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CONTROL DIGITAL CON MATLAB
Por: M. I. Jorge A. Polanía P.
1. LA TRANSFORMADA Z
1.1 DEFINICIÓN DE LA TRANSF_Z
Sea x(t) : Señal en tiempo continuo
x(kT) : Señal en tiempo discreto
La transformada z se define de la siguiente manera:
Z[x(kT)] = X(z) =
= x(0) + x(T) z -^1 + x(2T) z -^2 + ········· + x(kT) z – k^ + ···········
1.2 TZ DE FUNCIONES ELEMENTALES
1.2.1 ESCALÓN UNITARIO
La función del escalón unitario es la siguiente:
x(kT) = 1, kT ≥ 0 , y x(kT) = 0, kT < 0
X(z) = Z[x(kT)] = Z[1(kT)] =
X(z) = 1 + z -1^ + z -2^ + z -3^ + ············· , entonces,
La anterior relación se obtiene por Matlab de la siguiente forma:
syms z k % variables simbólicas z, k
symsum(z^(-k),k,0,inf)
Para graficar la señal escalón unitaria discreta por Matlab, se hace:
% GENERACIÓN DE ESCALÓN UNITARIO DISCRETO
x = ones (1,11); % define once valores de 1's
v = [ 0 10 0 2]; % define valores de ejes
axis (v);
plot (x,'ro') % grafica círculos de color rojo
xlabel ('k') % asigna rotulo al eje x
ylabel ('x(k)') % asigna rotulo al eje y
title ( ‘ESCALON UNITARIO DISCRETO’ )
% GENERACIÓN DE LA RAMPA UNITARIA DISCRETA
k = 0:10; % define valores de k
x = k; % función rampa para x
axis([0 10 0 10]); % define ejes
grid % rejilla para grafica
plot(k, x,'ro') % grafica x en función de k
xlabel('k'); % rotulo para eje x
ylabel('x(k)'); % rotulo para eje y
title('RAMPA UNITARIA DISCRETA')
1.2.3 POTENCIAL: a k^ (a = constante)
a k, para k = 0, 1, 2, 3, ········
x(k) = (señal discreta)
0, para k < 0
X(z) = Z[x(k)] = na k^ ·z – k
X(z) = 1 +a z -1^ + a 2 z -2^ +a 3 z -3^ + ············· , entonces,
%GENERACION DE LA FUNCION POTENCIAL x(k) = 2 k
k=linspace(0,5,20); % define valores de k
x=2.^ k; % función potencial
grid % rejilla para grafica
plot(k, x,'ro') % grafica x en función de k
xlabel('k'); % rotulo para eje x
ylabel('x(k)'); % rotulo para eje y
title('POTENCIAL DISCRETA')
%GENERACION DE LA FUNCION EXPONENCIAL x(k) = e -2k
k = linspace (1,5,20); % define valores de k con espaciamiento lineal
x = exp(-2* k); % función exponencial
grid % rejilla para grafica
plot(k, x,'bo') % grafica x en función de k
xlabel('k'); % rotulo para eje x
ylabel('x(k)'); % rotulo para eje y
title('EXPONENCIAL DISCRETA')
1.2.5 SENOIDAL : sen(wkT)
La función es de la forma:
sen(wkT), para k = 0, 1, 2, 3, ········
x(k) = (señal discreta)
0, para k < 0
X(z) = Z[x(k)] = Z[sen(wkT)]
Por al ecuación de Euler:
Sen(wkT) = (1/2j) ( e jwkT^ - e –^ jwkT), reemplazando,
Z[sen(wkT)] = Z[(1/2j)( e jwkT^ - e –^ jwkT)],
aplicando la transf_z de la exponencial,
reemplazando las exponenciales :
%GENERACION DE LA FUNCION SENO: x(k) = sen(wkT)
k = linspace(1,20); % define valores de k con espaciamiento lineal
x = sin(k); % función exponencial
grid % rejilla para grafica
plot(k, x,'bo') % grafica x en función de k
Z[a k^ y(kT)] =
a k^ x(kT) z –^ k
x(kT) (a -1^ z) –^ k^ = X(a -^1 z)
1.3.4 TEOREMA DEL TRASLACIÓN
Si y(kT) = e - akT^ x(kT), entonces,
Z[e - akT^ x(kT)] =
e -akT^ x(kT) z –^ k
x(kT) (e aT^ z) –^ k^ = X(e aT^ z)
1.3.5 TEOREMA DEL CORRIMIENTO
Corrimiento hacia atrás:
Z[x(k-n)T] = z –^ n^ Z[x(k)] = z –^ n^ X(z)
Corrimiento hacia adelante:
Z[x(k+n)T] = z n^ [ X(z) – x(kT)*z – k^ ]
= z n^ X(z) - z n^ x(0) - z n-1^ x(1) - z n-2^ x(2) - ········· - z x(n-1)
Ejemplo:
Z[x(k+3)T] = z 3 X(z) - z 3 x(0) - z 2 x(1) - z x(2)
1.3.6 SUMA DE FUNCIONES
Sea y(k) = x(h) , para k = 0,1, 2, ······
y(k) = x(0) + x(1) + x(2) + ········ + x(k-1) + x(k)
y(k-1) = x(0) + x(1) + x(2) + ········ + x(k-1), restando estas dos expresiones,
y(k) - y(k-1) = x(k), sacando Transf._Z,
Y(z) – z –^^1 Y(z) = X(z), entonces despejando Y(z) se tiene que:
1.3.7 TEOREMA DEL VALOR INICIAL
Si el límite lim X(z) existe, entonces el valor inicial de x(k) = x(0) es igual a:
x(0) = lim X(z)
z→ ∞
1.3.8 TEOREMA DEL VALOR FINAL
El valor final de x(k), o sea, cuando k à ∞ (Si X(z) es estable) , es:
x(∞) = lim x(k) = lim [ (1 – z –^^1 )X(z) ]
k→ ∞ z→ 1
Aplicando teorema de traslación,
Z[y(k)] = Z[k e –^ 5k^ ] = X(e 5k^ z )] , reemplazando z à e 5k^ z, en X(z) se tiene:
Y(z) = (e 5k^ z) –^^1 / (1 – (e 5k^ z) –^^1 ) 2 = e - 5k^ z –^^1 / (1 - e - 5k^ z –^^1 ) 2
EJEMPLO 1-
Determinar el valor inicial x(0) de una señal si su transformada Z es igual a :
(1-e - 5k) z –^^1
X(z) = -------------------------------
(1- z –^^1 )(1 - e - 5k^ z –^^1 )
Aplicando el Teorema de valor inicial,
(1-e - 5k) ∞–^^1
x(0) = lim X(z) = -------------------------------- = 0
z→ ∞ (1- ∞ –^^1 )(1 - e -^ 5k^ ∞ –^^1 )
EJEMPLO 1-
Determinar el valor final x(∞) de una señal si su transformada Z es igual a:
1 1
X(z) = --------------- - ---------------------
(1- z –^^1 ) (1 - e - 5^ z –^^1 )
1- z –^^1
x(∞) = lim x(k) = lim [ (1 – z –^^1 )X(z) ] = lim 1 – -------------------- = 1
k→ ∞ z→ 1 z→ 1 1 - e - 5^ z –^^1
EJEMPLO 1-
Obtener la transformada Z de la figura dada. Tiempo de muestreo = 1.
Si x(k) = (1/3)k (rampa de pendiente 1/3)
y(k) = x(k) – x(k- 3), entonces,
Y(z) = z[y(k)] = z[(1/3)k] – z - 3z[(1/3)k]
% EJEMPLO 1-6: DE TRANSFORMADA Z INVERSA
x = [1 zeros(1,40)]; % para k = 40 muestras
num = [0 5 10]; % coeficientes del numerador
den = [1 -1 0.16]; % coeficientes del denominador
y = filter(num, den, x) % obtención de las 40 muestras
k = 0:40;
plot(k, y,'ro',k, y,'-')
xlabel('k')
ylabel('y(k)')
Los 40 resultados obtenidos de x(0) hasta x(39) son:
0 5.0000 15.0000 14.2000 11.8000 9.5280 7.
6.1155 4.8931 3.9146 3.1317 2.5054 2.0043 1.
1.2828 1.0262 0.8210 0.6568 0.5254 0.4203 0.
0.2690 0.2152 0.1722 0.1377 0.1102 0.0882 0.
0.0564 0.0451 0.0361 0.0289 0.0231 0.0185 0.
0.0118 0.0095 0.0076 0.0061 0.0048 0.
Cuya representación es la siguiente:
1.4.2 MÉTODO DE FRACCIONES PARCIALES
Consiste el método en expandir la función X(z) en fracciones parciales con el fin de que queden términos más simples y luego encontrar a cada fracción la transformada Z inversa.
EJEMPLO 1-
Obtener la transformada Z Inversa de:
5 z 3 + 26 z 2 + 44 z + 29
X(z) = ------------------------------------
z 3 + 6 z 2 + 11 z + 6
Para representar esta función en fracciones parciales usamos el comando Matlab residue que encuentra los valores del vector r, del vector p y del término independiente k según la siguiente expresión:
Usando Matlab:
num = [5 26 44 29];
den = [1 6 11 6];
