MAT$2$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $ $ $ $ ADE$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ 2013+14$
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CONTROL$2$(Ejemplo)$
1
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1) (6$puntos)!Dada!la!función
f ( x, y) =ex2+y2
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a) Analiza!si!es!cóncava!o!convexa!!
b) Estudia!si!tiene!óptimos!locales!¿podemos!garantizar!que!serán!globales?!
c) Dibuja!!un!mapa!de!curvas!de!nivel!de!la!función!
d) ¿En!qué!curva!de!nivel!está!el!punto!(1,D1)?!Calcula!la!ecuación!de!la!recta!tangente!a!esa!curva!en!el!punto!(1,D1)!
e) Calcula!el!plano!tangente!a!la!gráfica!en!el!punto!(1,D1)!
f) Cuando!nos!situamos!en!el!punto!(1,D1)!en!qué!dirección!el!crecimiento!de!la!función!es!máximo!
g) En!el!punto!(1,D1)!en!la!dirección!(D3,4)!¿la!función!crece!o!decrece?!
h) Dibuja!el!conjunto!
S=x, y
( )
y=x2+3
{ }
.!Analiza!si!es!un!conjunto!abierto,!cerrado,!acotado,!compacto!o!convexo!
i) Enuncia!el!Teorema!de!Weierstrass!y!estudia!si!puede!aplicarse!a!la!función!en!el!conjunto!del!apartado!anterior!
j) Estudia!gráficamente!los!óptimos!globales!de!
f ( x, y) =ex2+y2
!en!
S=x, y
( )
y=x2+3
{ }
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k) Resuelve!analíticamente!el!problema!!!!!!!!!!
Optimizar!!! f (x, y ) =ex2+y2
sujeto!a
!!!!!!!!!!!!!!!! y!x2=3
!diciendo!en!qué!punto!o!puntos!se!alcanzan!
valores!óptimos!y!calculando!dichos!valores!óptimos!
l) Para!el!problema!anterior!¿se!cumple!la!condición!de!regularidad?!
m) Para!el!problema!anterior!¿en!qué!conjunto!hay!que!estudiar!el!signo!de!la!forma!cuadrática!para!garantizar!la!
condición!suficiente!de!segundo!orden!en!el!óptimo?!
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2)!(4$puntos)$$Un!ganadero!alimenta!su!ganado!con!dos!tipos!de!pienso.!El!primer!tipo!es!rico!en!proteínas!y!cuesta!10!
euros!por! kg! mientras!que!el! segundo,! rico!en!hidratos! de! carbono,!tiene! un! precio! de!5!euros! cada! kg.!Para!que! el!
ganado!esté! bien! nutrido!debe !alimentarse!al!menos! con! 3000! Kg!de! pienso! cada! mes!y! debe!consumir! al! menos! el!
doble!del!pienso!rico!en!proteínas!que!del!otro.!
a)!Plantea!el!problema! que!debe!resolver! el!ganadero!para!alimentar! a!su!ganado! de!forma!adecuada! y!que!le! cueste!
lo!menos!posible!
b)!Resuelve!el!problema!gráficamente!utilizando!curvas!de!nivel!
c)!Expresa!el!problema!planteado!en!forma!estándar!
d)!Escribe!las!condiciones!de!KuhnDTucker!del!problema!planteado!
e)! Analiza! si! alguno! de! los! siguientes! puntos! verifica! las! condiciones! de! KuhnDTucker:! (3000,0),! (1000,2000),!
(2000,1000)!
f)!Si!alguno!de!los!puntos!anteriores!cumple!las! condiciones!de!KuhnDTucker,!calcula!los!valores!de!los!multiplicadores!
correspondientes!y!explica!si!podemos!asegurar!o!no!que!dicho!punto!es!una!solución!del!problema!
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