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Esfuerzo de Corte en Elementos Uniaxiales
1. Introducción Este capítulo está dedicado al estudio de las tensiones tangenciales en la sección transversal de una viga debido a la acción de fuerzas cortantes transversales. Se considera además, el problema relacionado con vigas de secciones armadas con partes longitudinales unidas entre si por tornillos, pegamento, o soldadura. El estudio que se realiza en este capítulo, sólo se limita al análisis elástico de la sección transversal. 2. Observaciones Preliminares Es importante puntualizar que la fuerza de corte está inseparablemente ligada a una variación del momento de flexión en secciones adyacentes de una viga. Entonces, si una fuerza de corte y un momento de flexión están presentes en una sección de una viga, un momento de flexión diferente existirá en una sección adyacente, aunque la fuerza de corte permanezca constante. Esto conduce al establecimiento de las tensiones de corte sobre los planos longitudinales imaginarios que son paralelos al eje del miembro. Por lo tanto, como en un punto del sólido existen tensiones de corte iguales sobre planos mutuamente perpendiculares, quedarán determinadas las tensiones de corte cuya dirección coincide con la de la fuerza de corte en una sección. Considerar la viga simplemente apoyada mostrada en la Fig. 1, en conjunto con sus respectivos diagramas de momento de flexión y fuerza (esfuerzo) de corte. Del equilibrio de momento se obtiene la relación entre la variación del momento de flexión y esfuerzo de corte para una longitud diferencial dx de la viga. Esta relación tiene la forma siguiente
dM = Vdx o^ dM dx^ = V (1)
Antes de proceder con un análisis detallado, puede resultar conveniente analizar la secuencia de fotografías mostrada en la Fig. 2, en que el modelo representa un segmento de una viga I. En la Fig. 2a, pueden verse bloques que simulan la distribución de tensiones normales causados por momentos de flexión. Se supone que el momento de flexión a la derecha de la sección en mayor que el de la izquierda. Este sistema de fuerzas está en equilibrio siempre que las fuerzas de corte verticales V (no mostradas) actúen también sobre el segmento de viga. Separando el modelo a lo largo de la línea neutra se obtienen dos partes separadas del segmento de viga, tal como se muestra en la Fig. 2b. Cada segmento de viga debe estar en equilibrio. Si estos segmentos de viga estuviesen conectados por un perno, las fuerzas axiales en la parte superior o inferior causadas por los momentos de flexión deben estar en equilibrio por una fuerza en dicho perno. La fuerza horizontal transmitida por el perno, es la necesaria para equilibrar la fuerza axial neta causada por las tensiones de flexión actuando sobre las dos secciones adyacentes. La fuerza axial neta se muestra esquemáticamente en la Fig. 2c, donde suponiendo un momento de flexión cero en la izquierda, sólo las tensiones normales debido al incremento del momento de flexión en el segmento de la viga, tienen que mostrarse actuando sobre la derecha. Si inicialmente esta viga de sección I es considerada de una pieza y no requiere de un perno para su fabricación, puede usarse un plano longitudinal imaginario para separar el segmento de viga en dos partes, tal como lo muestra la Fig. 2d.
P
a (^) a
P
P
+ P
- Diagrama de esfuerzo de corte
Pa
+
dx
Diagrama de momento de flexión
Fig. 1. Diagramas de fuerza de corte y momento flexión para la carga mostrada
El proceso descrito es bastante general, dos ilustraciones adicionales de la determinación de las tensiones tangenciales se muestran en las Figs. 2e y f. En la Fig. 2e se muestra el cálculo de las tensiones de corte en un plano longitudinal ubicado en la conexión del ala con el alma de la viga I. En cambio, en la Fig. 2e el plano de corte es vertical, lo que permite el cálculo de las tensiones tangenciales en dicho plano.
3. Flujo de Corte Considerar una viga (lineal) elástica formada por varios elementos longitudinales continuos cuyas secciones transversales se muestran en la Fig. 3a. El análisis presentado a continuación es válido para una viga de sección transversal arbitraria. Para que esta viga trabaje como un miembro integral, se supone que los elementos longitudinales están sujetos entre sí por medio de pernos verticales. Un elemento de esta viga, aislado por dos secciones paralelas perpendiculares al eje de la viga, se muestra en la Fig. 3b. Si el elemento mostrado en la Fig. 3b está sometido a un momento de flexión +MA en el extremo A y a +MB en el extremo B, se desarrollan tensiones de flexión que actúan normales a la secciones. Estas tensiones varían linealmente desde los respectivos ejes neutros, y en cualquier punto (fibra) a una distancia y de eje neutro son - MB y / I sobre el extremo B y – MA y / I sobre el extremo A. Se aísla el elemento superior de la sección de la viga, tal como lo muestra la Fig. 3c. Se pueden calcular las fuerzas resultantes longitudinales FA y FB en los extremos A y B respectivamente, a partir de la distribución de tensiones normales y de las áreas sobre cuales éstas actúan. En el extremo B se tiene que
∫ ∫
fghj A fghj
B B A
B B I
ydA MQ I dA M I F M y (2a)
Q ydA A y A fghj
= (^) ∫ = fghj (2b)
La integral que define a Q (Ec. (2b)) es el primer momento o momento estático
del área fghj respecto al eje neutro. Por definición, y es la distancia del eje neutro al
centroide o centro de gravedad del área fghj ( Afghj ).
En forma análoga, basándose en la Fig. 3c, se obtiene el valor de la fuerza normal resultante en el extremo A. Por lo tanto,
I
dA M Q I F M y A A A A abde
= (^) ∫ − = − (3)
donde el significado de Q es el mismo que en la Ec. (2) ya que para vigas prismáticas un área fghj es igual al área abde. Para una mejor compresión del significado del valor de Q , la Fig. 4 ilustra la manera de calcular su valor. Si los momentos de flexión en los extremos A y B fuesen iguales, se tendría que FA = FB y los pernos mostrados en la Fig. 3a sólo mantendrían los elementos longitudinales unidos sin resistir ninguna fuerza longitudinal conocida.
Fig. 3. Análisis sobre elementos longitudinales para obtener el flujo de corte en una viga.
En vez de trabajar con una fuerza resultante dF que se desarrolla en una longitud dx, resulta más conveniente obtener una fuerza similar por unidad de longitud de la viga. Esta cantidad se obtiene dividiendo la fuerza dF por la distancia dx. La cantidad dF / dx se designará por q y se le llama flujo de corte. Luego, recordando que dM / dx = V , se obtiene la siguiente expresión para el flujo de corte en elementos sometidos a flexión
I
VQ
I
ydA VA y dx I
dM dx q dF A fghj
= = ∫ = fghj =
En la Ec. (5), I es el momento de inercia de toda la sección transversal respecto al eje neutro; V representa el esfuerzo de corte en la sección investigada; y para determinar Q el área a considerar se extiende a un lado del nivel donde q se investiga.
4. Determinación de la Tensión de Corte. La fórmula para determinar las tensiones de corte para vigas puede obtenerse modificando la fórmula del flujo de corte. En forma análoga al procedimiento anterior, un elemento de viga sometido a flexión puede aislarse entre dos secciones adyacentes tomadas perpendicularmente al eje de la viga. Considerar la Fig. 5 en que se muestra el equilibrio de un elemento de viga de longitud dx sometido a flexión. Para tal elemento, existe una variación del diagrama de momento en su longitud lo que induce a la existencia del esfuerzo de corte (Fig. 5a). Del equilibrio longitudinal se obtiene
I
dMQ I ydA dMA y I dF dM A fghj
= (^) ∫ = fghj = (6a)
Suponiendo que la tensión de corte τ está uniformemente distribuida sobre la sección de ancho t (Fig. 5c), la tensión de corte en el plano longitudinal puede obtenerse dividiendo dF entre el área tdx. Sin embargo para un elemento infinitesimal, tensiones de corte numéricamente iguales actúan sobre planos mutuamente perpendiculares (Fig. 5b).
Por lo tanto, la misma relación da simultáneamente la tensión de corte longitudinal y la tensión de corte en el plano de la sección vertical en el corte longitudinal. Entonces,
It
A y dx
dM dxt τ =^ dF^ = fghj (6b)
Esta relación puede simplificarse considerando que dM / dx = V y por la Ec. (5), resultando
t
q It
VQ
It τ = V Afghj^ y = = (7)
Para desarrollar la fórmula que permite obtener la tensión de corte τ en vigas, Ec. (7) que se conoce como fórmula de Jourasky, se utilizaron los tres conceptos básicos de la mecánica de sólidos:
- Condiciones de equilibrio a. determinar fuerza de corte en una sección b. relación entre la fuerza de corte y variación del momento de flexión
Fig. 5. Obtención de las tensiones de corte en una viga.
En la Fig. 6b, se observa un alabeo considerable de las secciones inicialmente planas del voladizo corto. En contraste, para el miembro esbelto de la Fig. 6c, el alabeo de las secciones es imperceptible. Este estudio, junto con un examen de los resultados de estudios analíticos y experimentales, sugiere que la hipótesis de “ secciones planas ” es razonable.
6. Limitaciones de la Fórmula de la Tensión de Corte La fórmula de la tensión de corte para vigas se basa en la fórmula de la flexión. Por consiguiente, todas las limitaciones impuestas a la fórmula de flexión le son aplicables. El material se supone de comportamiento lineal-elástico con el mismo módulo elástico en tracción y en compresión. La teoría desarrollada sólo se aplica a vigas rectas, existiendo además otras limitaciones que no están presentes en la fórmula de la flexión. Considerar una sección a través de una viga I, tal como se consideró en algún ejemplo anterior mostrado en la Fig. 7a. Las tensiones de corte que se calculan para el
(a) (^) (b)
(c)
Fig. 6. (a) Distorsiones por corte en una viga; configuración deformada de un modelo de elementos finitos: (b) de un voladizo corto y (c) voladizo esbelto.
nivel 1-1 son aplicables al elemento infinitesimal a. La tensión de corte vertical es cero para este elemento, igualmente que para un elemento infinitesimal ubicado en un plano perpendicular. Además este último plano es la superficie superior de la viga, y por condición de borde o frontera, es superficie libre (sin tensiones). Una condición diferente se encuentra cuando se estudian las tensiones de corte en el nivel 2-2 de la viga I. Las tensiones de corte son no nulas para los elementos infinitesimales b y c , lo que induciría tensiones de corte no nulas en los planos perpendiculares respectivos. En estos últimos planos deben satisfacerse las condiciones de borde o frontera de la viga, que indican que son superficies libres de tensiones. Por lo tanto, las condiciones de frontera no son satisfechas en los elementos infinitesimales b y c. Procedimientos más avanzados de la teoría matemática de la elasticidad o del análisis tridimensional de elementos finitos deben usarse para obtener una solución exacta del problema. Sin embargo, la limitación antes mencionada de la fórmula de la tensión de corte para vigas, no es seria. Las tensiones de corte verticales en las alas de la viga I son pequeñas, comparadas con las tensiones desarrolladas en el alma. Por lo tanto, ningún error apreciable se comete al usar la formula de tensión de corte (Ec. (7)) para miembros de pared delgada y la mayoría de las vigas pertenecen a este grupo.
(a) (b)
Fig. 7. Limitaciones de la fórmula de tensión de corte.
estudio. Este análisis determina el sentido de las tensiones de corte longitudinales. Sin embargo, tensiones de corte numéricamente iguales actúan sobre planos mutuamente perpendiculares de un elemento infinitesimal, convergiendo o divergiendo de los vértices del elemento.
La magnitud de las tensiones de corte varía para los diferentes cortes verticales. Por ejemplo, si e corte c-c en la Fig. 8a está en el borde de la viga, el área achurada sería cero. Sin embargo, si el espesor del ala es constante y el corte c-c se hace cada vez más
cerca del alma, el área achurada crece desde cero a razón constante. Además, como y es
el mismo para cualquiera de estas áreas, Q también crece linealmente desde cero hacia el alma. Por lo tanto como V e I son constantes en cualquier sección a través de la viga, el flujo de corte q ( VQ / I ) sigue la misma variación lineal. Si el espesor del ala t es constante,
Fig. 8. Tensiones de corte en elementos de pared delgada.
(d)
la tensión de corte τ ( q / t ) también variará linealmente. La misma variación de q y τ se aplica sobre ambos lados del eje de simetría vertical de la sección transversal. Sin embargo, como se muestra en la Fig. 8c, estas cantidades actúan en sentidos opuestos sobre el plano de la sección de la viga. Al integrar las tensiones de corte mostradas en la Fig. 8c, se puede determinar las fuerzas equivalentes que actúan en los elementos de la sección producto del esfuerzo de corte V. La magnitud de la fuerza F 1 mostrada en la Fig. 8d, es igual a
F 1 qc^ max b τ^ c^ max^ bt (8)
Para determinar el flujo de corte en la unión del ala y alma, como en el corte a-a
de la Fig. 8ª, debe usarse toda el área del ala multiplicada por y para obtener el valor de
Q. Este procedimiento implica que para determinar el flujo de corte vertical en la sección a-a , deben sumarse los flujos horizontales que actúan en el ala en la intersección con el alma. Este análisis demuestra que para una sección I de pared delgada sometida a un esfuerzo de corte V , la resistencia al corte se desarrolla principalmente en el alma (Fig. 8d). El sentido da las tensiones y flujos de corte en el alma de la viga, coincide con el sentido de la fuerza de corte V. Notar que el flujo de corte vertical (alma), se divide al llegar al ala inferior. Esto se representa en la Fig. 8d por las dos fuerzas F 1 , que son el resultado de los flujos de corte horizontales en el ala. Las fuerzas de corte que actúan en una viga de sección I se muestran en la Fig. 8d. Por condiciones de equilibrio, las fuerzas verticales deben actuar a través del centro de gravedad de la sección transversal para que coincidan con V. En este caso, el miembro no presentará torsión. Esto se cumple para las secciones con un eje de simetría. Para evitar la torsión de tales miembros, las fuerzas aplicadas deben pasar por la intersección del plano de simetría y el eje de la viga.
longitudinal (efecto del momento de torsión). Para impedir que la sección gire en torno a un eje longitudinal, las fuerzas externas deben “equilibrar el par interno hF 1 ”. Considerar la Figs. 9c y d, en que la carga P se aplica con una excentricidad e a la línea centra del alma de la sección canal. La carga P es equilibrada por la fuerza de corte V , de igual magnitud y sentido opuesto actuando en el alma de la sección. Para que la sección no gire, el par Pe debe ser igual al par hF 1 (no existe torsión). Por lo tanto,
I
bh t PIt
bthVQ P
bth P Pe hF e^ hF a a a 4
1 1 /^21 /^222
τ (^) (10)
De la Ec. (10) se deduce que el valor de e es independiente de la carga P, así como de su posición a lo largo de la viga. Un análisis similar puede realizarse considerando una carga externa P aplicada en forma horizontal a la sección de la viga, de manera de no causar una torsión neta. Para este caso, sección canal, el plano de carga coincide con el plano del eje neutro, que además es un eje de simetría de la sección. La intersección de estos dos planos mutuamente perpendiculares, planos de carga que no producen torsión neta, localiza un punto que se llama “centro de corte o centro de torsión”. Este punto se localiza, para cualquier sección transversal, sobre una línea longitudinal paralela al eje de la viga (cetro de gravedad). Si la fuerza transversal es aplicada a través del centro de cortante, no se induce torsión en la viga. En caso contrario, la sección girará en torno a un eje longitudinal que contiene al centro de torsión.
Fig. 9. Posición del centro de cortante de una sección canal.
9. Energía de Deformación: Efecto Tensión de Corte Considerar un sólido tridimensional de material lineal-elástico en estado de equilibrio ante la acción de cargas externas Fi. El sólido puede considerarse como un conjunto de elementos (cubos) infinitesimales sometidos a un estado particular de tensión, tal como se muestra en la Fig. 10.
El incremento de la energía de deformación dU para un elemento infinitesimal de volumen dV , puede escribirse de la siguiente forma
dU = 21 [σ x ε x +σ y ε y +σ z ε z +τ xy γ xy +τ yz γ yz +τ xz γ xz ] dV (11)
Integrando el incremento de la energía de deformación dU , sobre el volumen del sólido V , se obtiene la energía total de de formación U del sistema. La expresión final de la energía de deformación U del sistema es de la forma
U [ ] dV
V
= ∫ 2 σ x ε x +σ y ε y +σ z ε z +τ xy γ xy +τ yz γ yz +τ xz γ xz
F 1
F 2
F 3
σ x
σ y
σ z
τ xy τ xz
τ yz τ yx τ zx τ zy
Fig. 10. Sólido deformable en equilibrio
