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Control y Modelación de Sistemas Dinámicos
Los modelos matemáticos pueden ser clasificados según su relación con el tiempo, la
naturaleza de sus variables, las características en cuanto a grado de certidumbre de sus
parámetros y el tipo de ecuaciones matemáticas empleadas en su construcción, en función de lo
anterior se establecen los siguientes tipos de modelos:
Modelos Estáticos / Dinámicos
Ésta clasificación hace referencia al comportamiento de los parámetros de un modelo en
relación con la variable tiempo, se identifican como modelos estáticos aquellos que permanecen
invariables dentro de un periodo previamente establecido, y cómo dinámicos aquellos que
presentan cambios dentro de tal periodo con el transcurrir del tiempo.
Figura 1 Tipos de modelos de operaciones. Obtenido de: Universidad de Santo Tomas. (s.f.)
Modelos Determinísticos / Estocásticos
Se refiere al grado de certeza con el cuál se conocen los parámetros de un modelo
matemático, el modelo es determinístico cuando se tiene certeza de los valores de los
parámetros, el modelo es estocástico cuando los parámetros usados para caracterizar el modelo
son variables aleatorias que tienen unos comportamientos estimados pero no se conoce con
certidumbre previamente cuál será el valor que tomen.
En otras palabras, un sistema de control es determinístico si la respuesta a la entrada es
predecible y repetible. De no serlo el sistema de control es estocástico.
Modelo de Ecuaciones en Procesos Empleados en Ingeniería Química.
Correlación de los Parpámetros de la Ecuación de Antoine para el Cálculo de la
Presión de Vapor de un Componente uro (propano).
La ecuación de Antoine permite calcular la presión de vapor de un componente puro en
función de la temperatura.
P
v
A +
B
T + C
Linealice la ecuación anterior y determine, utilizando regresión lineal múltiple, los
parámetros A, B y C para los siguientes datos de presión de vapor del propano
Punto T (°F) P (psia) Punto T (°F) P (psia)
Represente los valores calculados y experimentales en una gráfica P vs T. Represente los
errores cometidos en P vs T para cada dato.
Solución:
Evaporador Flash
Una mezcla de composición (fracción molar) como la de la tabla se introduce en un
evaporador flash a la temperatura de 160 °C y 1 atm. Determinar que fracción de mezcla de ha
evaporado. Suponer mezcla ideal.
Comp j Z j
A
j
B
j
ln ( K
j
A
j
T + 460
+ B
j
K
j
P
j
¿
P
( T ° C )
Nota: la forma más fácil de resolver el problema es resolver
∑
j = 1
n
x
j
− y
j
Donde
x
j
, y
j
son funciones de la fracción evaporada. Calcule también las temperaturas de
rocío y burbuja de la mezcla.
Solución.
Este problema se puede resolver planteando el conjunto completo de ecuaciones o bien
reducirlo a una única ecuación que dependa sólo de la fracción de vapor. Veamos como se puede
llegar hasta este punto.
Haciendo un balance general
F
V
L
F = L + V
F z
j
= L x
j
j
Definiendo la fracción de vapor como
α =
V
F
z
j
=( 1 − α ) x
j
j
Como
y
j
= K
j
x
j
sustituyendo en la ecuación anterior se tiene que:
x
j
z
j
( 1 − α )+ α K
j
Como sugiere el enunciado se puede resolver una sola ecuación de la forma:
j = 1
n
x
j
− y
j
j = 1
n
z
j
( 1 − α )+ α K
j
− K
j
z
j
( 1 − α )+ α K
j
j = 1
n
z
j
( 1 − K
j
( 1 − α )+ α K
j
El resultado es:
α =0.
Comp j Z
j
A
j
B
j
Ejemplo 2:
Figura 3 Sistema de control cerrado de temperatura de los tanques. Obtenido de: Corella, J.
(2014)
Refrigerador
La variable controlada es la temperatura dentro del mismo, la cual debe estar especificada
según las normas competentes; como sabemos la misma variable puede verse afectada por
perturbaciones como el ingreso de comidas calientes dentro del refrigerador o el simple acto de
abrir el mismo y dejar que interactúe con el medio externo, para este caso la variable de entrada
sería el encendido o apagado del motor, que como sabemos se enciende más veces si más veces
abrimos la puerta del mismo con el propósito de mantener la temperatura constante dentro del
refrigerador.
Sistemas de Lazo de Control Abierto
Es un Lazo de Control en el cual las señales involucradas no tienen ninguna relación
entre ellas. Dos ejemplos típicos de este tipo de Lazo de Control son el control sin medición y el
control prealimentado, en el que es evidente que ni la perturbación d ni el punto de ajuste (
y
SP
dependen de la acción de control u.
Figura 4 Sistema de control cerrado de un refrigerador. Obtenido de: Corella, J. (2014)
retroalimentación ya que si no tiene señal, la salida que es la calidad de la imagen, es mala
además de
que
automáticamente no se gira o regula la antena por sí misma.
Figura 7 Sistema de control abierto de un microondas. Obtenido de: Corella, J. (2014)
Linealización de Sistemas No Lineales.
Muchos componentes y actuadores poseen características no lineales y la eficacia de su
acción requiere mucho de que se mantengan en el punto de operación donde actúan
aproximadamente de manera lineal, el cuál puede ser un intervalo muy limitado.
Consiste en expresar una función o ecuación diferencial no lineal con una versión lineal
aproximada, sólo válida en un intervalo muy pequeño de valores de la variable independiente.
Para obtener un modelo matemático lineal de un sistema no lineal es necesario suponer
que la variable a controlar sólo se desvía muy ligeramente de un punto de operación A de
coordenadas (x o
, f(x o
)), donde x o
es la entrada al sistema y f(x o
) es la salida. En el punto A
podemos colocar una recta con cierta pendiente y suponer que para pequeños cambios δxx
alrededor de x o
la salida f(x o
+δx) se mueve a lo largo de esta recta.δxx) se mueve a lo largo de esta recta.
Podemos utilizar el punto A como un nuevo centro de coordenadas donde la variable
independiente δxx se corresponde con la entrada al sistema, mientras que la variable dependiente
δxf(x) representa la salida del sistema. Hacemos este conveniente cambio de coordenadas para
utilizar la ecuación de la pendiente m a
de la recta de la siguiente manera:
m
a
f
( x )
− f
( x 0
)
x − x
0
m
a
∂ f
( x )
∂ x
Así:
∂ f
( x )
≈ m
a
∂ x
Al igual que:
f
( x )
≈ f
(
x
0
)
a
( x − x
0
Esta última es una aproximación matemática lineal para f(x), una función
que a grandes rasgos no es lineal.
Referencias
