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Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.
Continuidad de una función
Continuidad de una función en un punto
Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:
- Que el punto x= a tenga imagen.
- Que exista el límite de la función en el punto x = a.
- Que la imagen el punto coincida con el límite de la función en el punto.
Estudiar la continuidad de en x =
Ejemplo:
f(2)= 4
lim𝑥𝑥→ 2 −^ 𝑥𝑥^2 = 4
lim𝑥𝑥→ 2 + 𝑥𝑥^2 = 4
luego lim𝑥𝑥→ 2 𝑥𝑥^2 = 4
por tanto f(2) = lim𝑥𝑥→ 2 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4
luego la función es continua en x=
Continuidad lateral
Continuidad por la izquierda
Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto x = a si:
Continuidad por la derecha
Una función f(x) es continua por la derecha en el punto x = a si:
Ejemplo:
Una función f es continua en un punto si es continua por la izquierda y es continua por la derecha:
Ejemplo:
Discontinuidad de funciones
Si alguna de las tres condiciones de continuidad no se cumple, la función es discontinua en a.
Ejemplo:
La función es discontinua porque en x = 2 no existe imagen.
Ejemplo:
La función es discontinua porque en x = 2 no coincide la imagen con el límite.
Tipos de discontinuidad
Discontinuidad evitable
Una discontinuidad es evitable en un punto x = a si existe y éste es finito.
Nos encontramos con dos tipos de discontinuidad evitable:
- La función no está definida en x = a.
Ejemplo 1:
- La imagen no coincide con el límite.
Ejemplo 2:
Cuando una función presenta una discontinuidad evitable en un punto se puede redefinir en dicho punto para convertirla en una función continua.
Ejemplo:
Redefinimos la función del ejemplo 1 para que sea continua en x=2:
Discontinuidad inevitable
Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si existen los límites laterales en x = a, pero son distintos.
Salto
Salto es la diferencia en valor absoluto de los límites laterales.
Según el tipo de salto nos encontramos con dos tipos de discontinuidad inevitable:
- Discontinuidad inevitable de salto finito
La diferencia entre los límites laterales es un número real.
En x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no tiene límite por la derecha.
Ejemplo:
En x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no tiene límite por la izquierda.
