Competencia Imperfecta, Resúmenes de Bienestar Social

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Competencia Imperfecta

Iñaki Aguirre

ISBN: 978-84-692-4353-

Notas sobre

COMPETENCIA IMPERFECTA

Iñaki Aguirre

Departamento de Fundamentos del Análisis Económico I

Universidad del País Vasco

2.3. Juegos repetidos. 2.3.1. Horizonte temporal finito. 2.3.2. Horizonte temporal infinito. 2.4. Conclusiones.

Tema 3. El oligopolio Introducción 3.1. El modelo de Cournot. 3.1.1. Duopolio. 3.1.2. Oligopolio ( n empresas). 3.1.3. Análisis de bienestar. 3.2. El modelo de Bertrand. 3.2.1. Producto homogéneo. 3.2.2. Producto heterogéneo. 3.3. Liderazgo en la elección de la cantidad. Modelo de Stackelberg. 3.4. Colusión y estabilidad de los acuerdos. 3.4.1. Colusión a corto plazo. 3.4.2. Estabilidad de los acuerdos. Horizonte temporal finito e infinito.

Tema 1. El monopolio

Introducción

Decimos que una empresa es un monopolio si es el único vendedor de un bien (o bienes) en un determinado mercado. Problemas: dificultad para definir bien y mercado. Las razones que pueden llevar a una empresa a ser monopolista son por ejemplo:

• Control de materias primas.
• Adquisición del derecho exclusivo de venta (patente, subasta..).
• Mejor acceso al mercado de capitales.
• Rendimientos crecientes a escala..etc.

En contraste con una empresa perfectamente competitiva que se enfrenta a una demanda perfectamente elástica (toma el precio como un dato), un monopolista se enfrenta a la demanda de mercado. Por tanto, una empresa con poder de monopolio sobre un cierto mercado será consciente de que la cantidad de producto que puede vender es una función continua del precio que cobre. Es decir, tendrá en cuenta que reducciones en el nivel de producción elevarán el precio que puede cobrar. El monopolio tiene, por tanto, poder para fijar el precio de mercado. Mientras que podemos considerar a una empresa perfectamente competitiva como precio-aceptante o tomadora de precios, un monopolio es precio-decisor o fijador de precios.

max ( ) (^) max 0 ( )

( ) ( )

p (^) p m x xm m m m m

p (^) x

x x p p p x

Problema de maximización de beneficios en función del precio max p Π ( p ) ≡ max p px p ( ) − C x p ( ( )) Π '^ ( p ) = x p ( ) + px '^ ( p ) − C '^ ( ( x p )) x ' ( p ) = 0 Π'' ( p ) = 2 x '^ ( p ) + px ''^ ( p ) − C ''^ ( ( x p )) ⎡^ x '^ ( p ) ⎤^2 − C '^ ( ( x p )) x ''( p ) < 0 ⎣ ⎦

Problema de maximización de beneficios en función de la producción max x ≥ 0 Π ( ) x ≡ max x ≥ 0 p x x ( ) − C x ( ) Π '^ (0) = p (0) − C '^ (0) > 0 ⇒ p (0) > C '(0) Π^ ' ( ) x = p x ( ) + xp '^ ( ) x − C '^ ( ) x = 0 ⇔ Π '( xm ) = 0 Condición de primer orden. Π ''^ ( ) x = 2 p '^ ( ) x + xp ''^ ( ) x − C ''( ) x < 0 Función de beneficios estrictamente cóncava (caso

regular).

Π '^ (0) > 0

Π ( ) x

x^ m

Π '^ ( xm ) = 0

Π

x

(ii) Interpretación del ingreso marginal

El ingreso marginal, r '^ ( ) x , es:

r^ '^ ( ) x = (^) N p x ( ) (^) + (^) N xp '( ) x (1)

(iii) Condición ingreso marginal igual a coste marginal El nivel de producción que maximiza beneficios (solución interior) satisface: Π '^ ( x m^ ) = r '^ ( xm ) − C '^ ( x m^ ) = p x ( m ) + xp '^ ( xm ) − C '( xm ) = 0 (2)

En el nivel de producción óptimo para el monopolista el beneficio marginal se hace cero,

Π' ( xm ) = 0; es decir, un cambio infinitesimal en el nivel de producción no altera los

beneficios. Un nivel de producción tal que Π '^ (.) > 0 no puede maximizar beneficios ya que

un aumento (infinitesimal) en la producción aumentaría los beneficios. Del mismo modo, un

nivel de producción tal que Π '^ (.) < 0 no puede maximizar beneficios ya que una reducción

(infinitesimal) en la producción aumentaría los beneficios.

En el nivel de producción que maximiza beneficios el ingreso marginal se iguala con el coste marginal, r '^ ( x m^ ) = C '( xm );es decir, un cambio infinitesimal en el nivel de producción

altera el ingreso total y los costes en la misma medida. (Dicho de otra forma, un aumento infinitesimal en la producción eleva el ingreso en la misma cuantía que lo que aumenta el

Ingreso adicional por vender una unidad adicional.

Ingreso perdido por tener que vender las unidades ya producidas a un precio menor.

r x p x ε( ) x

= ⎡⎢^ − ⎤⎥

⎢⎣ ⎥⎦^ (7)

En nivel de producción de monopolio se igualan ingreso marginal y coste marginal:

' (^) ( ) ( ) 1 1 '( ).

r x p x ε( ) x C x

= ⎡⎢^ − ⎤⎥=

⎢⎣ ⎥⎦^ (8)

Dado que el coste marginal siempre es no negativo (mayor o igual que cero) el ingreso marginal tendrá que ser no negativo y esto ocurre cuando la elasticidad en valor absoluto es mayor o igual que 1. Es decir:

'( ) 0 ( ) 1 (^10) ( ) 0 ( ) 1.

C x p x ε ( ) x p x ≥ ε x

≥ ⇒ ⎡⎢^ − ⎤⎥≥ ⇒ ≥

(v) Índice de Lerner de poder de monopolio Vamos a obtener el Índice de Lerner de poder de monopolio (o poder de mercado) o lo que es lo mismo el margen precio- coste marginal relativo. De la condición (8) obtenemos:

( ) ( ) '( ). ( ) p x p x C x

− ε x =

Por tanto obtenemos:

( ) '( ) (^1). ( ) ( )

p x C x

p x ε x

Luego cuanto menor sea la elasticidad precio de la demanda en valor absoluto mayor será el

Índice de Lerner. Si ε ( ) x = 0 el poder de monopolio sería^ p x ( )^ p x^ −( )^ C^ '( ) x = ∞ y si

ε ( ) x = ∞ (como ocurriría con una empresa perfectamente competitiva el poder de

monopolio sería nulo,^ p x ( )^ p x^ −( )^ C^ '( ) x^ =0.

(vi) Representación gráfica

El ingreso marginal, r '^ ( ) x = p x ( ) + xp '( ), x se encuentra por debajo de la inversa de demanda

ya que la función inversa de demanda tiene pendiente negativa, p '^ ( ) x < 0. Es decir,

r '^ ( ) x < p x ( ) si x > 0, pero ambas funciones tienen la misma ordenada r '^ (0) = p (0). El

beneficio del monopolista (si no hay costes fijos) viene dado por:

' 0

m (^) ( x m (^) ) p xm m (^) C x ( m (^) ) p xm m x^ m^ C ( ) z dz p m C x (^ mm ) xm x

Π = Π = − = − = ⎡⎢^ − ⎤⎥

∫ ⎣ ⎦

p^ m

p

r^ '^ ( ) x p x ( ) x m x

C^ '^ ( ) x

Π m

a) Demanda estrictamente cóncava o lineal: p ''^ ( ) x ≤ 0 Π ''^ ( ) x = (^2) N p '^ <( ) 0 x (^) + x p N ''≤^ ( ) 0 x −  C (^) ≤ '' 0 ( ) x < 0

b) Demanda estrictamente convexa: p ''^ ( ) x > 0 r^ ''^ ( ) x = (^2) N p ' <^ ( ) 0 x (^) + x p N'' (^) >( ). 0 x Hay que comprobar que r ''^ ( ) x < C ''( ). x

2. Costes estrictamente cóncavos: C ''^ ( ) x < 0 (CM decreciente)

Hay que comprobar en cada caso si r ''^ ( ) x < C ''( ). x

1.2. Demanda lineal, demanda de elasticidad constante y coste marginal constante (i) Demanda lineal y coste marginal constante Inversa de demanda: p ( ) x = a − bx ( a > 0, b > 0 ).

Coste de producción: C x ( ) = cx ( c ≥ 0 ). ( a > c )

Ingreso marginal: r '^ ( ) x = a − 2 bx.

Pendiente inversa demanda: p '^ ( ) x = − b

Pendiente ingreso marginal:^ d r (^ dx^ '( )) x^ = − 2 b

Función de beneficios estrictamente cóncava: Π ''^ ( ) x = r ''( ) x = − 2 b < 0.

Beneficio marginal en cero: Π '^ (0) = p (0) − C '(0) = a − c >0.

Maximización de beneficios: r '^ ( x m^ ) = C '( xm ) ⇒ a − 2 bx m = c ⇒ xm = a 2^^ − bc

Precio de monopolio: p^ m = p x ( m ) ⇒ p m^ = a − bx m^ ⇒ p m^ = a^ 2 + c

Beneficios de monopolio:Π^ m^ = Π ( xm ) = [ p x ( m^ ) − c x ] m^ = [ p m^ − c x ] m = a^ 2 − c a 2^ − b^ c =(^ a^ 4 − bc )^2

(ii) Demanda de elasticidad constante y coste marginal constante Demanda: x p ( ) = Ap − b ( A > 0, b > 1 ).

Coste de producción: C x ( ) = cx ( c > 0 ).

Elasticidad precio de la demanda: ε ( p ) = − x '^ ( p ) x p ( p^ ) = bAp −(^^ b +1) App − b = b.

Inversa de demanda: 1 1 p x ( ) = A xb^ − b.

Ingreso marginal:

' 1 (^ 1)^1

r ( ) x = Ab bb − x^ − b.

Pendiente ingreso marginal: ''^1 (1^ ) ( ) (^2 1) b b b^ b r x A (^) b x

−^ −^ +

Función de beneficios estrictamente cóncava:

'' ''^1 (1^ ) ( ) ( ) (^2 1) 0 1 b b b^ b x r x A (^) b x b

− −^ +

Beneficio marginal en cero: Π '^ (0) = ∞ >0.

Maximización de beneficios:

' (^) ( ) ' (^) ( ) ' (^) ( ) 1 (^ 1)( ) 1 ( ) 1 = 1 ( 1) r x m^ C x m^ r x A b^ b^ x m^ b^ c x m b^ A b b c b b

= ⇒ = −^ −^ = ⇒ −^ −

1 1 ( ) = (^) ( 1) ( 1) m (^) b b^ b b^ b^ m b b b x A (^) b c x A (^) b c

⎛ − ⎞^ − ⎛ − ⎞ −^ ⎛ ⎞− −

⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ − ⎟⎠ ⇒^ = ⎜⎝ − ⎟⎠

Precio de monopolio:

Π '^ ( ) x = p x ( ) + xp ' ( ) x − c = 0 (11) ⇒ x m ( ) c → producción de monopolio como función

implícita del coste marginal.

Π ''^ ( ) x = 2 p '^ ( ) x + xp ''^ ( ) x − C ''( ) x < 0 Función de beneficios estrictamente cóncava (caso

regular). Hay dos formas equivalentes de analizar cómo cambia la producción de monopolio cuando cambia el coste marginal:

(i) Diferenciando completamente la condición (11) con respecto a x y a c.

⎡⎣ 2 p '^ ( ) x + xp '' ( ) x ⎤⎦ dx − dc = 0

Despejando:

' '' C2ºO^0

dx dc p x xp x <

Por tanto, un aumento infinitesimal del coste marginal reduce la producción y una reducción infinitesimal del coste marginal eleva la producción.

(ii) Utilizando el hecho de que xm ( ) c es una función implícita del coste marginal. Por tanto,

por definición x m ( ) c satisface la condición de primer orden; es decir

p x ( m^ ( )) c + x m^ ( ) c p '( x m ( )) c − c = 0 Derivando con respecto al coste marginal:

2 p '^ ( xm ( )) c xm '^ ( ) c + xm ( ) c p ''^ ( xm ( )) c xm '( ) c = 1 ⎡⎣ 2 p^ '^ ( x m^ ( )) c + x m^ ( ) c p ''^ ( x m^ ( )) c ⎤⎦ x m '( ) c = 1

Despejando: x^ m^ '( ) c^^ =^ ⎡ (^2) p ' (^) ( x m (^) ( )) c + x^1 m ( ) c p ''( xm ( )) c ⎤<^0 ⎣ ⎦

Una vez obtenido el cambio en la producción al cambiar el coste marginal es directo obtener el cambio en el precio. P'^0 ' '' C2ºO^0

dp dp dx p x dc dx dc p x xp x

<

<

Ejemplos (i) Demanda lineal

1 2 2 p m^ a^ c^ dp^ m dc

N

' ' '' 0

dp p x dc p x x p x =

Con demanda lineal el aumento en el precio es la mitad del aumento en el coste

marginal: dp =^12 dc

(ii) Demanda de elasticidad constante

p m^ = (^) b b −^ 1 c → dpdc^ m^ = (^) bb − 1 > 1

(^1 1) ' 1 (1 ) (^) '' 1 (1 2 ) ( ) ( ) 1 ( ) (1^2 ) b b b b^ b b b bb p x A x p x A (^) b x p x A (^) b x

− − +^ + − +

'' 1 (1 2 ) ' (^2) 1 (1 )

2 ( )^ (1^ )^2 (1^ )^1

b b^ b b bb

dp b dc (^) x p x A b x b b p x (^) x b b A (^) bx

−^ + − +

bien y recoge “todo lo demás”: cantidad de dinero que le queda al consumidor para adquirir otros bienes una vez que ha gastado la cantidad óptima en el bien x. Supondremos que el consumidor representativo tiene una Función de Utilidad Cuasi-lineal : U x y ( , ) = u x ( ) + y ( (0) u = 0; u '^ (.) > 0; u ''(.) <0)

(ii) Disposición máxima a pagar y disposición marginal a pagar Disposición máxima a pagar , R ( ) x : lo máximo que estaría dispuesto a pagar el

consumidor por x unidades del bien. Estará pagando lo máximo si justo queda indiferente entre consumir x unidades pagando R ( ) x y no consumir el bien, dedicando su dotación de

renta, m , al consumo del resto de los bienes. Es decir: U x m ( , − R x ( )) = U (0, m )

Nótese que el consumidor debe quedar indiferente y, por tanto, se debe cumplir con igualdad

la anterior condición. Si se diera el caso de que U x m ( , − i R x ( )) > U (0, m )entonces el

consumidor estaría dispuesto a pagar una cantidad mayor que i R^ ( ) x^ y si

U x m ( , − R x^ i( )) < U (0, m )entonces i R ( ) x sería mayor que su disposición máxima a pagar.

Como la función de utilidad es cuasi-lineal: U x m ( , − R x ( )) = U (0, m ) u x ( ) + m − R x ( ) = u (0) + m R ( ) x = u x ( )

Por tanto, cuando la función de utilidad es cuasi-lineal: u x ( ) → Disposición máxima a pagar

Disposición marginal a pagar : es el cambio en la disposición máxima a pagar ante una variación infinitesimal en la cantidad consumida.

u '^ ( ) x → Disposición marginal a pagar

(iii) Función de demanda independiente de la renta

[ ]

( , , ) max, ( ) (^) max, , ( ) .

L x y x y u x^ y^ x y u x y m y px s a y px m

λ

' '

1 0 ( )^ Función inversa de demanda 0

L (^) u x p x L p u x y L (^) m y px

La función directa de demanda x ( p ) es la inversa de esta función y por tanto satisface la condición de primer orden: p = u '^ ( ( x p ))→ Función de demanda

Propiedad de la función de utilidad cuasi-lineal : la función de demanda es independiente de la renta.

Derivando con respecto a p obtenemos: 1 = u ''^ ( ( x p )) x ' ( p ) ' '' 0

( ) 1 0 pendiente negativa x p (^) u ( ( x p )) <