Conceptos básicos de electromagnetismo, Apuntes de Matemáticas

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Jaime Vega Pérez

Saúl Vega Pérez

Jaime Vega Pérez

Saúl Vega Pérez

Instituto Politécnico Nacional

PRIMERA EDICIÓN EBOOK

MÉXICO, 2014

GRUPO EDITORIAL PATRIA

ELECTROMAGNETISMO

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III

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Al Instituto Politécnico Nacional por permitirnos ser parte de su planta docente de ESIME-Ticomán, como profesores de Física e investigadores en el proyecto SIP con registro 20120731.

A la profesora Blanca García del CECyT 1 por su apoyo en la captura del manuscrito.

Al profesor Rodolfo Vega García del CECyT 7 por su apoyo con experimentos de laboratorio

L OS AUTORES

UNIDAD &MFDUSPTUÃUJDB



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VII

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• UNIDAD 1 Electrostática
  • 1.1 Introducción
  • 1.2 Electrización
  • 1.3 Electrostática
  • 1.4 Carga eléctrica
  • 1.5 Ley de Coulomb
  • 1.6 Campo eléctrico
  • 1.7 Densidad de carga
  • 1.8 Ley de Gauss
  • 1.9 Intensidad de campo eléctrico en una placa
  • 1.10 Energía potencial eléctrica ( E p )
  • 1.11 Potencial eléctrico
    • dentro de un campo eléctrico 1.12 Relación de energías de una carga en movimiento
  • Problemas para resolver
  • Problema reto
  • Referencias bibliográficas
  • Referencias electrónicas
• UNIDAD 2 Capacitancia
  • 2.1 Introducción
  • 2.2 Capacitor eléctrico
  • 2.3 Capacitor con dieléctricos
  • 2.4 Almacenamiento de energía del capacitor
  • 2.5 Conexión de capacitores
  • 2.6 Aplicaciones del capacitor
  • Problemas para resolver $POUFOJEP
  • Problema reto
  • Referencias bibliográficas
  • Referencias electrónicas
• UNIDAD 3 Electrodinámica
  • 3.1 Introducción
  • 3.2 Conceptos y definiciones
  • 3.3 Intensidad de corriente eléctrica
  • 3.4 Resistividad y resistencia eléctrica
  • 3.5 Ley de Ohm
  • 3.6 Energía y potencia eléctrica
  • 3.7 Fuente de fuerza electromotriz
  • 3.8 Conexión de resistores eléctricos
  • 3.9 Leyes de Kirchhoff
  • 3.10 Circuito resistencia capacitancia
  • Problemas para resolver
  • Problema reto
  • Referencias bibliográficas
  • Referencias electrónicas
• UNIDAD 4 Electromagnetismo
  • 4.1 Introducción
  • 4.2 Conceptos fundamentales
  • 4.3 Ley de Coulomb en el magnetismo
  • 4.4 Ley de Biot-Savart
  • 4.5 Movimiento de partículas en un campo magnético
    • por el que circula corriente 4.6 Fuerza magnética sobre un conductor
  • 4.7 Fuerza y momento de torsión sobre una bobina
  • 4.8 Líneas de campo magnético y flujo magnético
  • 4.9 Ley de Gauss para campo magnético
  • 4.10 Ley de Ampere
  • 4.11 Galvanómetro d´Arsonval
  • 4.12 Aparatos de medición
  • Problemas para resolver
  • Problema reto
  • Referencias bibliográficas IX
  • Referencias electrónicas
• UNIDAD 5 Inducción electromagnética
  • 5.1 Introducción
  • 5.2 Ley de inducción de Faraday
  • 5.3 Ley de inducción de Lenz
    • de un campo magnético 5.4 Fem inducida en un circuito eléctrico
    • en un circuito magnético 5.5 Ley de Ohm, potencia y fem inducida
  • 5.6 Fem inducida y campos eléctricos de una espira
  • 5.7 Inductancia
  • 5.8 Transformador eléctrico
  • 5.9 Ecuaciones de Maxwell
  • 5.10 Generador eléctrico
  • Problemas para resolver
  • Problema reto
  • Referencias bibliográficas
  • Referencias electrónicas

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1.1 Introducción

Las primeras observaciones y registros de los fenómenos eléctricos datan de hace 600 años antes de Cristo. Uno de los primeros en hacerlo fue Tales de Mileto, quien se dio cuenta que al frotar un pedazo de ámbar (en griego elektron ) con lana o piel, el ámbar adquiría la propiedad de atraer cuerpos ligeros y pequeños como un cabello. No obstante, tuvieron que pasar 2 300 años de estas primeras observaciones y registros para que se considerara el estudio del fenómeno eléctrico. Cuando William Gilbert (1544-1603) observó que asimismo al frotar el vidrio, el azufre y el lacre con otros materiales estos también adquirían la propiedad de atraer objetos pequeños; a este fenómeno lo llamó electricidad. Sin embargo, después de los estudios de Gilbert, tuvieron que pasar más de 100 años para que, en aquel entonces, el físico empírico estadounidense Benjamín Franklin (1726-1790), efectuara los primeros estudios sobre fenómenos eléctricos y determinara que todos los cuerpos tienen una sus- tancia llamada fluido eléctrico que los mantenía sin carga o en estado neutro; asimismo, estableció que al frotarse dos cuerpos, uno de ellos siempre ganaba fluido eléctrico y, por tanto, adquiría carga, a la que llamó carga vítrea o positiva, mientras que el otro cuerpo perdía fluido eléctrico y, entonces, adquiría carga eléctrica, a la que llamó resinosa o negativa. Así, Franklin fue el primero en considerar la existencia de dos tipos de cargas eléctricas: positiva y negativa.

Estructura atómica de la materia

El interés por conocer y explicar el origen de los fenómenos eléctricos y saber más acerca de la cons- titución de los materiales y su estructura, llevó a los científicos, desde hace un par de siglos, a estudiar la estructura física de los materiales. Como resultado, se ha descubierto que los materiales están compuestos por moléculas, las cuales están integradas por el enlace de dos o más elementos; de esta manera, la molécula es la mínima cantidad de la sustancia, mientras que la mínima cantidad del elemento es el átomo. Asimismo, los diversos estudios efectuados y desarrollados sobre el átomo han demostrado que esta pequeñísima partícula del elemento tiene masa y carga eléctrica. Los primeros resultados propiciaron el interés de seguir investigando, a fin de poder dar una explicación sobre la constitución del átomo. Entre los científicos que se dedicaron al estudio de la estructura del átomo y obtuvieron resultados acertados, destacan Joseph John Thomson, Ernest Rutherford y Niels Bohr; así, cada uno de ellos desarrolló diferentes modelos atómicos, los cuales se desarrollan a continuación.

Modelos atómicos

Modelo atómico de Thomson

El científico británico Joseph John Thomson (ganador del Premio Nobel de Física en 1906), quien vivió de 1856 a 1940, fue uno de los primeros en estudiar la estructura de los materiales. En 1897, mientras realizaba experimentos eléctricos sobre la relación carga masa de las partículas electrizadas, descubrió el electrón. De sus propuestas, con las cuales intentaba dar una explicación acerca de la constitución del átomo, y con base en sus experimentos, describió al átomo como una pequeñísima esfera de mate- ria cargada positivamente, en cuyo interior se encuentran pequeñísimas partículas con carga eléctrica negativa, a las que llamó electrones, las cuales están distribuidas en capas concéntricas, como se muestra en la figura 1.1.

Protón

Electrón

Figura 1.1 Representación esquemática del modelo atómico de Thomson.

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Modelo atómico de Rutherford

Ernest Rutherford, científico británico (1871-1937), se dedicó al estudio de la constitución física de la estructura atómica de los materiales. Así, mien- tras realizaba trabajos de investigación con la emisión de partículas alfa, las cuales tienen carga eléctrica positiva y son emitidas por materiales ra- diactivos, pudo observar el fenómeno de dispersión de las partículas alfa en el momento que estas inciden sobre otro material. Por tanto, llegó a la conclusión de que el átomo tiene un núcleo en donde se concentran su masa y su carga eléctrica positiva, en tanto que los electrones, que tienen carga eléctrica negativa, se mueven en trayectorias circulares al exterior del núcleo. Por la profundidad de sus estudios, a Rutherford se le atribuye el descubrimiento del núcleo del átomo, ya que incluso pudo determinar que su diámetro es de 1 r 10 14 [m], y que el diámetro de todo el átomo es del orden de 10 r 10 10 [m]. En 1908, Rutherford fue galardonado con el premio Nobel por sus trabajos en física nuclear y su teoría de la estructura del átomo. La figura 1.2 representa de manera gráfica la estructura atómica propuesta por Rutherford.

Modelo atómico de Bohr

Niels Bohr (1885 a 1962) físico danés, quien fue galardonado con el Premio Nobel debido a sus apor- taciones en el campo de la física nuclear y en el de la estructura atómica. Dedicó gran parte de su vida y sus estudios a encontrar una explicación sobre la constitución del átomo. Con ese objetivo en mente, se valió de los resultados de sus investigaciones sobre la radiactividad y los rayos X; asimismo, también consideró los resultados reportados por Thomson, quien en 1897 descubrió el electrón, y tiempo des- pués comprobó que este poseía carga negativa.

Como resultado de sus investigaciones, Bohr propuso su teoría sobre la estructura atómica, en la cual concluyó que el átomo está constituido por un núcleo en donde se localizan las cargas posi- tivas, a las que denominó protones, y en donde además también se localiza la masa del átomo. Asi- mismo, también estableció que la masa del átomo está compuesta por pequeñas partículas neutras eléctricamente, a las que llamó neutrones, las cuales están constituidas por la unión de un protón y un electrón, mientras que alrededor del núcleo giran los electrones siguiendo trayectorias de órbitas elípticas. Su teoría también propone que los electrones al exterior del núcleo no se encuentran en forma aleatoria, sino que están distribuidos en siete capas, respetando un orden. Así, en las capas que identificó con las letras K, L, M, N, O, P y Q, la cantidad de electrones en cada una de estas se establece sobre la base del algoritmo N  2 n^2 ; donde N el número de electrones y n el número con- secutivo del 1 al 7, según el orden de la capa que corresponde. A su vez, en estas capas los electrones se distribuyen en niveles electrónicos, a los que Bohr representó con las letras s, p, d, f. Es importante destacar de su teoría que a los electrones de la última capa y nivel electrónico les dio el nombre de electrones de valencia correspondientes a cada elemento. Estos electrones son los que facilitan el enlace entre los átomos. Además, los electrones de valencia permanecen inestables y, por tanto, pueden mo- verse con mayor facilidad de un nivel electrónico a otro dentro del mismo átomo. Es precisamente debido a este fenómeno que se genera la elec- trización de los cuerpos. Con base en los resultados experimentales de- rivados de las aplicaciones del modelo, Bohr consideró que los electrones tienen un sentido de giro durante su movimiento, fenómeno al que reco- noció como espín o momento magnético del electrón. En la figura 1.3 se representa el modelo atómico propuesto por Bohr.

1.2 Electrización

La electrización de los cuerpos y la generación de corriente eléctrica se deben al movimiento de los electrones que se encuentran en la banda de valencia dentro de la estructura atómica, conocidos con el nombre de electrones libres, los cuales son inestables; esto es, cuando estos electrones ganan energía por excitación mecánica, temperatura, campo eléctrico, campo magnético, energía luminosa, etcétera, y adquieren energía para pasar a otro nivel energético, llamado banda de conducción. De

Protones

Electrones Masa

m = p +

Figura 1.2 Representación gráfica del modelo atómico de Rutherford.

Figura 1.3 Esquema del modelo atómico de Niels Bohr.

Electrón

Capas electrónicas

Protón

N

P

Núcleo

Alerta

La electrización es el fenómeno mediante el cual los materiales ganan o pierden electrones, debido a que se rompe el estado de equilibrio o de neutralidad eléctrica del átomo.

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energía para pasar a otro nivel energético de mayor energía llamado banda de conducción; por tanto, en la actualidad también se reconoce el método de excitación llamado de absorción óptica.

Electrización por fricción

Consiste en la electrización de un cuerpo mediante el rozamiento de un material diferente con otro cuerpo. Por ejemplo, al frotar una varilla de ebonita con piel, lana o seda, la ebonita se carga negati- vamente porque gana electrones y la piel se carga positivamente porque pierde electrones; entonces, la ebonita, después de frotarse, tiene un exceso de electrones, en tanto que la piel presenta un déficit de electrones. Una forma muy común de observar este fenómeno se suscita cuando una persona, con el cabello limpio y seco, se peina en la oscuridad y se producen pequeñas chispas que pueden mirarse a simple vista; estas chispas son precisamente descargas eléctricas. Algunos ejemplos de aparatos que trabajan con este principio son: los generadores electrostáticos, los generadores eléctricos de corrien- te directa, los generadores de corriente eléctrica alterna, los turbogeneradores, entre otros.

Electrización por contacto

Este fenómeno se presenta cuando un cuerpo eléctricamente neutro es electrizado debido al contac- to mecánico y eléctrico con un cuerpo que ha sido electrizado previamente, pues los electrones del cuerpo electrizado excitan a los electrones de valencia del cuerpo neutro y logran pasarlos a la banda de conducción. Entre los ejemplos de electrización por contacto más significativos destacan las insta- laciones eléctricas domésticas o industriales.

Electrización por inducción

Este fenómeno se suscita cuando un cuerpo neutro simplemente se acerca a un cuerpo electrizado, sin que haya contacto mecánico ni eléctrico; esto se debe a que el cuerpo electrizado con anteriori- dad genera una región de campo eléctrico a su alrededor, el cual interactúa con los electrones de la banda de valencia del cuerpo neutro y los excita, pasándolos al nivel energético de conducción. En el laboratorio, es posible observar este fenómeno acercando una barra de caucho electrizada hacia una pequeña esfera de saúco o de unicel suspendida, debido a que antes de hacer contacto se manifiesta una fuerza de atracción y luego una de repulsión. Los ejemplos más comunes de este tipo de electri- zación son: la inducción del campo eléctrico y magnético en una antena, la cual genera una corriente eléctrica, y la inducción de las ondas de radio y televisión en una antena, la cual las transforma en corriente eléctrica.

Electrización por absorción óptica

Este tipo de electrización se logra cuando la energía contenida en los foto- nes de luz, la cual es absorbida por los electrones de valencia de los mate- riales semiconductores, como el silicio, los excita para pasarlos a la banda de conducción. Por ejemplo, las celdas solares fotovoltaicas.

Aparatos electrostáticos

Electroscopio

Es un aparato de medición de la carga eléctrica. Este dispositivo es muy sensible a la electrización estática, por lo que se utiliza para medir el grado de electrización de los cuerpos (véase figura 1.4).

Generadores electrostáticos

Son aparatos electromecánicos que tienen la propiedad de generar carga eléctrica estática mediante la transformación de la energía mecánica en energía eléctrica; la mayoría de los generadores electros- táticos transforman la energía por el método de fricción. Los aparatos más utilizados en el laboratorio son:

1. El generador electrostático, inventado por lord Kelvin, pero construido y puesto en operación por Van der Graaf, en 1931. Este dispositivo transforma la energía mecánica en energía eléctrica estática; hoy día, consta básicamente de un motor eléctrico, pero antes estaba contituido de una

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Hilo conductor

Laminillas conductoras

Figura 1.4 Representación esquemática del electroscopio.

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manivela que transmitía el movimiento de un rodillo y de una escobilla en movimiento relativo mediante una banda, provocándose la fricción para generar la carga eléctrica estática. La carga eléctrica estática que produce el generador electrostático se alma- cena en una esfera conductora de gran superficie [véase figura 1.5 a)]. En la actuali- dad se pueden generar potenciales de hasta de 3 000 V, aproximadamente.

2. El generador electrostático de Wimshurst es un aparato construido con dos discos de material aislante eléctrico, como el acrílico, en cuya superficie están adheridas la- minillas conductoras de cobre montadas en un eje y en donde, mediante una banda, se transmite el movimiento de giro generado por un motor o bien por una manivela; en este, los discos giran en sentidos contrarios, al mismo tiempo que son friccionados por escobillas de alambre, cuyos extremos están conectados a capacitores eléctricos, construidos con vasos de vidrio y películas metálicas en sus dos superficies, conoci- dos como botellas de Leyden, los cuales se utilizan para almacenar la carga eléctrica generada por fricción [véase figura 1.5 b)]. Con este generador se pueden obtener hasta 8 000 V en promedio.

Principio de conservación de la carga eléctrica

Con base en el modelo atómico de Bohr, es posible afirmar que la materia es eléctrica- mente neutra porque tiene el mismo número de electrones con carga negativa que de protones con carga positiva. Pero, de acuerdo con el fenómeno de electrización, esta se manifiesta por la excitación de los electrones de valencia que logran pasar a la banda de conducción dentro de la estructura atómica. No obstante, este fenómeno sucede siempre y cuando permanece la excitación, porque una vez después (cuando ya no hay excitación) los electrones regresan a su estado original, de esta manera se conserva la car- ga eléctrica adentro del átomo. Conforme lo expuesto antes, el principio de conservación de la carga eléctrica establece que:

“La carga eléctrica de un sistema cerrado permanece constante en todo pro- ceso físico.”

1.3 Electrostática

La electrostática es una rama de la física que aborda el estudio de los fenómenos provocados por cargas eléctricas en reposo. Un ejemplo claro de electrostática se suscita cuando una barra de vidrio se frota con seda; en este caso, los electrones se transfieren del vidrio a la seda, provocando la electri- zación positiva del vidrio y la electrización negativa de la seda (véase figura 1.6).

Ámbar

Vidrio

Barra de Barra de ámbar vidrio

Figura 1.6 Efecto de la fuerza de atracción ejercida por varillas de vidrio y ámbar después de ser frotadas.

Un experimento sencillo de electrostática consiste en tocar dos esferas de corcho con una varilla de vidrio electrizada positivamente; acto seguido, se intenta acercar las dos esferas entre sí y, entonces, es posible observar que estas se repelen. No obstante, se obtiene el mismo resultado cuando se tocan estas mismas esferas con una varilla de ámbar electrizada, la cual se encuentra electrizada negativa- mente. Sin embargo, al acercar una esfera electrizada positivamente a la varilla de vidrio y otra esfera

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Esfera conductora

Discos giratorios

Generador de Van der Graaf

Generador de Wimshurst

a)

b)

Figura 1.5 Generadores electrostáticos. a) Generador de Van der Graaf. b) Generador de Wimshurst.

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trada en un solo punto. Es debido a esta consideración que a los cuerpos electrizados se les denomina cargas puntuales. En el Sistema Internacional (SI), el coulomb (C) es la unidad de carga eléctrica y el MKS es la uni- dad que se utiliza para dimensionar la carga eléctrica contenida en los cuerpos electrizados; el Comité Internacional de Pesas y Medidas eligió este nombre de la unidad de carga eléctrica en honor al cien- tífico Charles-Augustin de Coulomb. Con respecto a la estructura del átomo, es importante puntualizar que la magnitud de la carga eléctrica del electrón es igual a la carga eléctrica del protón, pero de signo contrario. También es im- portante mencionar que la mínima cantidad de carga eléctrica de las partículas que se ha podido medir hasta la actualidad corresponde a la carga eléctrica del electrón. La carga eléctrica del electrón está asociada con su energía expresada en Joules (J), a la cual se le denomina electrón volt (eV). A continuación se expresan algunos datos de importancia de las partícu- las que constituyen el átomo.

Carga eléctrica del electrón: q (^) e  1.60219r 10 19 C Carga eléctrica del protón: qp  1.60219r 10 19 C Carga eléctrica del neutrón: 0 (cero) 1 C  6.24 r 1018 electrones Masa del electrón me  9.11 r 10 31 kg Masa del protón mp  1.67 r 10 27 kg Masa del neutrón mn  1.6748 r 10 27 kg 1 eV  1.602 r 10 19 J

Por su parte, la masa del neutrón es igual a la suma de la masa del electrón y del protón, la cual se expresa con la siguiente fórmula:

m (^) n  me mp  9.11 r 10 31 kg 1.67 r 10 27 kg  1.6748 r 10 27 kg

Es importante aclarar que aunque la masa del neutrón está determinada por la suma de las masas del electrón y del protón, por lo general la masa del neutrón se aproxima a la masa del protón, debido a que la masa del electrón es 4 órdenes de magnitud menor que la masa del protón.

Constante de Avogadro

En química y en física (electricidad), la constante de Avogadro ( N (^) A ) indica el número de partículas que pueden ser átomos o moléculas que se encuentran en un mol de sustancia. La constante de Avogadro debe su nombre al científico italiano Amedeo Avogadro, quien en 1834 publicó sus resultados experimentales respecto del número de partículas que hay en una masa de sus- tancia o un elemento gaseoso sometidas a temperatura y presión constante. De forma experimental, Avogadro relacionó la masa ( m ) de la sustancia, la masa atómica ( m (^) at ) y el número de partículas o átomos ( N (^) p ), y así pudo determinar que existe un valor constante, al que poste- riormente se le llamó “número de Avogadro ( NA )”. Este número establece que el número de partículas como función de la masa es igual a un valor constante que está en función de la masa atómica. De esta forma, estableció la siguiente ecuación:

N

m

N

m

p (^) A

at

El experimento de Avogadro consistió en la comprobación experimental de la relación entre la masa de la sustancia, la masa atómica ( m (^) at ) y el número de átomos o partículas ( N (^) p ), dando como resul- tado una constante: el número de Avogrado. Matemáticamente el número de Avogrado está definido por la siguiente ecuación:

N

N m A m

p at  (1.1)

De esta manera, Avogadro determinó que el valor de la constante es de 6.022 r 1023 mol 1.

O O O O O O O O [

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Entonces:

NA  Número de Avogadro  6.022 r 10 23 mol 1

Np  Nat número de átomos o partículas por m^3

Mat  Masa atómica (g/mol)

M  masa (g)

De sus estudios experimentales, Avogadro pudo concluir el siguiente enunciado:

El volumen de un gas a una presión y temperatura determinada es proporcional al número de átomos o moléculas, independientemente de la naturaleza del gas.

Por su parte, el físico francés Jean Perrin, en 1909, propuso nombrar a esa constante matemática en honor de Avogadro. Perrin obtuvo el premio Nobel de Física en 1926 por la comprobación de la cons- tante de Avogadro a través de diferentes métodos.

Es importante mencionar que el valor de la constante de Avogadro fue determinada por primera vez por Johann Josef Loschmidt, quien en 1865 estableció el diámetro medio de las moléculas en el aire, calculando el número de partículas en un volumen determinado de gas. En la actualidad, la den- sidad numérica de partículas en un gas ideal recibe el nombre de constante de Loschmidt y es aproxi- madamente proporcional a la constante de Avogadro. La relación con Loschmidt es la raíz del símbolo L , el cual en ocasiones se utiliza para determinar la constante de Avogadro.

En este punto es importante resaltar que en literatura alemana puede referirse a ambas constantes con el mismo nombre, distinguiéndolas solo por las unidades de medida.

Por último, la Asociación Internacional de Especialistas en Físico-Química y el Comité de Informa- ción para Ciencia y Tecnología (CODATA, por sus siglas en inglés), acordaron en el año 2006, tomando como referencia la definición de mol y con base en resultados experimentales, que el valor de la cons- tante de Avogadro concuerda con la siguiente definición:

El número de Avogadro, N (^) A , es el número de átomos de carbono contenidos en 12 gramos del isotopo12 de carbono y cuyo valor experimental, medido con técnicas de medición actualizadas y equipo electrónico, corresponde a:

NA  6.02214179(30)r 1023 mol 1

Donde (30) se refiere a la incertidumbre estándar de la constante o error de medición, con- cretamente al valor 0.00000030 r 1023 mol−^.

Ahora bien, resulta importante destacar que utilizando la constante de Avogadro y la carga eléctrica del electrón se puede determinar la electronegatividad estática de las sustancias.

Considérese que se tiene un pequeño trozo de plata, eléctricamente neutro, cuya masa es de 12 gramos. La plata tiene 47 electrones por átomo y su masa atómica o masa molar es de 107.87 g/mol. Determinar: a) El número de átomos. b) El número de electrones del trozo de plata. c) Si el trozo de plata se electriza negativamente hasta que la carga es de 1 mC, calcular el número de electrones ganados, Nega.

Problema resuelto