¡Descarga control de sistemas hibridos y más Apuntes en PDF de Automatización Industrial solo en Docsity!
MODELAMIENTO Y CONTROL DE SISTEMAS HÍBRIDOS
J.L. Villa, M. Duque, A. Gauthier y N. Rakoto-Ravalontsalama
RESUMEN
Un sistema cuyo comportamiento es modelado por la interacción de sub-sistemas continuos y sub-siste- mas a eventos discretos es llamado un sistema híbrido. En este artículo se presentan dos estructuras de modelamiento para este tipo de sistemas: sistemas lineales a trazos (PWA) y sistemas dinámicos y lógicos mixtos (MLD). El problema de control de este tipo de sistemas modelados en estructura MLD es abordado. Los resultados presentados son aplicados en un ejemplo de tres tanques.
ABSTRACT
Hybrid systems arise by the interaction between continuous dynamical systems and Discrete-event systems. This paper presents two modeling frameworks for this type of systems, in particular Mixed and Logical Dynamical (MLD) systems is explained. Then, model predictive control using MLD models is presented. The results are applied to a three-tank benchmark system as example.
Palabras Clave: Sistemas Híbridos, Control Predictivo, Sistemas PWA, Sistemas MLD
1. INTRODUCCIÓN
Como es usual en ingeniería, el primer paso para abordar un problema de control automá- tico es obtener un modelo del proceso a ser controlado. Dicho modelo debe cumplir con dos condiciones básicas: primero, debe ser re- presentativo del comportamiento que se quie- re controlar, y segundo, debe ser útil para las tareas de análisis y control para las cuales fue obtenido el modelo.
Dicho de una forma más técnica, la primera condición implica que, para un estado inicial dado y un conjunto de entradas conocidas, la salida del modelo debe tener un comportamien- to cercano al del sistema modelado. La segun- da condición implica que utilizando el modelo obtenido, se pueden aplicar técnicas de diseño y análisis, a través de las cuales se puede obte- ner un regulador para el sistema modelado, y es posible definir algunas propiedades relacio- nadas con su funcionamiento.
En el área de control automático existen dos tipos de modelos que son ampliamente utiliza- dos. El primer tipo de modelos es llamado sis- temas dinámicos continuos, y se basa funda- mentalmente en la utilización de ecuaciones diferenciales como medio de representación. Este tipo de modelos tiene una larga historia en la teoría de sistemas, y constituye una de las herramientas más versátiles y poderosas de que se dispone actualmente. El controlador más utilizado en la industria para este tipo de siste- mas es el PID.
El segundo tipo de modelos es llamado siste- ma a eventos discretos, y se basa en la utiliza- ción de autómatas o lenguajes como medio de representación. Este último tipo de modelos tiene una historia mucho mas reciente, ligada al estudio matemático de sistemas lógicos y computarizados. Los controladores utilizados en la automatización de estos sistemas son los PLC con formalismos como el diagrama esca- lera o el GRAFCET.
Facultad de Ingeniería
Estos dos tipos de modelos pueden represen- tar aspectos independientes de un mismo pro- ceso, sin embargo, debido a la fuerte interac- ción existente hoy en día entre sistemas conti- nuos y computadores de control, el estudio de modelos que incluyan explícitamente ambos tipos de comportamientos se ha hecho necesa- rio, y ha dado surgimiento a un área de trabajo relativamente nueva llamada Sistemas Dinámi- cos Híbridos 6 simplemente Sistemas Híbridos.
Un ejemplo típico de un sistema híbrido es mostrado en la Figura 1.
Figura 1. Ejemplo de un Sistema Híbrido
Este tipo de sistemas ha sido ampliamente es- tudiado en la última década, c.f. [3], [6], bajo diversas perspectivas, no todas compatibles entre sí. Una de las técnicas de modelamiento más utilizada es llamada Sistemas Lineales a Trazos (Piecewise Linear Systems - PWA). Esta técnica ha sido utilizada durante largo tiempo en análisis de sistemas no lineales y fue intro- ducida explícitamente en el área de control automático por Sontag en [5_, principalmente para tareas de análisis.
Recientemente, A. Bemporad y M. Morar" en [ 1 _ , proponen la utilización de técnicas de modelamiento en programación con variables enteras mixtas, para abordar el problema de obtener modelos de sistemas híbridos aptos para tareas de control. Sus modelos son llama- do Sistemas Dinámicos y Lógicos Mixtos (Mixed Logical Dynamical – MLD systems).
En este artículo se estudian estas dos repre- sentaciones y su equivalencia, y se aplican en un ejemplo de control de tres tanques. Este artículo es el resumen de una tesis doctoral del
programa de ingeniería en cotutela entre la Universidad de los Andes y la Ecole de Mines de Nantes, sustentada en febrero de 2004.
SISTEMAS P
En el ejemplo de la Figura 1, se distinguen va- riables con un comportamiento continuo, e,g. los niveles de los tanques, y variables con un comportamiento discreto, e,g, válvulas on/off.
Una forma de modelar este sistema es definir todas las posibles combinaciones de las varia- bles discretas, cada una de ellas representa un modelo continuo del sistema que será válido mientras no se cambie de combinación, y defi- nir la forma en que a partir de una combina- ción se puede pasar a otra. Esto puede ser re- presentado como en la Figura 2,
Figura 2. Representación de un Sistema Híbrido
Cada modelo continuo del proceso, mas la res- pectiva combinación de variables discretas aso- ciada, es llamado un modo de operación del sistema.
Una forma de representar este sistema en ecuaciones matemáticas, asumiendo que los modelos continuos de cada modo de operación pueden ser lineales, es como se muestra en la Ecuación 1,
Íx(ktii =A.qk; (^) + b+B,_ l ,(k), (^) c -,rk +,r +r ^ ^; k l'
Xxii= X i E kE D
donde u son las variables de entrada del proce- so, x son las variables de estado, y y son las variables de salida del proceso, A,, B„ C„ D , b v d^ son matrices constantes de dimensiones
l i é
v "J I ' [: 4 ti I D A _ DE (^) .O ..
N (^) I.
u(t+k) ¡-- f ^
!!. ........ ^
i`(t +k)
t-1 t t+l t+k t+N
N^ ^.t(k)((1— z -' )u(t+k —1))^ k= 1 s.t. Y(k) = g ( y(k —I),(1 - z-' )u (k ), k) A ^
Y(k)^ ^ b u(k)
l RtLi. ^m<^. .. __. ...'^. 'untrol ^ q^^uual ¡¡
^____
{^atradnstifi,iurnx
Reterenciue- Ere Fn úe^
Tabla (^) I. Algunas relaciones entre proposiciones lógi- cas y desigualdades enteras mixtas
Relación Lógica Desigualdades Enteras Mixtas P1 AND (^) [51=1]n (^) 61= (^) [62=11 67 = 1 P2 (^) OR (v) [61=1]v (^) 61+62>_ [62= P3 (^) NOT(- ) '[S, =1 ] 51= P4 IMPLICA [81=1] –* 6 1-62< (–') [6,=1] PS SSI (^) [51=1]H (^) 61-62= (H) [62=1] P6 (^) [f(x)<0]H f(x) <M-M [6 =1] f(x)>c+(m-c) P7 PRODUCTO (^) Z=6.f(x) zSM -z<-mó z<f(x)- m(1-6) -z<_-f(x)+M(1 -6)
En la tabla, (^) My m representan los valores máxi- mos y mínimos, respectivamente, de las fun- ciones continuas f (x), y e representa un valor pequeño.
Utilizando esta metodología, sistemas PWA pueden ser convertidos en sistemas MLD. La equivalencia solo es válida dentro de los lími- tes definidos para cada variable continua.
4. CONTROL PREDICTIv
Las ideas de control predictivo han sido traba- jadas desde los años 70, cf [2], y pueden ser resumidas en la Figura 3.
La idea en control predictivo (Model Predictive Control - MPG), es utilizar un modelo del pro- ceso en conjunto con una función objetivo a minimizar, tal que un conjunto de entradas al proceso son calculadas que minimizan un cri- terio, como por ejemplo minimizar el error entre la salida del proceso y la referencia.
Un diagrama del comportamiento de las seña- les del sistema controlado es mostrado en la Figura 4.
Figura 4. (^) Comportamiento de un sistema controla- do
El sistema controlado tiende a establecerse en un valor constante, lo que produce un valor de entrada de control constante. Utilizando esta observación es posible definir un horizonte de control y un horizonte de predicción.
El horizonte de control y de predicción son valores finitos y permiten formular el siguien- te problema de optimización,
N,
Mm J(NI ,Nz ,Nu^ )=^ y(k)(y(t+k)—r(t+k))2+ k =N
Figura I (^) Control Predictivo el cual puede ser resuelto con herramientas numéricas estándar.
1 Q^ UN^ I^ VERSID^4 :E LOS ANDES ^
Utilizando el modelo MLD descrito en la Sec- ción 3, es posible formular el siguiente proble- ma de optimización,
X(T) =x X (k+))=ñx(S")+B,ü(k B,(S(k)+By:.(k) v(k) =Cx(k)+Dp(.k)+l9,S(k)+D,z( k) E 2 S(k)+Ez(k) 5 E,u(k)+ E4 x(k)+ E^
El cual también puede ser resuelto utilizando herramientas de Programación Cuadrática con Variables Enteras Mixtas (MIQP).
MPLO
Como ejemplo utilizamos un sistema de tres tanques interconectados entre sí por válvulas de tipo on-off. Este sistema fue propuesto en [41 como un ejemplo tipo para comparar téc- nicas de control en sistemas híbridos, y es re- presentado en la Figura 5.
El modelo de este sistema en forma MLD pue- de ser obtenido introduciendo directamente algunas variables auxiliares.
Para empezar, debido a la presencia de un ni- vel mínimo en los conductos VI y V2, se pue- den introducir las siguientes tres variables binarias auxiliares,
Las diferencias de altura potencial que podrían generar un flujo a través de las válvulas VI y V2, en caso que estas estuvieran abiertas, pue- den representarse entonces por,
Zot = (h ) — h,)d, Z^ = (h,— h, ) d, Z„ = (h3 — hv)d,
Y el posible flujo que podría pasar a través de las diferentes válvulas está dado por,
Z, = (Z —
Z., = (Z — Zo^)Vz
= (^) (h ) —^ h,)V^ (= __ (hz — h;)V,_
Finalmente, el nivel en cada tanque podría des- cribirse por,
h(k (^) ±l)=h,(k)+^aQ— bm„
Es decir, el nivel de cada tanque depende de su nivel en un instante anterior dado, mas el posible incremento en el nivel por las entradas de caudal, menos los posibles decrementos de nivel por las salidas de caudal.
Estas proposiciones pueden ser convertidas en desigualdades utilizando algunas de las equiva- lencias listadas en la Tabla I,
Utilizando el modelo MLD obtenido en esta forma y un algoritmo MIQP programado en Matlab, se obtiene la simulación del sistema para una entrada predeterminada mostrada en la Figur- 6,
as (^) es Tanques Acoplados Figura 6.^ ^Li Sisterr,^ ,, de Tres ?Cinc es
Facu'taú de Inge,,
