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N°ladrillos 3780 24 8 16
Rpta.: D
Álgebra
EJERCICIOS DE CLASE Nº 8
1. El coeficiente del quinto término del binomio
7 1 ax 5
es −175, determine la suma
de coeficientes de
a^2 x a.
A) 2^25 B) 1 C) 8^16 D) – 250 E) – 450
Solución:
2
4 7 4 4 1
3 3 3 3
175 a
(^25 25 )
7 1 t (ax) (^4 )
(^7) a 7! a 7.6.5.4! a x. 175. 175 a 5 4 25 4!3! 25 4!.3.2.1 25
Para x a
coeficientes 1 5 4 2.
(^) (^)
(^)
(^)
Rpta.: D
2. El desarrollo del binomio
n 2 8
4 n^4
x x y y
tiene un término independiente.
Determine el valor de T 5nq 4 , si q representa el lugar que ocupa el término
independiente.
A) 10 B) 13 C) 12 D) 9 E) 11
Solución:
n k (^2) n k 2 8 n 8 k 1 k 4 n^4 n^4
k (^) 4 n 4 n n k n k^ k n 8 2 4 n 8 n k^ 2k 4 k 1 k k 1 k
x x i) x y t C x y
y y
t C x y x y t C x .y
^ ^ ^
^
4 n ii) 8 n k 2k 0 n k k 0 4
4n k n 5 n 0 n 0 n 5 5
n 5 k 4 q k 1 5
T 5nq 4 11
Rpta: E
3. La edad de Juan está dada por el grado del segundo término del desarrollo de
n n 3 n 2 2 1 x 3x x 9 1 3x
, la cual tiene 24 términos. ¿Cuántos años tendrá
Juan dentro de 6 años?
A) 50 años B) 46 años C) 52 años D) 48 años E) 30 años
Solución:
^ ^
n (^) n
n n 3 n n 3 2n 3 2 2 1 n 2 x^32 i) x 3x x 9 1 3x x x 3 x 9 x 9 x
^
ii) N° de Términos= 24 → 2n+ 3 + 1 = 24 → 2n+ 3 = 23 →
23 2 x 9
2 22 44 2 1 1 2
iii) t t (x ) ( 9) 207x Grad(t ) 44 1
Juan tiene 44 años y dentro de 6 años tendrá 50 años.
Rpta.: A
4. De (m+n+2) padres de familias citados para la reunión mensual de una I. E. Estatal,
solamente asistieron m padres de familias, donde el valor de m y n se obtienen de la
expresión
m n βx y que corresponde al tercer término del desarrollo de
4 M , donde
15 10 4 5 8 12 M 64x 96x y 48x y 8y. ¿Cuántos padres de familias no asistieron a la
reunión?
A) 12 B) 9 C) 10 D) 8 E) 11
Solución: 15 10 4 5 8 12 5 4 3
4 5 4 3 4 4 5 4 12
i) M 64x 96x y 48x y 8y M (4x 2y )
M [(4x 2y ) ] M (4x 2y )
120 60 90 70 30 4 10 6 30 3 10 7
30 n k 10 k 1 30 4 10 6 k
30 n 10 n
10
30 11 10 11
10
30
30
(x ) (y ) i) x y x y (x ) (y ) (x ) (y ) (x ) (y )
ii) t (x ) (y ) (x ) (y ) n k 4 k 1 6
(x ) (y ) k 7 n 7 4 n 11 (x ) (y )
iii) El término que ocupa el lugar j es: 30 11 j 10 j 1 60 80 30 2 10 8 t (^) j (x ) (y ) x y (x ) (y )
11 j 2 j 9
∴ n+j=11+ 9 = 20
Rpta. : B
7. Al desarrollar el cociente notable
ab b
a
x y
x y
se tiene que el grado absoluto del quinto
término es 95 y los grados absolutos de los términos disminuyen de 6 en 6. Si el
precio de una casaca es (2ab+8) soles, pero por oferta se hace un descuento del
10%, ¿cuál es el precio de oferta de la casaca?
A) S/ 324,00 B) S/ 239,60 C) S/ 243,
D) S/ 221,40 E) S/ 234,
Solución:
a b 5 4 ab 5a 4 5 5 a b 6 5 ab 6a 5 6 6
ab b a b b
a a
x y (x ) y De x y x y
t (x ) y x y GA(t ) ab 5a 4 95 ab 5a 91
t (x ) y x y GA(t ) ab 6a 5 89 ab 6a 84
resolviendo a 7 y b 18
Precio de la casaca: S/2ab+8=2(7)(18) + 8 = S/ 260
Precio de oferta de la casaca: 90%(260) = S/ 234
Rpta.: E
8. El precio de un celular está dado por [38 C( 2)] soles, donde C( 2)es el valor
numérico de C(x) que representa al cuarto término del cociente notable
21 21
2
(x 2) (x 2)
12x 16
. ¿Cuánto se debe pagar por la compra de dos celulares
idénticos?
A) S/ 1076 B) S/ 1116 C) S/ 588
D) S/ 1100 E) S/ 2124
Solución: 3 3 2 2
2 2 2 2
i) (x 2) (x 2) [x 2 (x 2)][(x 2) (x 2)(x 2) (x 2) ]
4[2(x 2 ) x 4] 12x 16
3 3
3 3 2 4
2
3 3 9 9 9
9
21 21 7 7
3 3 3 3
(x 2) (x 2) [(x 2) ] [(x 2) ] ii)
(x 2) (x 2) (x 2) (x 2)
C(x) t [(x 2) ] [(x 2) ] (x 2) (x 2) (x 4)
C( 2) [( 2) 4] 512
Precio de un celular: [38 C( 2)]soles=(38+512) soles =550 soles
Precio de dos celulares: S/
Rpta.: D
EVALUACIÓN DE CLASE Nº 8
1. Si los coeficientes de los términos de lugar cinco y siete en ese orden, del desarrollo
del binomio
n 1 x x
están en la relación de 5 a 2, halle el segundo término.
A) 8x B) x 3 C) 16 x D) 4
3 x E)
3 8x
Solución:
n
n 4 4 n 6 6
5 7
8 2
7 1 3 2 1 1
1 i) Sea el binomio x x
n n t x x t x x 4 6
n (^) n!
4 5 n^ 4 !4!^ n^ 6 !6!^ n^ 6 !6.5.4! 5 ii) n 2 n! n 4 !4! n 4 n 5 n 6 !4! 2
6 n^ 6 !6!
1 0 n 9n 8 n 1 n 8 x x
8 t t x x 8x. 1
(^)
^ ^
(^) (^)
(^)
Rpta.: E
2. El grado absoluto del término central del desarrollo de
n 3 x y es 14. Carmen es
una estudiante regular de la Facultad de Enfermería que tiene finalizado sus
estudios hasta el semestre n. Halle el número de semestres académicos que le
faltan a Carmen para concluir sus estudios universitarios, sabiendo que en total son
10 semestres en estudios.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 2 E) 6
0 0
0 0 1 1 2 2 3 3
2 n
n n
n n
n n n n n (5 2 ) 3 21 117 ... (5 2 ) 1215 0 1 2 3 n
n n n n n (5 2 ) (5 2 ) (5 2 ) (5 2 ) ... (5 2 ) 1215 0 1 2 3 n
n n n n 1 5 5 5 0 1 2 n
^ ^ ^ ^
^ ^
^ ^ ^ ^ ^
2
n n n n 4 4 n 1
n n n (^) n n 1 2 2 ... 2 1215 0 1 2 n
(1 5) (1 2) 1215 3 (2 1) 3 (2 1) n 4 3 27.
^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
Se dan 4 generaciones y para llenarse el contenedor se tarda 4(15 min)=1hora
Rpta.: A
5. El sueldo mensual de Luis está dado por la suma de los exponentes de los términos
del desarrollo del binomio
30 5 2 x 3x
. Si Luis gasta mensualmente el 60% de su
sueldo y el resto de dinero lo ahorra, ¿cuánto tendrá ahorrado Luis al cabo de seis
meses?
A) S/ 3340 B) S/ 3240 C) S/ 3348 D) S/ 3560 E) S/ 3200
Solución:
5 30 5 29 2 5 28 2 2
5 2 29 2 30
30 30 30 30 5 2
30 30
i) x 3x (x ) (x ) (3x ) (x ) (3x ) ... 0 1 2
(x )(3x ) (3x ) 29 30
^ ^ ^ ^ ^
ii) exponentes 5(30) 5(29) 2(1) 5(28) 2(2) 5(1) 2(29) 2(30)
Luis gana mensualmente: S/
Luis ahorra mensualmente: 40%(1395)=S/
Por lo tanto en seis meses tendrá 6(558) = S/ 3348
Rpta.: C
6. Si S(x) es el séptimo término del desarrollo del cociente notable
12 2 12 12 2 12
3
(x 1) (x x 1) (x 1) (x x 1)
2(x 1) 2
, halle el coeficiente del cuarto término
de
3 1 S(x)(x 1).
A) 10 B) 20 C) − 10 D) − 20 E) 60
Solución:
7
1
3 12 3 12
3 12 7 3 7 1 6 5 3
3 1 6 5 3 3 6 5
12 2 12 12 2 12
3 3 3
(x 1) (x x 1) (x 1) (x x 1) (x 1) (x 1) i) 2x (x 1) (x 1)
ii) S(x) t (x 1) (x 1) (x 1) (x 1)
S(x)(x 1) (x 1) (x 1)(x 1) (x 1)
iii) El cuarto término de
6 5 (x 1) es :
6 5 3 3 12 4
t (x ) ( 1) 10x 3
∴ El coeficiente del cuarto término es −10.
Rpta.: C
7. En el cociente notable
153 34
9 2
x y
x y
el grado absoluto del término que ocupa el lugar
k, excede en 42 al grado absoluto del término que ocupa el lugar k contado a partir
del extremo final. Halle el grado absoluto del término que ocupa el lugar k+2.
A) 109 B) 95 C) 67 D) 116 E) 102
Solución:
9 2
9 2 k k
9 k k
153 34 17 17
9 2 9 2
17 k k 1 153 9k 2k 2
17 k k 1 34 2k 9k 9
x y (x ) (y )
x y x y
i) t (x ) (y ) x y GA(t ) 151 7k
t (y ) (x ) y x GA(t ) 25 7k
ii) Dato 151 7k 42 25 7k 14k 84
k 6 y k 2 8
9 2 8
8
17 8 8 1 81 14 iii) t (x ) (y ) x y
GA(t ) 81 14 95
Rpta.: B
8. El número de vehículos vendidos mensualmente por la empresa MITSHUE es 10V,
siendo V, el valor absoluto de la suma de los cubos de las soluciones enteras del
conjunto solución de la inecuación
(^18 17 ) ( x 1 x 1 x 1 1)(x 2x) 0.
¿Cuántos vehículos vendió mensualmente la empresa?
A) 80 B) 100 C) 180 D) 90 E) 20
Solución:
2. Con la información dada en la figura, si AD = DC, calcule tg.
A)
B)
C)
D)
E)
Solución:
o o 30 30
tg. (^2 1 ) 1 ( ) 3 3
Rpta.: D
3. Si
o 3 tg(20 x) , 5
calcule
o tg(155 x).
A) 1 B)
C)
D)
E)
Solución:
Como
o o o o
o o o o o o o
155 135 20 , tg135 1
tg135 tg(20 x ) Luego, tg(155 x ) tg(135 ( 20 x ) ) 1 tg135 tg(20 x)
3 1 5 1
3 4 1 ( 1) 5
(^)
Rpta.: D
4. Una partícula se desplaza del punto A hacia el segmento OB en sentido
antihorario, siguiendo una trayectoria del arco de una circunferencia con centro el
origen de coordenadas, como se muestra en la figura. Calcule la tangente del ángulo
determinado por el desplazamiento de la partícula.
A)
29
2
B) 15
C)
D) 16
E)
Solución:
Del gráfico
tg tg tg 1 tg tg
12 1
2 tg 12 1 1 5 2
29 tg 2
Rpta.: A
5. La suma de tres ángulos , y es igual a cien vueltas y media. Calcule el valor
de la expresión
cos cos sen( ) sen( ) . cos sen sen( ) cos( )
A) tg B) tg C) ctg D) tg E) ctg
Solución:
sen 3 sen sen cos 3cos sen cos cos
sen cos cos sen 2cos sen
sen( ) 2cos sen.
Luego,
sen( ) (1 tg tg ) tg tg( ) (1 tg tg ) tg cos( )
tg tg (1 tg tg ) tg 1 tg tg
tg.
Rpta.: D
8. Si
2 1 acos a tg sen cos
, calcule el valor de la expresión
2
tg( ) tg 2 . 1 a
A)
1 a
B)
1 a
C)
a
1 a
D)
1 a
E)
1 a
Solución:
2 2
2 2
sen 1 acos a a sen sen cos cos acos cos cos sen cos
acos (sen sen cos cos ) cos(( ) )
acos cos( ) cos( ) cos sen( ) sen
a 1 tg( ) tg
tg( ) tg 2 1 a 1 . 1 a 1 a 1 a
Rpta.: D
9. Si
o o
o o
(1 tg 22 )(1 tg 23 ) A (1 tg 25 )(1 tg 20 )
y
o o
o o
3 sen50 cos B sen25 cos
calcule el valor de la expresión
2 2
2
A B
B 1
A) 1 B) 2 C) 3 D)
E)
Solución:
Se tiene que
o tg^ tg 45 tg( ) tg tg tg tg 1 1 tg tg
Luego aplicando en la expresión A
o o o o
o o o o
1 tg 23 tg 22 tg 23 tg 22 1 1 A 1 1 tg 20 tg 25 tg 25 tg 20 1 1
Desarrollando la expresión B
o o o o o o
o o o o o o
o
o
2[ sen50 cos50 ] 2 2 2[ cos30 sen50^ sen30 cos50 ] B (^1 1) 2 [ cos 45 sen25 sen 45 cos 25 ] 2 [ sen25 cos 25 ] 2 2
2sen 2 2 sen
Finalmente, haciendo los reemplazos
2 2
2
A B 1 2
B 1 2 1
Rpta.: C
10. Si se verifica que
2 tg y msenx sec y 1 0 y (tgx ctg x )( tgy ctgy ) n,
halle sen(x y).
A)
2 2m(n m ) B)
2n
m
C)
2m
n
D)
2 n m
mn
E)
2 n m
mn
Solución:
De la primera condición se tiene
sec y msen x sec y sen x cos y m
De la segunda condición se tiene
sec x csc x sec y csc y n sec x csc x sec y csc y n
n sen x cos y sen y cos x
De (1) y (2) se tiene
m m n sen y cos x sen y cos x n
Luego,
2 1 m n m sen x y m n mn
Rpta.: D
EVALUACIÓN DE CLASE Nº 8
A) – 176
B) 176
C) 228
D) – 352
E) 352
Solución:
2 2 2
I) Calculando, a 12
II) Calculando b: b ( b 1) 29
b 20
Además, x x
Luego, sen x sen cos cos sen
377 sen x 352.
Rpta.: D
4. Considerando la figura dada, determinar el valor tg.
A) 4 B) 2
C) 0,5 D) 0,
E) 0,
Solución:
Tenemos
2
x 3 1 tg , tg( ) , tg 6 x x
3 tg tg tg( ) x 1 tg tg
x 1
6 x
x 1 1 6 x
15 x 6 x 3
tg 0,5. 6
Rpta.: C
5. Si
, simplifique la expresión
o o o o o o o o
tg( 20 ) ctg(80 ) tg( 70 ) tg( 10 ) tg tg( 10 ) tg tg tg tg( 20 ) tg( 10 ) ctg(20 )
A) 3 B) 1 C) 2
D) tg tg tg E) ctg ctg
Solución:
Se tiene que
o o o o o o
^ ^ ^
De (1) se tiene que
o o tg( 10 ) tg tg( 10 ) tg tg tg 1
De (2) se tiene que o o o
o o o
tg( 20 ) ctg(80 ) tg( 70 ) 1 tg( 20 ) tg( 10 ) ctg(20 )
o o o o o o o o
tg( 20 ) ctg(80 ) tg( 70 ) tg( 10 ) tg tg( 10 ) tg tg tg 2. tg( 20 ) tg( 10 ) ctg(20 )
Rpta.: C
