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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
ÁLGEBRA LINEAL • RESUMEN NO. 13
Semestre 2018 B Departamento de Formación Básica
1. COMPLEMENTO ORTOGONAL
Sea (E, +, ·, K ) un espacio vectorial de dimensión finita, W un subespacio vectorial de E, entonces E = W ⊕ W⊥.
TTEOREMAEOREMA 11
Sea (E, +, ·, K ) un espacio vectorial de dimensión finita, W un subespacio vectorial de E, entonces (^) ( W⊥
= W.
TTEOREMAEOREMA 22
Sea (E, +, ·, K ) un espacio vectorial y H un subespacio vectorial de E, con ba- se ortogonal {u 1 , u 2 ,... , un}. Para v ∈ E, la proyección ortogonal de v sobre H, denotado por proyH v, se define por:
proyH (v) = 〈v,^ u^1 〉 〈u 1 , u 1 〉 u 1 + 〈v,^ u^2 〉 〈u 2 , u 2 〉 u 2 + · · · + 〈v,^ un〉 〈un, un〉 un,
donde proyH (v) ∈ H.
DDEFINICIÓNEFINICIÓN 1: Proyección ortogonal1: Proyección ortogonal
Sea (E, +, ·, K ) un espacio vectorial de dimensión finita, H un subespacio vectorial de E y v ∈ E. Se tiene que
v = proyH (v) + proyH⊥ (v).
TTEOREMAEOREMA 3: Teorema de la proyección3: Teorema de la proyección
Departamento de Formación Básica Resumen no. 13
Sea (E, +, ·, K ) un espacio vectorial de dimensión finita, H un subespacio vec- torial de E y v ∈ E. Se tiene que el vector en H más cercano a v es proyH (v), es decir, ‖v − w‖ es mínima cuando w = proyW (v).
TTEOREMAEOREMA 44
2. APLICACIONES LINEALES
Sean (E, + 1 , · 1 , K ) y (F, + 2 , · 2 , K ) espacios vectoriales. A una función T : E → F se la llama una aplicación lineal (transformación lineal) si satisface que para todo α ∈ K , y todo u, v ∈ E se cumple
- T(u + 1 v) = T(u) + 2 T(v) y
- T( α · 1 v) = α · 2 T(v).
DDEFINICIÓNEFINICIÓN 2: Aplicación lineal2: Aplicación lineal
En adelante, consideraremos (E, + 1 , · 1 , K ) y (F, + 2 , · 2 , K ) espacios vectoriales. Notaremos por L(E, F) el espacio de las aplicaciones lineales de E en F.
En caso de que no exista riesgo de ambigüedad, dado T ∈ L(E, F), se deno- tará
- T(u + v) = T(u) + T(v) y
- T( α v) = α T(v),
para α ∈ K y u, v ∈ E.
Sea T ∈ L(E, F). Para todo u, v, v 1 , v 2 ,... , vn ∈ E y α 1 , α 2 ,... , α n ∈ K
- T( (^0) E) = (^0) F;
- T(u − v) = T(u) − T(v): y
3. T
( (^) n
k= 1
α kvk
n
k= 1
α k T (vk).
TTEOREMAEOREMA 55
Departamento de Formación Básica Resumen no. 13
PROPOSICIÓN 6. Sea T ∈ L(E, F). Si {u 1 , u 2 ,... , un} es una base de E, enton- ces T está completamente determinada por
{T(u 1 ), T(u 2 ),... , T(un)}.
Es decir, si se conoce el valor de {T(u 1 ), T(u 2 ),... , T(un)}, entonces se conoce T(u) para todo u ∈ E.
3. NÚCLEO E IMAGEN
Sea T ∈ L(E, F).
- El núcleo de T, denotado por ker(T), está definida por:
ker(T) = {v ∈ E : T(v) = 0 }.
- La imagen de T, denotada por img(T), está definida por:
img(T) = {w ∈ F : w = T(v) para algún v ∈ E}.
DDEFINICIÓNEFINICIÓN 3: Núcleo e imagen de una aplicación lineal3: Núcleo e imagen de una aplicación lineal
PROPOSICIÓN 7. Sea T ∈ L(E, F), entonces
- ker(T) es un subespacio vectorial de E.
- img(T) es un subespacio vectorial de F.
PROPOSICIÓN 8. Sea T ∈ L(E, F). Se tiene que T es inyectiva si y solo si ker(T) = { 0 }.
Sea T ∈ L(E, F).
- Se llama nulidad de T a dim(ker(T)).
- Se llama rango de T a dim(img(T)).
DDEFINICIÓNEFINICIÓN 4: Nulidad y rango de una aplicación lineal4: Nulidad y rango de una aplicación lineal
Resumen no. 13 Departamento de Formación Básica
Sea T ∈ L(E, F) con E un espacio de dimensión finita. Se tiene que
dim(E) = dim(ker(T)) + dim(img(T)).
TTEOREMAEOREMA 99
PROPOSICIÓN 10. Sea T ∈ L(E, F) con E un espacio de dimensión finita. Si dim(E) = dim(F), entonces se tiene que la siguientes son equivalentes
- T es inyectiva,
- T es sobreyectiva.
