¡Descarga Consumo y producción intertemporal y más Apuntes en PDF de Microeconomía solo en Docsity!
DECISIONES DE CONSUMO INTERTEMPORAL,
MERCADOS DE CAPITAL E INVERSIÓN
Raymundo C. Rodríguez Guajardo
Profesor Titular del Departamento de Economía Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Monterrey Septiembre de 1996
INTRODUCCION
El modelo básico de maximización del bienestar sujeto a una restricción de presupuesto no considera la dimensión tiempo en el análisis de decisión de la canasta óptima. Esto es, se supone que para una fecha determinada, el consumidor dispone de un ingreso dado el cual destina a la compra de bienes con el fin de maximizar su utilidad. No obstante, las decisiones del consumidor en el presente están influenciadas por sus expectativas sobre precios e ingreso en el futuro. En este sentido, el problema del consumidor es el de diseñar un plan de consumo a través del tiempo que maximice su utilidad intertemporal. En este modelo de decisiones de consumo intertemporal, el individuo dispone de un ingreso en la forma de dotaciones. Si, por ejemplo, el consumidor decide sacrificar una unidad de su ingreso en el presente, puede aprovechar el mercado de capital para ahorrar dicha unidad monetaria o bien puede destinarla a la inversión física en la forma de llevar a cabo ciertos proyectos. En este trabajo se caracteriza el problema de decisión del consumidor en un contexto intertemporal. Primeramente se discute el caso donde no hay posibilidades de producción pero sí existe un mercado de capital que le permite al individuo ahorrar o pedir prestado en el presente. En el segundo caso el consumidor puede destinar parte de su dotación a la inversión fisica productiva pero no dispone de un mercado de capital. Por último, en el tercer caso se considera la decisión del consumidor cuando existen posibilidades de inversión tanto financiera como física. De hecho, las decisiones más importantes del administrador financiero se refieren a qué inversiones realizar y seleccionar los medios apropiados para financiarlas. El criterio es el de seleccionar aquellos proyectos que maximicen el valor presente (de mercado) de la empresa. El objetivo del presente trabajo es el de caracterizar las decisiones sobre consumo, ahorro e inversión a través del tiempo y de cómo la introducción de un mercado de capital (e instrumentos o valores financieros) mejoran el bienestar del consumidor (inversionista).
SUPUESTOS
- Certidumbre total. No hay incertidumbre sobre la magnitud y tiempo en que deben hacerse los pagos. En particular, todas las obligaciones financieras son pagadas en las cantidades y plazos convenidos.
- No Saciedad. Los individuos siempre prefieren más (dinero) que menos.
- No hay Costos de Transacción. La tasa de interés (r) por préstamos es la misma que la tasa de interés por ahorrar. Es decir, las tasas activa y pasiva son iguales. Este supuesto es equivalente a establecer la existencia de mercados perfectos de capital.
- Dos periodos. El horizonte de planeación del individuo está dividido en dos etapas: presente (periodo 0) y futuro (periodo 1).
- Tasa de Interés Paramétrica. La tasa de interés en un periodo dado es la misma independientemente de la cantidad que pida prestado o ahorre. Esto es, las decisiones sobre consumo - ahorro no afectan el nivel de la tasa de interés.
- Dotaciones Paramétricas. El ingreso (Y) del consumidor está dado en la forma de dotaciones: Y 0 representa el valor de los bienes presentes que posee y Y 1 representa el valor de los bienes que recibirá en el futuro. Esto es, el ingreso es considerado como exógeno.
- Preferencias Convexas. Cada consumidor tiene una función de utilidad bien comportada, la cual expresa sus preferencias entre gasto en consumo presente, C 0 , y gasto en consumo futuro,C 1. La función de utilidad se denota por U = U ( C 0 ,C 1 ). Puesto que ambos consumos
son considerados bienes, U C C
U C C
C
0 0 1 0 1 0
y U C C
U C C
C
1 0 1 0 1 1
. Se
supone que U = U( C 0 , C 1 ) es estrictamente cóncava de tal forma que las curvas de
indiferencia intertemporal son estrictamente convexas al origen.
LA TASA MARGINAL DE SUSTITUCION
La pendiente de una curva de indiferencia se le conoce como la tasa marginal de sustitución. Para obtener dicha pendiente, se toma el diferencial total de la función de utilidad U = U C( 0 , C 1 ). Esto es dU = U 0 ( C 0 ,C 1 ) dC 0 + U 1 ( C 0 ,C 1 ) dC 1 = 0. De donde dC dC
U C C
U U U^ C^ C
1 0
0 0 1 1 0 1
= −^ <
=
_
. Es decir, la función de utilidad genera tasas marginales de
sustitución intertemporal decrecientes en valor absoluto, como se aprecia en la Figura 1.
Figura 1 Curvas de Indiferencia en el Plano Consumo Presente, Consumo Futuro
C 1
U 3 >U 2 >U 1
U 2 >U 1
U 1
C 0
El objetivo del consumidor es maximizar la utilidad intertemporal sujeto a una o varias restricciones de mercado. Las preferencias del consumidor representan la parte subjetiva del problema de maximización. Con el fin de analizar la decisión óptima, ahora se considera la parte objetiva (mercado) del problema. Para ello, se revisan tres casos. En el primero se estudian las decisiones de consumo intertemporal en un mundo con intercambio pero sin producción. Es decir, el consumidor puede utilizar el mercado de capital para ahorrar o pedir prestado pero no es posible sacrificar consumo presente para invertirlo físicamente en proyectos. En el segundo caso se considera la producción pero sin intercambio y en el tercero se analizan las decisiones cuando se incluye tanto intercambio como producción.
Esta última expresión representa la ecuación de una recta donde la ordenada al origen es
( 1 +^ r^ )W^0 = W^1 y la pendiente es^
dC dC
1 0
= − (^) ( 1 +r).
En la canasta óptima (^) ( C 0 * , C 1 *), la pendiente de la curva de indiferencia es igual a la pendiente
de la línea de presupuesto intertemporal: − = −
U
U
0 1
, o bien (^) ( )
U
U
0 1
= 1 + r. Es decir,
en la canasta óptima la tasa subjetiva a la que el individuo esta dispuesto a intercambiar consumo presente por consumo futuro es la misma a la tasa que el mercado le permite hacer dicho intercambio. La Figura 2 es la representación gráfica de esta situación.
Figura 2 Decisión Optima de Consumo Intertemporal con Intercambio
C 1
W 1 pendiente = - (1+r)
C 1 *
U*
C 0 * W 0 C 0
De manera formal, se desea maximizar U C( 0 ,C (^1) )sujeto a la ecuación (3):
C r
Y
r
0
1 0
1 1 1
C Y
La función Lagrange para este caso se puede escribir como:
L C ( C Y Y (^) ) C C C
C Y
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1
, ; r , , U ( , ) r
Y
r
^
Asumiendo la existencia de una solución interior, las condiciones de primer orden (CPO) son:
L 0 = U 0 ( C 0 ,C 1 ) − λ = 0 , (4a)
L 1 1 C 0 C 1
U =
r
(4b)
L
C Y
λ = − −
C =
r
Y
r
0 1 0 1 1 1
- (4c)
Combinando (4a) y (4b) se obtiene
( ) ( )
U C C
U C C
(^0 0 ) (^1 0 )
= ( + r ,) (5)
lo que representa la condición de tangencia en la Figura 2. La condición de segundo orden (CSO) es:
D ≡
U U
U U
r
r
00 01 10 11
donde
U
C
i j
≡ Uij. i = 0 1, ; j=0 1,. En los desarrollos posteriores se supone que se cumple
(6), con lo que el problema de maximización queda resuelto.
ESTATICA COMPARATIVA PARA CAMBIOS EN LA TASA DE INTERES
Una de las preguntas básicas en este modelo de decisiones de consumo intertemporal, es cómo responden tanto el consumo presente como el consumo futuro cuando cambia la tasa de interés. Con el fin de realizar este ejercicio de estática comparativa, recuerde que de las CPO se obtienen las funciones de demanda (ordinarias) por consumo presente y futuro. Dichas
funciones tienen como argumentos los parámetros del modelo: dotaciones de ingreso (Y 0 , Y 1 )
y la tasa de interés (r). En cuanto a los pasos a seguir en un análisis de estática comparativa, primero se sustituyen las funciones de demanda en las CPO y el sistema de ecuaciones resultante se deriva con respecto al parámetro relevante. El siguiente paso es ordenar el sistema de ecuaciones por lo que todo término que no tenga incógnitas se pasa al lado derecho de cada una de las CPO. Después el sistema de ecuaciones se expresa en notación matricial para, finalmente, utilizar la Regla de Cramer. En especial observe que, como resultado de haber
sustituido las funciones de demanda en las CPO, las funciones marginales (^) ( U 0 ,U (^1) ) tienen
como argumentos las demandas ordinarias las que a su vez dependen de los parámetros del modelo. Es por ello que las funciones U 0 , U 1 , C 0 ,C 1 y los parámetros Y 0 , Y 1 y r , se
encuentran relacionados entre sí. Note que la tasa de interés afecta las funciones marginales
(U 0 ,U^1 ) no en forma directa sino a través de su efecto en los consumos presente y futuro
como se muestra en el siguiente esquema:
C 0 (Y 0 ,Y 1 ,r)
U 0 (C 0 ,C 1 ), U 1 (C 0 ,C 1 ) r
C 1 (Y 0 ,Y 1 ,r )
A continuación se realiza este ejercicio de estática comparativa para cambios en la tasa de interés. Al sustituir las demandas en las CPO, dichas condiciones lucen como sigue:
[ (^ )^ (^ )] (^ )
[ (^ )^ (^ )]
( )
( )
( )
L C Y Y r C Y Y r Y Y r
L C Y Y r C Y Y r
Y Y r
L Y Y r
C Y Y r (^) Y
0 0 0 0 1 1 0 1 0 1
1 1 0 0 1 1 0 1
0 1
0 0 1
1 0 1 0
1
U
U
r
C r
Y
r
λ
La estática comparativa para cambios en la tasa de interés requiere de diferenciar totalmente las CPO con respecto a r:
( )
( ) ( )
∂ ∂
C λ r (^) D
C
D
0 3
0 0 01 11 1 1
r^1
Y
r r
= − U U
Observe que de las CPO (relación 4a), λ > 0. Además, de (6), D > 0. Por otra parte
( )
3 1 + r > 0 ya que r > 0. Por lo tanto, el primer término del lado derecho del igual en (9') es
negativo. De hecho, es posible demostrar que (9') se puede escribir como
( ) ( )
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
C
r
C
r
C C
U U Y
0 0 0 0 0 1 0
=
Y
_ (^) r
La relación (10) es la ecuación de Slutsky con dotaciones en el modelo de decisiones de
consumo intertemporal. En esta ecuación, el signo de
C
r (^) U U
0
_ es negativo (efecto sustitución
negativo). El signo de la segunda expresión depende de:
a) Si el individuo ahorra en el presente, (^) ( C 0 − Y (^0) )< 0 , o si pide prestado en el presente, ( C^0 −^ Y^0 )>^0.
b) Si C 0 es un bien normal,
C
Y
0 0
> 0 o si, por otra parte, C 0 es un bien inferior,
C
Y
0 0
< 0. Por
ejemplo, considere un aumento en la tasa de interés (r) para el caso de un ahorrador en el presente y donde C 0 sea un bien normal. Vía efecto sustitución, el aumento en r hace que C 0 disminuya. Pero, puesto que se trata de un ahorrador, el aumento en r significa mayor ingreso o
riqueza en el futuro y (dado que C 0 es normal) aumenta C 0 , por lo que el signo de
C
r
0 es
indeterminado. En cambio, para un individuo que pide prestado en el presente, el aumento en r
disminuye su riqueza por lo que baja C 0 , reforzando al efecto sustitución, por lo que
C
r
0 < 0.
El ahorro en el presente se representa por (^) (Y 0 − C (^0) ) > 0. Para un ahorrador que considere el
consumo en el presente como un bien normal, no es claro el efecto que tienen los cambios en la
tasa de interés sobre C 0 por lo que el efecto sobre el ahorro de un cambio en r es ambiguo. El
aumento en la tasa de interés produce un efecto sustitución que favorece el ahorro, pero también provoca un efecto ingreso que reprime el ahorro. Para un individuo que inicialmente pida prestado en el presente, el aumento en la tasa de interés provoca que pase de una situación de pedir prestado a una de ahorrador (Ver adelante Figuras 3 y 4).
A partir de la forma matricial (8), ahora considere el cambio en el consumo futuro con respecto a una variación en la tasa de interés. Al utilizar nuevamente la Regla de Cramer para resolver el
sistema de ecuaciones en (8) para
C
r
1 se tiene:
( ) ∂ (^ )
C
r
U
U
r Y
D
1
00 (^10 )
1 1 2
r C r =
( ) ( )
( )
( ) r ( )
U C
r (^) r
∂ ∂
C λ r D
Y U
U
1 4 2
00 5 1 1 2
00 10
( )
( ) r ( )
C
r r
U U
C λ
r (^) D
Y
D
1 2
1 1 2 00 10 1 1
De la restricción de presupuesto en (3) se observa que: C 0 1 Y 0 Y 1
r +
C
r
, lo que se
puede escribir como
Y
C
1 1 0 0 1
C
r
Y. Sustituyendo esta última expresión en (11) se
obtiene:
( )
( ) r ( )
Y
r r
U U
C λ
r (^) D
C
D
1 2
0 0 00 10 1 1
El primer término del lado derecho de (11') es positivo. De hecho, es posible demostrar que (11') puede escribirse como:
( ) ( )
C
r
C
r
C C
U U Y
1 1 0 0 1 1 0
Y
=_ r
En la expresión (12), el signo de
∂ ∂
C
r U U
1
_ es positivo.^ Es decir, el efecto sustitución^ es
positivo. Si aumenta la tasa de interés, disminuye el precio P =
^
1 r
del consumo futuro.
Ello produce un efecto sustitución hacia menos consumo presente y más consumo futuro al
moverse a lo largo de una curva de indiferencia. La interpretación de (^) ( C 0 − Y (^0) ) es igual que
antes. Si
C
Y
1 0
>^ , entonces^ C^1 es un bien normal. Si
C
Y
1 0
<^ ,^ C 1 es un bien inferior.
Note que para el caso de un individuo que pida prestado en el presente (^) ( C 0 > Y (^0) ), un aumento
en r produce un incremento en C 1 , ello debido a que el aumento en r lleva a una disminución de C 0 (menor a Y 0 ) y el ahorro le permite incrementar C 1. La estática comparativa para cambios en la tasa de interés puede ser ilustrada gráficamente tanto para un individuo que pide prestado en el presente (Ver Figura 3a adelante) como para un consumidor que ahorre en el presente (Ver Figura 3b adelante). En relación a la Figura 3a, observe que el consumo óptimo en el presente es mayor que su dotación de ingreso en el presente. Es decir, el consumidor pide prestado en el presente. El efecto de un incremento en la tasa de interés sobre la restricción de presupuesto intertemporal es el de aumentar la pendiente de la misma (Ver línea punteada en al Figura 3a), ya que cada unidad ahorrada produce un mayor rendimiento. Sin embargo, la nueva restricción de presupuesto tiene que pasar por la dotación inicial (Y 0 ,Y 1 )ya que, independientemente de que el individuo participe en el mercado de capital, su dotación es una canasta que está disponible antes y después del aumento en la tasa de interés. Ahora la pregunta relevante es, de las nuevas canastas disponibles, cuál selecciona el consumidor. Por supuesto, dicha elección depende de sus preferencias por consumo presente y futuro. No obstante, sin incluir curva de indiferencia alguna, es posible identificar un segmento de la nueva restricción de presupuesto en la que un consumidor racional no se colocaría. Con base en un argumento de preferencia revelada , la región sobre la
Figura 3b Aumento en la Tasa de Interés y Consumo Intertemporal Ahorra en el Presente
C 1
C 1 * • A
Y 1
C 0 * Y 0 C 0
En el Cuadro 1 se presenta un resumen sobre la estática comparativa de un aumento en la tasa de interés de acuerdo a si el consumo en el presente se considera un bien normal o inferior y según que el individuo pida prestado o ahorre en el presente.
Cuadro 1 Estática Comparativa de un Aumento en la Tasa de Interés
El Consumo Presente (C 0 ) es un bien:
Normal ∂
C
Y
0
. (^0)
Inferior ∂
C
Y
0
. (^0)
Pide Prestado (C 0 - Y 0 )>
Ahorra (C 0 - Y 0 )<
Pide Prestado (C 0 - Y 0 )>
Ahorra (C 0 - Y 0 )<
C
r
C
r
0 =?^ ∂
C
r
0 =?^ ∂
C
r
C
r
C
r
1 =?^ ∂
C
r
1 =?^ ∂
C
r
Si no existiera un mercado de capital que permita trasladar riqueza del futuro hacia el presente, o bien ahorrar para consumir más en el futuro y sin la posibilidad de almacenar bienes para el futuro, entonces no habría un problema de decisión y el individuo estaría forzado a consumir su dotación ( C 0 = Y 0 , C 1 =Y 1 ). Ahora bien, su dotación no necesariamente representa su canasta
óptima (^) ( C 0 * , C 1 *). En el caso donde su dotación no sea su canasta óptima ( C 0 * ≠ Y 0 , C 1 * ≠ Y 1 )
entonces el consumidor aumenta su bienestar como resultado de la creación de un mercado de capital que le permita desplazar consumo a través del tiempo. Además, con la existencia de dicho mercado, el consumidor no puede empeorar ya que siempre puede elegir consumir su dotación ("autarky point", punto D en la Figura 4). Aun si existiera la posibilidad de almacenar productos, en la ausencia de un mercado de capital, el consumo en el presente no puede ser
mayor a su dotación en el presente ( C 0 ≤ Y 0 ). Es decir, dicho almacenamiento permite
"desplazar" bienes hacia adelante (futuro) en el tiempo, pero no permite mover bienes hacia el presente. Observe que el consumidor representado en la Figura 4 aumenta su bienestar gracias a la existencia de un mercado de capital.
Figura 4 Decisión Optima de Ahorro-Consumo Intertemporal con Intercambio
C 1
C 1 *
Y 1 D U*>U
U
C 0 * Y 0 C 0
TASA SUBJETIVA DE PREFERENCIA INTERTEMPORAL O IMPACIENCIA POR
CONSUMO PRESENTE
Sea x una cantidad específica de consumo en el presente y y una cantidad específica de consumo en el futuro. Se dice que un consumidor tiene preferencia intertemporal positiva ( δ>0) si para cada canasta (x,y) tal que y>x, U y x( , (^) ) > U x y( ,). No tiene preferencia
intertemporal δ=0 si U y x( , (^) ) = U x y( , ) y tiene preferencia intertemporal negativa ( δ>0) si
U y x ( , (^) ) < U x y( , ). El parámetro δ representa la tasa subjetiva de preferencia intertemporal.
Dicho parámetro juega un papel similar al de la tasa de interés en cuanto a que esta última es utilizada para descontar o trasladar a valor presente cantidades monetarias que ocurren en el
futuro. La tasa δ descuenta niveles de utilidad que tienen lugar en el futuro. Entre más grande
sea esta tasa, mayor es la preferencia por consumo en el presente y, por lo tanto, menor peso tiene en el presente los niveles de utilidad que tienen lugar en el futuro. De manera más específica, suponga que:
U C ( 0 C 1 ) U C( 0 ) U C( 1 )
, U ′ > 0 , U′ ′ < 0 , δ > 0.
Si esta función de utilidad es maximizada sujeta a la restricción en (3), la función de Lagrange se escribe como:
L C C r Y Y U C
U C C
Y
Y
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1
C
r r
^
Suponiendo la existencia de una solución interior, las CPO son:
L 0 = U′ ( C 0 ) − λ = 0 , (13a)
consumidas hoy o plantadas (inversión física). Sin embargo, como no hay posibilidades de intercambio, la producción física es la única forma de aumentar C 1 por encima de Y 1. La única manera de producir es mediante el sacrificio de consumo presente. Es decir, si X 0 denota la cantidad invertida en producción, entonces
X 0 = Y 0 − C 0 ≥ 0 (15)
0 ≤ X 0 ≤Y 0
La tecnología disponible está descrita por una función de producción f , tal que X 0 unidades
invertidas en el presente producen X 1 unidades en el futuro. Es decir,
X 1 = f ( X 0 ) = f (Y 0 −C ). 0 (16)
Supuestos sobre la función de producción:
- f ( 0 )= 0. Esto es, si en el presente consume toda su dotación de ingreso presente
( Y 0 = C 0 ), entonces no destina cantidad alguna a inversión física ( X 0 = 0 ) por lo que en el
futuro está destinado a consumir su dotación de ingreso futuro ( Y 1 = C 1 ) ya que X 1 = 0.
df dX
f X 0
≡ ′ ( 0 ) > 0. Es decir, se supone que la función de producción presenta productividad
marginal positiva.
d f dX
2
0
2 ≤^0. Esto es, se supone una productividad marginal positiva pero no-creciente. Otra
forma de expresar este resultado es que se supone que existen rendimientos a escala no- crecientes. Para el caso de rendimientos a escala decrecientes, la representación gráfica de la Frontera de Posibilidades de Producción es como a continuación se muestra en la Figura 6.
Figura 6 Frontera de Posibilidades de Producción
X 1 X 1 =f(X 0 )
(0≤X 0 ≤Y 0 ) X 0
El nivel de la producción máxima en el futuro ( X 1 max^ ) ocurre cuando toda la dotación de
ingreso en el presente ( Y 0 ) se destina a inversión física ( X 0 = Y 0 ). Es decir:
X 1 max = f ( X 0 = Y 0 ). En este caso, el consumo en el presente es nulo ( C 0 = 0 ).
Con el fin de trasladar el análisis al plano (^) ( C 0 , C 1 ), observe que el nivel de inversión física es
lo que no es consumido en el presente. Por otra parte, el consumo en el futuro puede representarse como: C 1 = Y 1 +X 1. Al sustituir (16) en esta última expresión, se tiene:
C 1 = Y 1 + f (^) ( Y 0 − C 0 ) (17)
Esta última expresión representa la restricción tecnológica. Para (^) ( Y 0 − C 0 )≥ 0 dicha
restricción describe la Frontera de Posibilidades de Consumo (Ver Figura 7 adelante). En la situación extrema donde el individuo decida consumir su dotación en el presente ( Y 0 = C 0 ),
entonces está destinado a consumir su dotación en el futuro ( Y 1 = C 1 ). Debido a que no hay
intercambio (por lo tanto, no hay precios), la restricción es diferente a la del caso I. El problema del consumidor para este caso II se puede plantear como uno de
maximizar U C( 0 , C 1 ) sujeto a C 1 = Y 1 + f Y( 0 −C 0 ). Sin embargo, en lugar de plantear este
problema a través de la función Lagrange, se puede sustituir la restricción en la función objetivo, de tal forma que ahora el problema sea el de maximizar:
U C[ 0 , Y 1 + f Y ( 0 − C 0 )] con respecto a C 0. (18)
Observe que C 0 tiene dos efectos sobre U(.): Un efecto directo, ya que C 0 es un argumento de U(.), y un efecto indirecto vía su impacto en C 1 y éste, a su vez, afecta a U(.), como se muestra en el siguiente esquema:
U C 1 C 0
Suponiendo que existe una solución interior, para el problema descrito en (18), la CPO es:
[ (^ )] (^ )^ [ (^ )]
dU dC
C Y Y C Y
0
= U 0 0 * , Y 1 + f 0 − C 0 * − f ′ 0 − C 0 * U 1 0 * , Y 1 + f 0 − C 0 * = 0.
La solución de esta ecuación implica que:
( )
( )
( )
U C C
U C C
X
(^0 0 )
(^1 0 )
f 0.
Esto es, la pendiente de la curva de indiferencia (evaluada en la canasta óptima) es igual a la pendiente de la curva de posibilidades de consumo. Note que una vez determinado el consumo
presente óptimo ( C 0 *^ ), la cantidad óptima a invertir en el presente ( X 0 *^ ) y el consumo futuro
óptimo ( (^) C 1 *^ ) quedan determinados como sigue:
C (^1 1) ( X 0 )
- (^) = Y + f * y (^) X 0 0 0
* = Y − C*.
Observe que en este caso II, la expresión (19) indica que la cantidad óptima a invertir depende de las preferencias y de la dotación de ingreso en el presente. Debido a que no hay intercambio,
Al igual que en los casos I y II, el consumidor selecciona un plan de consumo - inversión,
( X^0 ,C^0 ,^ C^1 ) con el objetivo de maximizar^ U C( 0 ,C^1 ) sujeto a la siguiente restrición de
presupuesto:
C 0 + PC 1 = W 0 (21)
Debido a la existencia de un mercado de capital, la restricción del caso II, X 0 = Y 0 − C 0 ≥ 0 , ya no representa limitación alguna. Es decir, el consumidor puede pedir prestado (teniendo como garantía su ingreso futuro) ya sea para consumir o invertir en producción física en el presente. Combinando (20) y (21) se obtiene:
C 0 = Y 0 + PY 1 + Pf ( X 0 ) − X 0 − PC1. (22)
Sustituyendo (22) en la función de utilidad, el problema de elección del consumidor en este
caso III consite en elegir tanto X^0 como C^1 para maximizar:
U [ Y 0 + PY 1 + Pf ( X 0 )− X 0 − PC 1 ,C 1 ]
Antes de pasar a las CPO, note que las relaciones entre las variables son como aparecen en el siguiente esquema:
U C 0
C 1
X 0
Suponiendo que existe una solución interior, las CPO son:
( ) [ ( ) ]
dU dX
C C Pf X 0
= U 0 0 * , 1 * ′ 0 * − 1 = 0 (23a)
( ) (^ )^ ( )
dU dC
C C C C
1
= U 0 0 * , 1 * − P + U 1 0 * , 1 * = 0 (23b)
Una vez obtenidos los valores óptimos ( X 0 *^ y C 1 *^ ) para las variables de decisión, es posible
obtener el consumo presente óptimo ( C 0 *^ ) como sigue:
C 0 0 1 ( X 0 ) 0 1
- (^) = Y + PY + Pf * (^) − X * (^) − PC*.
Con el fin de interpretar las CPO en (23a) y (23b) note que U 0 ( C 0 * ,C 1 * )> 0 , por lo tanto la
ecuación (23a) se puede escribir como :
f ( X )
P
0 =^ +
r
r (24)
La relación (24) se conoce como la condición de eficiencia ya que la cantidad óptima a invertir
en producción física, X 0 *^ , no depende ni de las preferencias del consumidor ni de su dotación
( Y 0 , Y 1 ). Es decir, dos consumidores con preferencias totalmente diferentes por consumo
presente y futuro y con dotaciones también distintas, pero que enfrentan la misma tasa de interés de mercado y con la misma tecnología de producción, seleccionan el mismo nivel de
inversión, (^) X 0 *^.
A continuación se presenta una interpretación de la condición de eficiencia en (24),
f ′ (^) ( X 0 )= 1 +
- (^) r. De (20) note que W 0 es una función de X 0 : W (^0) ( X (^0) ). Si X (^0) ** (^) denota la
cantidad de inversión física que maximiza la riqueza actual W 0 = Y 0 + PY 1 + Pf (^) ( X (^0) )− X 0 ,
entonces X 0 **^ es la solución al siguiente problema:
[ (^ ) ] X
MAX Y^ X
0
0 + PY 1 + Pf 0 −X 0
La CPO es:
( )
dW dX
X
0 0
= Pf′ 0 − 1 = 0 ** (^) , o bien
f ′ (^) ( X 0 ) = 1 + ** (^) r. (25)
Observe que la expresión (25) es idéntica a la condición de eficiencia en (24). Dado que la
solución de (24) no depende de las preferencias ni de las dotaciones, entonces X 0 ** = X 0 *. Por
lo tanto, la condición de eficiencia se puede interpretar como sigue: "Seleccionar un nivel de inversión que maximice el valor presente de la riqueza". Respecto a la segunda ecuación (23b) de las CPO, esta condición se puede escribir como:
( )
( )
U C C
U C C P
(^0 0 )
(^1 0 )
r
r.
Esta condición es idéntica a la del Caso I [ecuación (5)] si se usa como riqueza actual
W 0 Y 0 PY 1 Pf (^) ( X (^0) ) X 0
dos etapas:
Seleccionar el nivel óptimo de inversión, X 0 *^ , que maximice el valor presente de la riqueza.
Utilizar el mercado de capital para prestar o pedir prestado (teniendo como garantía dicha
riqueza maximizada) con el fin de alcanzar la canasta de consumo (^) ( C 0 * ,C 1 *)de máxima utilidad
intertemporal. En un mercado de capital en el que los individuos enfrentan la misma tasa de interés (r) y utilizando los dos resultados [relaciones (24) y (26)] de las CPO, la tasa marginal de sustitución
de todos los consumidores - inversionistas es igual a (^) ( 1 + r (^) )lo que, a su vez, es igual a la tasa
marginal de transformación (TMT) descrita como f ′ (^) ( X 0 *^ ). Es decir, para los consumidores j e
i:
TMS j = TMS i = (^) ( 1 + r (^) ) = TMT ≡ f ′( X 0 ).
La separación de las decisiones sobre inversión (etapa I) de las decisiones sobre consumo (etapa II) se le conoce en la literatura como el Teorema de Separación de Fisher : Si se tiene un mercado de capital perfecto, la decisión de producción se rige únicamente por un criterio
Figura 8 Decisión Optima de Inversión, Ahorro-Consumo Intertemporal con Intercambio y Producción
C 1 *
U 3
U 2
U 1
X 1 *
Y 1
C 0 * Y 0 W 0 W 0 * C 0
X 0 *
BIBLIOGRAFIA
Copeland, Thomas and Weston, J. Fred. Financial Theory and Corporate Policy. Reading, Mass.: Addison- Wesley, 1988. Capítulo 1.
Henderson, James M. and Quandt, Richard E. Microeconomic Theory. A Mathematical Approach. New York: McGraw - Hill, 1980. Capítulo 12.
Martin, John D., Cox, Samuel H. and MacMinn, Richard D. The Theory of Finance: Evidence and Applications. Chicago: The Dryden Press, 1988. Capítulo 2.
Merton, Robert C. Finance Theory. Unpublished Manuscript. Sloan School of Management. Massachusetts Institute of Technology. 1982.
Silberberg, Eugene. The Structure of Economics. New York: McGraw - Hill, 1990. Capítulo 12.
EJERCICIOS
- Considere un consumidor con un horizonte de vida de dos períodos (presente y futuro). Suponga que la función de utilidad es U C( 0 , C 1 )= C 0 C 1 y que su dotación es Y 0 = $10,000,
Y 1 = $5,250. No hay inflación y la tasa de interés (r) es 5 %.
a. ¿Cuáles son las funciones de demanda por consumo presente y futuro? (Derive formalmente y muestre procedimiento). b. ¿Cuál es el valor numérico de la canasta óptima? c. ¿Cuál es la función de ahorro ( Y 0 − C 0 )en el presente?
d. ¿Cuánto ahorra (pide prestado) en el presente?
- Considere una economía con un mercado de capital perfecto en donde únicamente los consumidores ahorran y piden prestado. En dicho mercado existen 150 participantes y cada uno tiene la misma función de utilidad para un horizonte de vida de dos períodos (presente y futuro): U C( 0 ,C 1 )= C 0 C 1. Del total de consumidores, 100 disponen de una dotación
(Y 0 ,Y 1 )=($10,000, $8,400), mientras que los restantes 50 tienen ($8,000, $14,000). a. Derive formalmente (muestre procedimiento) la función de demanda por consumo presente para uno de los individuos. b. ¿Cuál es la función de ahorro (préstamo) para uno de los individuos? c. ¿Cuál es la condición para que exista equilibrio en el mercado de capital? d. ¿Cuál es la tasa de interés (r) consistente con dicho equilibrio?
- Suponga que U C C C
C
( , ) ln( ) ln( ) 0 1 0
1 1
, δ > 0 , Y 0 = Y 1 =Y> 0
a. ¿Cuáles son las funciones de demanda por consumo presente y futuro? (Derive formalmente y muestre procedimiento).
b. ¿En qué caso C 0 * = C 1 * , C 0 * > C 1 * ,C 0 * < C 1 *?
- En el siguiente diagrama se presentan las posibilidades de consumo de un inversionista que no tiene dotación de ingreso ni en el presente ni en el futuro ( Y 0 = Y 1 = 0 ), pero que dispone de
oportunidades de inversión con un valor presente neto positivo. Puesto que no dispone de ingreso, tiene que financiar la inversión mediante un préstamo (pasivo financiero) usando para ello el mercado de capital en lugar de utilizar sus propios recursos (capital). En el futuro tiene que pagar la deuda más los intereses. El costo de los fondos se representa por la tasa de interés ( r >0), la cual está implícita en la pendiente negativa de la línea recta que a parece en la gráfica. En el mismo diagrama se pide identificar claramente con las letras (A, B, C, etc.) cada una de las siguientes distancias horizontales o verticales :
A. El nivel óptimo de inversión (préstamo inicial). B. El valor futuro generado por la inversión. C. El valor futuro de la deuda (préstamo más intereses). D. El valor presente del valor futuro generado por la inversión. E. El valor presente neto del valor futuro generado por la inversión. F. El valor presente neto si hubiera seleccionado una inversión inicial de distancia 0 - Z. G. Con base en el nivel óptimo de inversión, ¿ Cuáles son las posibilidades de consumo?
