-Unidad 1-
Geometría Analítica
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Conceptos Básicos de Geometría Analitica, Apuntes de Geometria Analitica
Geometría Analitica - Primer Semestre 2022
Tipo: Apuntes
2021/2022
1 / 32
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-Unidad 1-
Geometría Analítica
15 de
marzo,
CLASE 1
Idea
general.
Se conoce como
geometría
analítica
al
estudio de
ciertas lineas
y
figuras
geometricas
aplicando
técnicas
básicas
del análisis matemático
y
del
algebra
en un determinado
Sistema de
coordenadas.
Lo novedoso de la
geometria
analitica es
que permite representar
figuras
geométricas
mediante
formulas
del
tipo
fix,y)
=
donde
f
representa
una
funcion
otro
tipo
de
expresión
matemática.
La
idea
que
llevóa
la
geometría
analítica
fue
a cada
punto
end
plano
le
corres
ponde
un
par
ordenados
de números
y
a
cada
par
ordenado
de
números
le
corresponde
un
punto
en el
plano.
->
Ejemplo: y
=mxth
mxth
-y
=
0 x
2
y
2
=
5
centro =
fixy)
=
0
xty2-
= 0 radio
=
En
la
geometria
plana
y
del
espacio fue
importante
el
aporte
de los
matemáticos
griegos:
i)
Pitagoras
a.c)
in)Eudides(c.325-c.
a.C)
ii)
Arquimedes
(207-212 a.C)
iv)Apolonio
de
Perga
(262-190 a.C)
Con ellos la
matemática
deja
su
carácter meramente intuitivo
y
empírico
legipcios y
babilonios)
y
se
asume como
disciplina
racional, deductiva
y
logica,
a
partir
de la creación de
definiciones, axiomas, postulados
y
teoremas.
Segmento
rectilines
dirigido.
Porgeometría
elemental,
la
parte
de
una
recta
comprendida
entre dos
puntos,
la llamamos
segmento
rectilines o
simplemente segmento.
Alos
puntos
los
llamaremos extremos
del
segmento.
①EC=AIC
E
=AB
5
18 de
marzo,
2022
CLASE
Sistema
coordenado
lineal
Consideremos
una
recta x'X
cuya
direccion
positiva
es de
izquierda
a
derecha,
y
sea
un
punto
fijo
sobre
esta linea.
SiA
es un
punto
de XX
distinto
de 0
y
situado a
su derecha,
la
longitual
de of
puede
considerarse como
unidad de
longitud.
SiPes
un punto cualquiera
de
XX
situado
a la
derecha
de O
y
tal
que
el
segmento
dirigido
op,
de
longitud
positiva,
contiene
x
veces a la unidad
adoptada
de
longitud,
entonces
diremos
que
el
punto
P
corresponde
al
número
positivo
x.
Analogamente,
si
D'esun
punto cualquiera
de XX
situado
a
la
izquierda
de
8
y
talque
el
segmento
dirigido op'tenga
una
longitud negativa
dex
unidades,
entonces diremos
que
el
punto P'corresponde
al número
negativo
x
pl
P
Este
esquema
se llama sistema coordenado.
X
I
1
I
X
como
todos los
puntos
estan sobre
la misma
: A
recta,
el sistema
sellama s.
unidimensional
e
x
X
o s. coordenado
lineal.
OF:unidad de
longitudl
La recta XX se llama
eje y;
el
punto
0 es
el
OP
=es
x reces
la
longitud
de A
origen
del
s. coordenado lineal.
O'=
es xveces
el A
pero negativo.
El número x
correspondiente
a
P sellama
a cada real le
corresponde
un
punto
coordenada
delpto. Pyse representa por
(x
ya
cada
punto lecorresponde
un real. Escribimos
elpto.
P
y
su
coordenada
juntos,
tal
como
sigue
Pcx
Esta
correspondencia
establecida
es
única.
Distancia entre
dos
puntos.
Teorema: En un sistema coordenado
lineal,
la
longitud
del
segmento
dirigido
que
une
dos
puntos
dados se
obtiene,
en
magnitud y
signo,
restando
la coordenada
del
origen
de
la
coordenada
del
extremo.
La recta x'X
sellana
eje
X;
Y'Y
esel
eje y;
yel
punto
de
interseccion
elorigen.
y
Estos
ejes
dividen
al
plano
en
cuatro
regiones
llama
b.
Fo1x,4) das cuadrantes.
La
dirección
positiva
del
eje
x es hacia
la
derecha;
x'
·
X
X
la direccion
positiva
del
eje Y,
hacia
arriba.
I
Todo
punto
end
plano prede
localizarse
por
medio
del
Sistema
rectangular.
Para ubicar
puntos
en
este
sistema,
necesitamos dar
las
y'
distancias
dirigidas que
hay
decada uno
de los
eyes
al
punto.
Las coordenadas de
punto
seran
entonces
pares
ordenados dela
forma (X,y).
x esla
longitud
del
eje
y
al
punto,
a
lo
que
llamamos abscisa.
y
es la
longitud
del
eje
X
al
punto, y
le denominamos ordenada.
Un
par
ordenado
es un
conjunto
formado
por
dos elementos
que
guardan
un
orden
estricto
entre sí.
Distancia
entre dos
puntos
dados
La distancia
d entre dos
puntos
Prix,
ynl
y
P2(Xe,
yel
está
dada
por
la
fórmula:
d
= (x -Xel
(yz
x1)
~
Demostración: Sea
PnIX,
y1)
y
P2IX2,
Ye);
por
teorema de
pitagoras
AY
d
=
1PPel2=1PAl
IP2Al n)
EYz-
aP2 Tenemos
que:
/P1Al=(B3C
=
(X
-Xe)
~I
IP2Al=
IDER
=
ly-y
D
Y,
⑧
· A
P
Reemplazando
en (1)
13 C
A *X
x
iz
d
(X-Xe)
(y
yz)"
F
d
= (X
xel
(y
yz)
~
Demostrar
que
los
puntos
Pel3,3),
Pel-3,-3)
y
Pel-353,353)
son vertices de un
rectangulo.
·
(-3,33)P
dP2=
·
13,3)P
=xt
(
= 536
-E
-3)P
deobraen
z
-En
27
27
=F
↓pres2+1355-327-105+
Respuesta:
Altener los tres lados
iguales,
el es
-a
9
9
equilatero,
por
lo
tanto,
no sería
=
rectangula.
Divisiónde un
segmento
en una recta
dada
~D
Si
PIXn,yel
y
P2IXe,
yel
son
los extremos dem
segmento
PuP2,
las coordenadas
(X,
y)
demn
punto
P
que
divide a
este
segmento
en la
razon
dada r =
FP:PPe son:
X -
X
rX
y
=
Y
y
r F
1
1
r
->
Las
coordenadas del
punto
medio
den
segmento
dirigida anos
puntos
extremos son
(X, X1) y/X2, Yel
son:
x
=
XX2,
y
=
Yetx
~
Siel
punto
de división Pes externo al
segmento
dirigido
Pia,
la
razon
res
negativa.
22 de
marzo,
2022
CLASE 3
Pendiente de
una
recta.
->
Definición:
Se llama
ángulo
de dos
rectas
dirigidas
al
formado por
los dos lados
que
se
alejar
del vertice
x
Leg
B
PL
*L
El
angulo
I
se llama
ángulo
concoivo.
Para
evitar
este
tipo
de situaciones vamos
a
considerar 0"><
= 1800
Observacion: S:
L
y
Le son
pararelas
diremos
que
el
angulo
comprendido
entreellas es
0 cuando
tienen la misma
dirección
y
de 1800 aando
tienen direcciones
opuestas.
=yo
e
X
F 3
180° =
2
-> Definición:
Se llama
angulo
de indinación de una
recta
el
formado
por
la
parte
positiva
del
eje
x
ylarecta,
cuando
esta se considera
dirigida
hacia
arriba.
X
X
a ④
DX DX
->
Observación:notar
que
el
ángulo
a semreve
entre o = 1800
->
Definición:
Se llama
pendiente
o coeficiente
angular
de una
recta
a
la
tangente
de
su
ángulo
de indinación.
Si a
es
el
ángulo
de inclinación
de una
recta,
la
pendiente
la
desig
namos
por
m.
Setiene
que
m=tanc
->
indeterminada
da 7
al
Si
o
<
900,
el
ángulo
es
agudo,
y
como end
primer
cuadrante la
tangente
es
positiva,
entonces la
pendiente
es
positiva
Si90°
<
el
angulo
es obtuso
y
la
tangente
es
negativa, por
lo
a
la
pendiente
es
negativa.
Si
x
= 00 0 c
=
entonces
la
pendiente
es
Si c =
900,
ya
que
tan 900
no existe, se
dice
que
la recta
no
tiene
pendiente.
~
Teorema:Si
Pn(Xn, y
y
Pe(Xa,
son dos
puntos
diferentes
alesquiera
de
una
recta,
la
pendiente
dela
recta es
m
=Ye
y
Y
x EXz
Xe-X X
X
u
Demostración: Sea el
ángulo
de inclinacion
de la
recta,
entonces
m =tana.
0,42)
Luego
se
tiene
que
tanx:
E
10,4)
- -A
Es
=
1
yz)
=Y
- Ya
IX-X
X1-Xe
S
L
By
(x2,0) B
ix2,0C
8
aqui-tan
Gy=
tanxe-tanan
=
22
cn
tan 22-180%
= tanac-
1
tan 1800
1+ tanx
tance
1800
=
22
21
21
22
1800
tan
81
=
me
m
02
=
21
- 142 - 180%
1
m1.m
tan G2=
tance
- tan (22-180%
tan 82
=
tanx,
tan/
1
t
tand,
tan (2-100%
tan Oz=tance-tan 22
ittan
tanxa
tan 82 = m
me
11 Mr.
M
Corolario:
Dos rectas son
paralelas siysolosi,
suspendientes
son
iguales.
Me
=me
Corolario:Dos
rectas
son
perpendiculares
entre
sí,
si el
producto
de sus
pendientes
es
igual
a
COt
0
1+ m1. m2 M1.M
=
- 1
Me. M
me
=
2
01
de
abril,
2022
CLASE 4
Gráfica
de una ecuación
~D
Supongamos
que
se nos
da
una
ecuacióndedos variables
x
ey,
que podemos
escribir en
la
forma f(x,y)
= 0 (1)
~>
El
conjunto
de
los
puntos,
y
solamente de
aquellos
puntos
angoe
coordenadas
satisfagan
una equoción
(II,
se llama
gráfica
dela
ecuacion,
o
bien,
su
lugon
geometrico.
>Cualquier punto cuyas
coordenadas
satisfacen
la
emorción
(1)
pertenece
a
la
gráfica
de
la ecuación.
I
ntercepciones
con
los
ejes.
->
Llamaremos
intercepción
de una cura conel
eje
X a
la abscisa del
punto
de in-
tercepción
de la curva conel
eje.
Analogamente,
la
intercepción
con
el
eje y
es la
ordenada del
punto
de interseccióncon dicho
eje.
Ejemplo:
Encuentre
las
intercepciones
con los
ejes
de
y
= x
3
8x
15x
A
y
= x3-8x
15x Tomando x
= 0
4
1
y
=
15 (0) 3 -
y
=
0
2 -
1
y
=
x3-8x2+ 15x Tomando
y
=
0
↓
⑧
I
!j
I
D
0 =x
8x
15X
0 = X(X
3)(X
-2-
X = 0 X
3 = 0 X
- 3 = 0 - 3-
X
3 X = 5
V
- 4-
->
Teorema 1:
Sila
ecuación
de
una curva no se
altera
cuando
la
variable
y
es
reempla-
zada por-y,
la
curva es
simétrica con
respecto
al
eje
X,
y reciprocamente.
A A
d D d D
V
Y
y
=x
y
= x
->
Teorema 2:Sila ecuaciondenina curva no
se altera ando la
variable
x es
reempla-
yada por
-x,
la curva es
simetrica al
eje y,
y reciprocamente.
A A
I D
y
= x
2
y
=
- x
I D
Teorema
Si la
ecuación
de una curva no se
altera al
reemplazar
las variables
xey
por
xy
y,
respectivamente,
la
curva
es simétrica con
respecto
al
origen,
y
reciprocamente.
~
Demostración T1:Sea
fix,y)
= 0 una curva
simetrica con
respecto
al
eje
X.
⑧
p(X,
y)
->
Sea
pix,
y
un
punto
enlacurva.
También
se obtiene fla,b)
= 0
⑧
·M(X,0)
->
Luego
p'la,b)
simetrico con
pix.y)
Pr=(Xn, Yn),
Pe(Xa,
Yel rCX,Y)
·
Pla,bl
->
Por
otro
lado,
existe
M,
el cual es el
X
=
1X
y
=
Ye
punto
medio de
pp'
Luego
x =
1
0
=
1b
Luego p'la,b)
=
p'(X,
2X = x
9
0 = y
b
Asi
fix,
y
=
X
= A y
=
b
Extensión de una
curva.
~>
Se busca
expresar
la
determinación
de los intervalos de variación
para
los cuales
los
valores de
xey
son
valores reales.
->
Esta
informacion
es util
ya que
da la
localización
general
de
la curva en
el
plana
coor
denado.
~
Por
otro
lado,
indica si
la
cura
es cerrada osies de extension
indefinida.
Ejemplo:
Discutir la
ecuacion
x
-y
=
estroliando las
intercepciones,
simetria
y
extensiónde la
curva.
Trazar
la
grafica
correspondiente.
A
Interseccion
eje x,
y
=
0
=>
x
0
=> x = 0
Interseccion
eje y,
x = 0
=>
y
=
0
=)
y
= 0
Simetria:
f(x,-y)
= x
1
y
=
x2+
y
2
ff(x,y) I D
f(
x,y)
= 1
x
y
=
x
2
y
=
f(X,y)
%simetrica con
respecto
al
eje
y
V
f(3,3)
=
32
f(x)
=
x
f(3, -2)
= 32
1
21 f(
=
1
3
=
- 9
Asintotas
->
Si
para
una curva
dada,
existe
una
recta
tal
que,
a
medida
que
un
punto
de la
curva
se
aleja indefinidamente
del
origen,
la distancia
de
ese
punto
a
la
recta decrece continuamente
y
tiende a cero,
dicha recta sellama asintota de la
curva.
~
Esta
definición
implica
dos cosas:
1) una
auva
que
tiene
una asintota no es
cerrada
o
de extensión
finita,
si no
que
se
extiende
indefinidamente.
2)una curva se
aproxima
a
la asintota
más
y
más a
medida
que
se
extiende más
y
mas
en el
plano
coordenado.
x
y2(x
= 0
0
1
y2:
=
puntos
criticos
x
0
1 I
X
= 0 1
X
t 1
I 0
X
= 1
-> x =
1
t
=
=
= 1
**
immmm
in
A
->
x
=
1
=
0,
1 -
↑
B
I
I
Ecuaciones
factorizables
....",
Si
la
ecuaciónfix,
y)
=
0 es
factorizable,
es
decir,
sif(XY)
puede
escribirse
como
el
producto
de
I
dos
o más
factores
variables,
la
grafica
de
T
fix,y
=
01 constaráde las
graficas
de las ecuaciones
obtenidas al
igualar
a cero
cada uno
de estos
factores.
Intersecciones de curvas.
Consideremos dos
ecuaciones independientes
f(x,y)
=
0,
g(x,y)
= 0
Si
sus
gráficas
se cortan en uno
o más
puntos,
cada uno
de esos
puntos
se
llama
puntos
de intersección.
Como
un
punto
de
intersección
dedos curvas
está sobre
cada
una
de dichas auvas,
Sus
coordenadas deben
satisfacer,
simultáneamente,
ambas ecuaciones.
Comolas coordenadas
de un
punto
deben ser
ambas números
M,
una
solución
común no
puede
representar
un
punto
de interseccionen nuestro
sistema
coordenado
real a
menos
que
ambos valores de
xey
sean I.
Además,
si
las
ecuaciones son
incompatibles,
es
decir, no
tiene solución
común,
sus
gráficas
no
se cortan.
05 de
abril,
2022
CLASES
La recta
Llamamos linea
recta
al
lugar geométrico
de los
puntos
tales
que
tomados
dos
puntos
diferentes
cualesquiera
Pe(X,,
y1)
y
PaIX2,
yal
del
lugar,
el valor
dela
pendiente
m
=
y
- 42
x F Xz
resulta
siempre
constante.
X1-X
~m
mide
la
variaciónde
y
con
respecto
a
la variación
de X.
m
=
3
X
- b 1 -
2
P1(2,
m
=
3- 8
=
=
3
=
1m
=
0
3
=
3
=
1
y
3
46 P2(5,
Forma de la ecuaciónde la recta
Forma
punto-pendiente.
La recta
que
pasa por
el
punto
dado
P1(Xn,
yely
tiene
la
pendiente
dada
m,
tiene
por
ecuacion
y
-y
=
m(x
x1)
P115,4)
y
- 4 =2(x -
m = 2
y
4
=
2x
10
Dy
= 2x
6
Forma
pendiente
ordenada end
origen
La
recta
aya
pendiente
es m
y
cuya
ordenada en
origen
es b
tiene
por
ecuación
y
= mx
b
->
Ejemplo:
Determinar
la recta con
pendiente
5
yordenada
en el
origen
AY
X y
y
=
5x
8
⑧
0
3
i
⑧
2
Es
⑨
DX