
Para clasificar los elementos en clusters utilizaremos algoritmos jerárquicos , que pueden ser acumulativos (se forman grupos haciendo clusters cada vez más grandes) o disminutivos (partiendo de un solo grupo se separan los elementos en clusters cada vez más pequeños).
Entre los algoritmos jerárquicos acumulativos destacan los siguientes métodos:
- Método de las distancias mínimas: se busca la mayor semejanza entre los elementos o grupos más cercanos.
- Método de las distancias máximas: se calcula la mínima distancia entre los elementos más alejados.
- Método de las distancias medias: se calcula la media de las distancias entre elementos.
Proyecto e-Math 4
CASOS PRÁCTICOS CON SOFTWARE___________________________________
Calificaciones escolares
Vamos a utilizar los datos del archivo asignaturas.mtw , que recogen las calificaciones de los 15 alumnos de una clase en diversas asignaturas
Stat Æ Multivariate Æ Cluster Observations...
Tal y como podemos apreciar en los gráficos siguientes, solicitaremos el análisis con las variables estandarizadas, así como el dendograma (representado en función de las distancias).
Proyecto e-Math 7
El dendograma también nos sirve para saber la composición de cada cluster en cada paso: por ejemplo, si quisiéramos hacer una división en 5 conglomerados bastaría con trazar la línea azul y comprobaríamos que las observaciones 5, 11, 12 y 14 quedarían aisladas (formando cada una de ellas un cluster de tamaño 1), y el resto de observaciones formarían otro grupo.
Sin embargo, si deseáramos conocer la división en 8 conglomerados trazaríamos la línea roja, y obtendríamos la siguiente distribución:
CLUSTER OBSERVACIONES
Proyecto e-Math 8
División en distritos de una ciudad
Procedemos análogamente con el archivo entidades.mtw , que recoge datos relativos a los distritos de la ciudad de Valencia (Fuente: Anuario Estadístico de Valencia 1999).
Las variables son las siguientes: NOMBRE (Nombre abreviado del distrito), SUPERFICIE (Superficie del distrito en m 2 ), HABITANTES (Número de habitantes), TURISMOS (Número de turismos), VIVIENDAS (Número de viviendas), A E Industriales (Número de actividades económicas industriales), ENTIDADES BANCARIAS y TIPO (1: Centro, 2: Pericentro, 3: Periferia).
Obtenemos el dendograma que aparece más abajo, y nos interesa responder a las siguientes preguntas:
a) ¿Cuáles son las dos observaciones más similares entre sí?
b) ¿Cuáles son las dos observaciones más distintas al resto?
c) Si realizamos una división en 4 grupos, ¿qué observaciones contendría cada grupo? ¿Y si la división fuera en 7 grupos?
d) ¿Qué se podría decir sobre la homogeneidad de los datos?
a) Las observaciones más similares entre sí son las que menor distancia presentan: en este caso, la 5 y la 12.
b) La observación más distinta al resto es claramente la 19, ya que es la última que se incorpora al grupo, siendo su distancia a él la mayor; la siguiente es la 1.
c) Realizando 4 conglomerados (línea azul), uno de ellos contendría a la observación 19, otro a la 1, otro a la 17 y la 18, y el resto de observaciones (2-16) formarían un grupo. Con 7 grupos (línea roja), seis de ellos serían individuales (observaciones 1, 6, 10, 17, 18, 19) y todas las demás observaciones formarían el grupo restante.
d) Podemos considerar que en general los datos son bastante homogéneos, ya que la mayoría de
observaciones quedan a una distancia inferior a 2 del resto; sin embargo, hay algunas que se alejan mucho de las demás, como es el caso de la 1 y la 19.
1 4 14 2 3 11 5 12 7 8 9 15 13 16 10 6 17 18 19
0,
1,
2,
3,
Observations
Distance
