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Sistema Diédrico
Fundamentos
La geometría descriptiva es la ciencia que estudia la representación de los elementos del espacio sobre el plano.
Utiliza unos métodos, llamados sistemas de representación , que se basan en el concepto de proyección desde un punto sobre el plano para reducir las tres dimensiones del espacio a las dos dimensiones del plano. Los sistemas de representación han de cumplir el principio de reversibilidad , es decir, que utilizando un sistema de representación podamos representar un cuerpo del espacio sobre el plano, y partiendo de dicha representación lo podamos reconstruir en el espacio.
Del concepto de proyección desde un punto sobre el plano, se derivan los tres tipos de proyecciones que utilizan los distintos sistemas de representación. Si el punto desde el que se proyectan los elementos del espacio sobre el plano es propio, el tipo de proyección es cónica, y cilíndrica, si es impropio. La proyección cilíndrica puede ser ortogonal u oblícua dependiendo de que el rayo proyectante sea perpendicular u oblícuo al plano de proyección.
Fig 1
En Sistema Diédrico se proyectan los elementos del espacio, utilizando la proyección cilíndrica ortogonal, sobre dos planos que se cortan perpendicularmente formando un diédro rectángulo (Fig. 2).
Para que las proyecciones de los elementos del espacio queden representadas sobre un único plano de proyección, que coincida con el plano del dibujo, se abate el plano Horizontal hasta hacerlo coincidir con el Vertical (Fig. 3). De esta manera, tendremos representado el espacio tridimensional sobre un único plano.
Fig. 2
El punto
Un punto del espacio se representa por sus dos proyecciones ortogonales sobre los planos de proyección. En la figura 4, el punto A del espacio queda representado por sus proyecciones a sobre el plano Horizontal, y a’ sobre el plano Vertical.
Al abatir el plano horizontal, alrededor de la línea de tierra, sobre el vertical, la proyección a del punto se traslada con el plano, de manera que las proyecciones a-a’ quedan situadas sobre la misma perpendicular a la línea de tierra (Fig. 5). Cuando hacemos coincidir los planos abatidos con el plano del dibujo, sólo nos queda la LT y las proyecciones del punto, pero no el punto del espacio.
Fig. 7
Si un punto del espacio se encuentra por encima del plano horizontal, su cota es positiva y en el sistema diédrico su proyección vertical estará por encima de la línea de tierra. El alejamiento de un punto es positivo si el punto en el espacio se encuentra por delante del plano vertical. La proyección horizontal de un punto con alejamiento positivo siempre estará por debajo de la línea de tierra.
Los planos de proyección dividen el espacio en cuatro cuadrantes. El primer cuadrante es el espacio que se encuentra por encima del plano horizontal y por delante del plano vertical, por lo que un punto del 1er cuadrante tiene cota y alejamiento positivos y se representa con la proyección horizontal por debajo de la línea de tierra y la proyección vertical por encima (Fig. 7).
Si un punto del espacio se encuentra sobre uno de los planos de proyección, la cota ó el alejamiento serán nulos y la proyección correspondiente se encontrará sobre la línea de tierra.
Alfabeto del punto
El alfabeto del punto es la representación del punto en las distintas posiciones que puede ocupar en el espacio respecto a los planos de proyección y a los planos bisectores. Los planos bisectores son los que dividen los cuadrantes en dos diedros iguales. Con los bisectores, el sistema queda dividido en ocho octantes (Figs 9 y 10).
Fig. 9
Fig. 10
Los puntos contenidos en los planos bisectores equidistan de los planos de proyección, por lo que tendrán la misma cota que alejamiento. Si son del mismo signo, las proyecciones del punto equidistan de la LT; y si son de distinto signo, éstas quedarán superpuestas (Fig. 10).
Para representar las diecisiete posiciones del punto en el sistema diédrico, podemos ayudarnos del esquema de la fig. 10, donde se puede observar claramente los valores de las cotas y alejamientos del punto. Por ejemplo, el punto A(a-a') tiene alejamiento positivo (a por debajo de LT) por estar por delante del plano vertical y cota nula (a' en LT) por encontrarse en el horizontal.
Siguiendo este procedimiento podemos representar las demás posiciones (Fig. 11).
Trazas de la recta
Una recta también puede definirse por sus trazas. Las trazas de una recta son los puntos de intersección de la recta con los planos de proyección.
La intersección de una recta con el plano horizontal es un punto H del plano horizontal, y por tanto con cota nula, lo que implica que su proyección vertical h' se encuentre en la línea de tierra.
La traza vertical V, por tener alejamiento nulo, tendrá su proyección horizontal v, en la línea de tierra.
Partes vistas y ocultas
En este sistema el espectador se sitúa en el primer cuadrante, por ello, sólo serán vistos los elementos situados en él, representandose con línea continua.
Para determinar las partes vistas y ocultas de una recta debemos considerar la posición de las trazas. Si, por ejemplo, una recta tiene su traza vertical V(v-v') en el plano vertical superior y su traza horizontal H(h-h') en el plano horizontal anterior, el segmento comprendido entre las trazas pertenece al primer cuadrante, la semirrecta a partir de la traza vertical pertenece al segundo y la semirrecta a partir de la traza horizontal al tercero.
Fig. 14
Fig. 15
Trazas con los bisectores
Las trazas con los bisectores son los puntos que tienen igual cota que alejamiento y pertenecen a la recta. El segundo bisector pasa por los cuadrantes que tienen cota y alejamiento de distinto signo, por tanto, la traza B 2 con el segundo bisector es el punto de intersección de las proyecciones de la recta. Y al contrario, la traza con el primer bisector B 1 es el punto cuyas proyecciones equidistan de la LT. Este se halla trazando la recta simétrica de una de las proyecciones hasta cortar la otra proyección (Fig. 15).
Alfabeto de la recta
Fig. 16
A) Recta paralela a la línea de tierra: es también paralela a los dos planos de proyección, por tanto, el alejamiento y la cota de todos sus puntos son constantes.
B) Recta horizontal: es paralela al plano horizontal, por lo que su proyección vertical se representa paralela a la LT. Sólo tiene traza con el plano vertical, al que es oblicua.
Las distintas posiciones del plano con respecto a los planos de proyección conforman el alfabeto del plano.
Fig. 18
A) Plano horizontal: es paralelo al plano horizontal de proyección, por lo que sólo tiene una traza con el plano vertical que es paralela a la línea de tierra. Los elementos contenidos en él se proyectan en verdadera magnitud sobre el plano horizontal.
B) Plano Frontal: el paralelo al plano vertical. Sólo tiene traza horizontal paralela a la LT.
C) Plano de canto o proyectante vertical: es perpendicular al plano vertical y oblicuo al horizontal. Al ser perpendicular al plano vertical, los elementos contenidos en el se proyectan sobre la traza con dicho plano.
D) Plano vertical o proyectante horizontal: es perpendicular al plano horizontal. Su traza vertical es perpendicular a la LT. Y su traza horizontal oblicua.
E) Plano genérico: es oblicuo a los dos planos de proyección.
F) Plano paralelo a la LT. : es oblicua a los planos de proyección y perpendicular a los planos de perfil; se puede considerar un proyectante de perfil, lo que implica que todo lo contenido en él se proyecte sobre su traza de perfil.
G) plano que pasa por LT. : sus trazas se confunde en la LT., por lo que se necesita un punto del mismo para definirlo. También es proyectante de perfil.
H) Plano de perfil: es paralelo al plano de perfil y perpendicular al vertical y al horizontal. Sobre ambas trazas se proyectan los elementos contenidos en él, los cuales se proyectan en verdadera magnitud en el plano de perfil de proyección.
Fig. 19
Relaciones de pertenencia
Un punto pertenece a una recta, si sus proyecciones están contenidas en las proyecciones homónimas de la recta (Fig. 20).
Fig. 20
Fig. 21
Una recta pertenece a un plano, si sus trazas están contenidas en las trazas homónimas del plano (Fig. 21).
Fig. 24
Fig. 25
La recta de máxima inclinación tiene, al contrario que la r.m.p., La proyección vertical perpendicular a la traza homónima del plano. Ambas rectas son suficientes para definir un plano. Si, por ejemplo, se nos da un plano definido por su recta de máxima pendiente, la perpendicular por la traza -h- a la proyección horizontal -r- de la recta es la traza horizontal del plano. La traza vertical -P’- la trazamos uniendo el origen del plano con la traza vertical - v’-.
Determinación de las trazas de un plano
Un plano puede quedar determinado por los siguientes elementos:
- Dos rectas que se cortan (Figs. 26, 27 y 28).
- Tres puntos no alineados (Fig. 30).
- Una recta y un punto que no le pertenezca.(Fig. 31)
- Dos rectas paralelas (Fig. 29).
Fig. 26
Fig. 27
Los casos en que nos dan dos rectas que se cortan o dos rectas paralelas se resuelven hallando las trazas de ambas rectas y trazando por ellas las trazas homónimas del plano.
Fig. 28
Fig. 31
Intersecciones
Intersección entre planos
La intersección entre dos planos es una recta común a ambos. Para determinarla seguiremos los siguientes pasos: trazamos dos planos auxiliares, en la Fig. 1a se han trazado dos planos horizontales. La intersección del plano (H) con (P) es la recta R, y con (Q) la recta S. La intersección de ambas rectas es el punto A común a los tres planos y, por lo tanto, pertenece a la recta intersección de (P) y (Q).
Procediendo del mismo modo con el segundo plano auxiliar, obtenemos el punto B, con el que queda definida la recta intersección de ambos plano.
Si consideramos como planos auxiliares los planos de proyección, las intersecciones de éstos con (P) y (Q), son precisamente sus trazas P-P’ y Q-Q’ (Fig. 1b). Recordad que las trazas de un plano son las rectas de intersección de éste con los planos de proyección.
Fig. 1
Fig.
Planos cuyas trazas se cortan fuera de los límites del dibujo.
Si sólo se cortan las trazas horizontales de los planos, trazamos un plano horizontal que corte las trazas verticales de los planos dados. Las intersecciones de este plano con los planos (P) y (Q) son dos rectas horizontales que se cortan en el punto A(a-a’) común a los tres planos. Uniendo este punto con el punto de intersección de las trazas horizontales de los planos obtenemos la recta I (Fig. 2).
Si solamente se cortan las trazas verticales procedemos de igual forma utilizando un plano frontal (Fig. 3), y utilizamos ambos planos auxiliares si no se cortan ninguna de las trazas (Fig. 4).
Fig. 3
Fig.
Casos particulares
La intersección entre dos planos cuyas trazas concurren en un mismo punto de la línea de tierra, se determina con el auxilio de un plano horizontal que corta a los planos (P) y (Q) seguacute;n dos rectas horizontales. La intersección de dichas rectas es el vértice del triedro formado por los planos (P), (Q) y (H). Uniendo dicho punto con el punto donde concurren las trazas de los planos dados, obtenemos la recta intersección (Fig. 5).
Fig. 7
Fig. 8
Paralelismo y Perpendicularidad.
Distancias
Paralelismo
Dos rectas son paralelas si tienen sus proyecciones homónimas paralelas.
Las rectas de perfil pueden no ser paralelas en el espacio aún siéndolo sus proyecciones diédricas, en este caso es necesario que sus proyecciones de perfil también lo sean (Fig. 9).
Fig. 9
Fig. 10
Una recta es paralela a un plano si lo es a una recta cualquiera contenida en el plano.
Para trazar por un punto A una recta R paralela a un plano P dado, dibujamos una recta cualquiera S contenida en el plano y por el punto A dado, trazamos la paralela R a la recta S (Fig. 10).
El problema inverso, es decir, trazar por un punto un plano paralelo a una recta R dada, se resuelve trazando por el punto una recta S paralela a R. Cualquier plano que contenga a la recta S es paralelo a R.
