Consolidado Compendios, Guías, Proyectos, Investigaciones de Cálculo diferencial y integral

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ÍNDICE

• 1. Unidad 1: La integral
     • 1.1 Objetivo
     • 1.2 Introducción
• 2. Información de los subtemas
  • 2.1 Importancia de la integral: aproximación del área de
  • 2.2 Integral indefinida: definición, fórmulas y propiedades. una figura plana
  • 2.3 Integral indefinida de funciones transcendentales
  • 2.4 Teorema fundamental del cálculo
• 3. Recursos complementarios
• 4. Bibliografía

© Universidad Estatal de Milagro

UNEMI

2. Informacion de los subtemas

2.1 Importancia de la integral: aproximación del área

de una figura plana

El área.

Definición del área.

De manera informal se puede decir que el área de una figura se define como la

superficie comprendida dentro de una figura limitada. Pero ¿cómo se encuentra o

calcula el área de una zona limitada? Como ya sabemos, encontrar el área de polígonos

es muy sencillo; por ejemplo:

» El área de un rectángulo se la calcula obteniendo el producto de la base por su

altura

» El área de un triángulo es la mitad de su base multiplicada por su altura

Figura 1. Área del rectángulo

Fuente: (Purcell, Varberg, & Rigdon, 2007)

© Universidad Estatal de Milagro

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» Existen figuras geométricas irregulares en la cual podemos calcular el área

dividiendo dicha figura en pequeñas secciones triangulares o rectangulares,

para luego sumar las áreas obtenidas y así obtener el resultado deseado.

El área bajo una curva.

Hemos analizado la definición de área para ciertos polígonos regulares (rectángulo,

triángulo) e irregulares. Ahora, imaginemos que tenemos que encontrar el área de una

región con lados curvos, como se muestra en la siguiente figura:

Figura 2. Área del triángulo

Fuente: (Stewart, 2012)

Figura 3. Área de un polígono irregular

Fuente: (Purcell, Varberg, & Rigdon, 2007)

© Universidad Estatal de Milagro

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Como se puede observar, se ha dividido a la región 𝑆 en cuatro rectángulos en los

puntos 𝑥

1

1

4

2

1

2

3

3

4

y 𝑥

4

= 1 ; de esto podemos deducir que la base de cada

rectángulo trazado es

1

4

Matemáticamente podemos calcular la base de la siguiente manera:

Punto inicial (𝑥

𝑖

Punto final (𝑥

𝑓

Base

𝑓

𝑖

𝑖

𝑓

1

4

𝑖

1

4

𝑓

1

2

𝑖

1

2

𝑓

3

4

𝑖

3

4

𝑓

1

4

Figura 6. Base de los rectángulos

trazados

Fuente: (Stewart, 2012)

Tabla 1. Cálculo de la base de los rectángulos trazados

Fuente: Elaboración propia

© Universidad Estatal de Milagro

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Siguiendo el mismo análisis y observando los puntos por los cuales la función 𝑓

2

interseca a los rectángulos, podemos decir que sus alturas estarán dadas por el

modelo matemático de la función establecida.

Ya teniendo la base de los rectángulos y sus respectivas alturas, se procede a calcular

el área de cada uno de ellos y luego sumarlas para obtener el valor total. Lo

realizamos de la siguiente manera:

𝐴

𝑇

=△ 𝑥 ∙ 𝑓

( 𝑥

1

) +△ 𝑥 ∙ 𝑓

( 𝑥

2

) +△ 𝑥 ∙ 𝑓

( 𝑥

3

) +△ 𝑥 ∙ 𝑓(𝑥

4

)

𝐴

𝑇

=

1

4

(

1

4

)

2

1

4

(

1

2

)

2

1

4

(

3

4

)

2

1

4

( 1

)

2

𝐴

𝑇

= (

1

4

) (

1

16

) + (

1

4

) (

1

4

) + (

1

4

) (

9

16

) + (

1

4

) ( 1 )

𝐴

𝑇

=

1

64

1

16

9

64

1

4

= 0. 016 + 0. 063 + 0. 1406 + 0. 25

𝐴

𝑇

= 0. 4696

𝑓 (

1

4

) = (

1

4

)

2

2

2

2

Figura 7. Altura de los rectángulos trazados

Fuente: (Stewart, 2012)

© Universidad Estatal de Milagro

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 Teniendo 30 rectángulos el área es 𝐴

𝑇

= 0. 3502

Figura 9. Utilizando 10 rectángulos

Fuente: (Stewart, 2012)

Figura 10. Utilizando 30 rectángulos

Fuente: (Stewart, 2012)

© Universidad Estatal de Milagro

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 Teniendo 50 rectángulos el área total es 𝐴

𝑇

= 0. 3434

Nótese que cada vez que se aumenta el número de rectángulos el área se aproxima a

𝑇

≅ 0. 3. Cabe recalcar que para encontrar el área a cierto número de rectángulos se

utiliza el procedimiento explicado anteriormente. Analice la siguiente tabla:

Número de rectángulos

Área total

𝑻

Figura 11. Utilizando 50 rectángulos

Fuente: (Stewart, 2012)

Tabla 2. Áreas a diferente número de rectángulos

Fuente: Elaboración propia

© Universidad Estatal de Milagro

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Nótese como aumenta de uno en uno el numerador, por el contrario el denominador

se mantiene constante y es el número de rectángulos por el cual hemos dividido la

región 𝑆. Entonces, los puntos a evaluar serán:

1

2

3

𝑛

Recapitulando, sabiendo que 𝑛 es el número de rectángulos, por lo tanto ∆𝑥 =

1

𝑛

, y

que 𝑥

1

1

𝑛

es el primer punto y los siguientes puntos aumenten su numerador de uno

en uno mientras el denominador se mantiene con 𝑛 (revisar tabla 3), también que el

último punto es 𝑥

𝑛

𝑛

𝑛

. Por lo tanto:

𝑇

1

2

3

𝑛

𝑇

2

2

2

2

𝑇

2

2

2

2

2

2

2

2

Aplicando factor común:

𝑇

2

2

2

2

2

𝑇

3

2

2

2

2

Utilizando la fórmula para la suma de los cuadrados de los 𝑛 primeros enteros

positivos, tendemos:

2

2

2

2

Reemplazamos:

𝑇

3

2

2

2

2

3

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Simplificando y multiplicando:

𝑇

2

Aplicando el teorema 1:

𝐴 = lim

𝑛→∞

𝑇

= lim

𝑛→∞

2

Antes de aplicar el límite, utilizamos procesos algebraicos para llegar al resultado:

lim

𝑛→∞

2

= lim

𝑛→∞

2

= lim

𝑛→∞

lim

𝑛→∞

) = lim

𝑛→∞

) = lim

𝑛→∞

Por último, aplicamos el límite teniendo en cuenta que:

lim

𝑛→∞

Por lo tanto:

lim

𝑛→∞

El teorema 1 expuesto en este trabajo nos permite calcular de manera aproximada el

área bajo una curva, utilizando una definición informal e intuitiva. Además, la

definición de límites también fue aplicada, debido a que de esta manera se puede

tender un número al infinito, en este caso de número de rectángulos, para obtener un

resultado más fiable a la hora de calcular las áreas con curvas como fronteras.

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2.2 Integral indefinida: definición, fórmulas y

propiedades

Ya sabemos que la derivada de un función 𝑓(𝑥) es otra función 𝑓

′

(𝑥), la cual se la

denota de la siguiente manera:

[𝑓(𝑥)] = 𝑓

′

La derivada de una función también se la puede denotar usando diferenciales, ya que

de esta manera podremos entender mejor la notación de las integrales a usar:

′

La pregunta importante para entender una integral indefinida es la siguiente: ¿cómo

encuentro la función 𝑓(𝑥) teniendo su derivada 𝑓

′

(𝑥)? En otras palabras, teniendo la

derivada de una función 𝑓

′

(𝑥) como calculo la función 𝑓(𝑥) que se derivó en primera

instancia para obtener 𝑓

′

Para responder a esta interrogante tenemos a la integración, ya que esta nos permitirá

realizar la operación inversa de la cual la cuestión realizada nos expone. Dicha de otra

manera, si tenemos la derivada de una función 𝑓

′

(𝑥)𝑑𝑥 y queremos encontrar la

función propiamente dicha 𝑓(𝑥), debemos utilizar el procedimiento denominado

integración, matemáticamente esto se expresa de la siguiente manera:

′

𝑓(𝑥)

Se deriva

′

¿Teniendo 𝑓

′

(𝑥)𝑑𝑥 como encuentro 𝑓(𝑥)?

Figura 12. Integral indefinida - Fuente: Elaboración propia

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Que se lee “la integral de 𝑓

′

𝑑𝑥 es igual a 𝑓(𝑥)”. Donde:

: función a derivar

′

(𝑥)𝑑𝑥: derivada de la función 𝑓(𝑥)

′

𝑑𝑥: aplicando la integración

» 𝑓(𝑥): integral de la función 𝑓

′

(𝑥) integrada

Ejemplo 1: si tenemos 𝑓(𝑥) = 𝑥

5

, entonces:

Derivamos la función:

′

′

4

Ahora, aplicamos la integración:

′

′

4

Y como ya sabemos que la integral de una diferencial es la función derivada 𝑓(𝑥),

tendremos:

4

5

En conclusión:

𝑓

( 𝑥

) = 𝑥

5

Se

deriva

5

′

4

∫ 𝑓

′

( 𝑥

) 𝑑𝑥 =

∫ 5 𝑥

4

𝑑𝑥 = 𝑥

5

Figura 13. Integral indefinida

Fuente: Elaboración propia

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En otras palabras, si tengo una función 𝑓(𝑥) con derivada 𝑑𝑓(𝑥) = 𝑓

′

(𝑥)𝑑𝑥, entonces:

′

En donde 𝐶 es la contante de integración y es desconocida e indefinida, por esta razón:

Se la conoce como función primitiva o integral indefinida de la diferencial 𝑓

′

Fórmulas fundamentales de integración.

De la misma manera que en la derivación utilizamos fórmulas para su respectivo

cálculo; en la integración también existen fórmulas para calcular integrales de manera

inmediata. Algunas de estas expresiones se deducen de las fórmulas de derivación

mencionadas, y son:

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