Control PID, Apuntes de Administración de Empresas

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Controladores PID

Virginia Mazzone

Regulador centr´ıfugo de Watt

Control Autom´atico 1 http://iaci.unq.edu.ar/caut Automatizaci ´on y Control Industrial Universidad Nacional de Quilmes Marzo 2002

1 Introducci ´on

En este cap´ıtulo veremos la familia de controladores PID, que mostraron ser robustos en muchas aplicaciones y son los que m´as se utilizan en la industria. La estructura de un controlador PID es simple, aunque su simpleza es tambi´en su debilidad, dado que limita el rango de plantas donde pueden controlar en forma satisfactoria (existe un grupo de plantas inestables que no pueden estabilizadas con ning ´un `un miembro de la familia PID). En este cap´ıtulo estudiaremos los enfoques tradicionales al dise ˜no de controladores PID.

2 Estructura del PID

Consideremos un lazo de control de una entrada y una salida (SISO) de un grado de liber- tad:

6

R(s)- (^) j- (^) PID U(s-) G(s) Y(s)

Figura 1: Diagrama en bloques

Los miembros de la familia de controladores PID, incluyen tres acciones: proporcional (P), integral (I) y derivativa (D). Estos controladores son los denominados P, I, PI, PD y PID.

• P: acci ´on de control proporcional, da una salida del controlador que es proporcional al error, es decir: u(t) = KP.e(t),que descripta desde su funci ´on transferencia queda:

Cp(s) = Kp (1)

donde Kp es una ganancia proporcional ajustable. Un controlador proporcional puede controlar cualquier planta estable, pero posee desempe ˜no limitado y error en r´egimen permanente (off-set).

• I: acci ´on de control integral: da una salida del controlador que es proporcional al error acumulado, lo que implica que es un modo de controlar lento.

u(t) = Ki

∫ (^) t

0

e(τ)dτ Ci(s) =

Ki s

La se ˜nal de control u(t) tiene un valor diferente de cero cuando la se ˜nal de error e(t) es cero. Por lo que se concluye que dada una referencia constante, o perturbaciones, el error en r´egimen permanente es cero.

• PI: acci ´on de control proporcional-integral, se define mediante

u(t) = Kpe(t) +

Kp Ti

∫ (^) t

0

e(τ)dτ (3)

3 M ´etodos cl ´asicos de ajuste de Ziegler and Nichols

En esta secci ´on veremos dos m´etodos de ajuste de las ganancias de un controlador PID, el M´etodo de Oscilaci´on o M´etodo de Respuesta en Frecuencia y el M´etodo Basado en la Curva Reacci´on o M´etodo de Respuesta al Escal´on. El primero se basa en un lazo de control s ´olo con ganancia proporcional y de acuerdo a la ganancia utilizada para que el sistema empiece a oscilar y al per´ıodo de esas oscilaciones, podemos establecer las ganancias del controlador PID. El otro m´etodo se resume en ensayar al sistema a lazo abierto con un escal ´on unitario, se calculan algunos par´ametros, como la m´axima pendiente de la curva y el retardo, y con ellos establecemos las ganancias del controlador PID. Estos m´etodos fueron propuestos por Ziegler y Nichols (Z-N) en 1942, quienes se basaron en la pr´actica para desarrollarlos.

3.1 M ´etodo de Oscilaci ´on

6

r(t)- (^) j Kp u(t)- (^) Planta y(t)

Figura 2: Lazo cerrado solo con ganancia proporcional

Este procedimiento es v´alido solo para plantas estables a lazo abierto y se lleva a cabo siguiendo los siguientes pasos:

1. Utilizando s ´olo control proporcional, comenzando con un valor de ganancia peque ˜no, incrementar la ganancia hasta que el lazo comience a oscilar. Notar que se requieren oscilaciones lineales y que ´estas deben ser observadas en la salida del controlador.
2. Registrar la ganancia cr´ıtica del controlador Kp = Kc y el per´ıodo de oscilaci ´on de la salida del controlador, Pc. (en el diagrama de Nyquist, corresponde a que Kc G( jω) cruza el punto (−1, 0) cuando Kp = Kc).
3. Ajustar los par´ametros del controlador seg ´un la Tabla 1:

Kp Ti Td P 0.50Kc

PI 0.45Kc (^) 1.2Pc

PID 0.60Kc 0.5Pc P 8 c

Tabla 1: Par´ametros de ajuste (m´etodo de oscilaci ´on)

Dicha tabla fue obtenida por Ziegler y Nichols quienes buscaban una respuesta al es- cal ´on de bajo amortiguamiento para plantas que puedan describirse satisfactoriamente por un modelo de la forma:

G 0 (s) =

K 0 e−sτ^0 υ 0 s + 1

, donde υ 0 > 0 (9)

Pc

-1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

-1.

-0.

-0.

0

Figura 3: Respuesta de la planta con ganancia cr´ıtica

Ejemplo 1. Considerar el modelo de una planta dado por:

G 0 (s) =

(s + 1 )^3

Determinar los par´ametros de un controlador PID utilizando el m´etodo de oscilaci ´on de Z-N. Obtener un gr´afico de la respuesta a una entrada escal ´on unitario y a una perturbaci ´on de entrada escal ´on unitario.

Primero debemos calcular la ganancia cr´ıtica Kc y la frecuencia cr´ıtica ωc. Dichos valores deben satisfacer

Kc G 0 ( jω 0 ) = − 1 ⇔ Kc = −( jωc + 1 )^3 , (11)

de donde obtenemos Kc=8 y ωc =

3. El per´ıodo cr´ıtico es entonces Pc = (^2) ωπc ' 3.63. Utilizando la tabla obtenemos los siguientes valores:

Kp = 0.6 × Kc = 4.8; Ti = 0.5 × Pc = 1.81; Td = 0.25 × Pd = 0. De esta forma la funci ´on transferencia a lazo abierto resulta:

G 0 (s)C(s) = Kp

Tds^2 + s + (^) T^1 i s(s + 1 )^3

2.16s^2 + 4.8s + 2. s(s + 1 )^3

Implementando dicho sistema en SIMULINK, con una entrada escal ´on unitario aplica- da en el instante t = 0 y una perturbaci ´on de entrada escal ´on unitario en el instante t = 10, obtenemos la Figura 4 Como se puede apreciar en el gr´afico, el control hallado provoca un sobrevalor signi- ficativo, lo que es inaceptable en algunos casos. Sin embargo el m´etodo de Z-N nos ha

y 0

y∞

t 0 t (^1) t (^2) t[seg]

Figura 5: Respuesta al escal ´on de la planta

El modelo obtenido puede ser utilizado para varios m´etodos de ajuste de controladores PID. Uno de estos tambi´en ´en fue propuesto por Ziegler y Nichols. El objetivo de dise ˜no es alcanzar un amortiguamiento tal que exista una relaci ´on de 4:1 para el primer y segundo pico de la respuesta a una referencia escal ´on. Los par´ametros sugeridos por Z-N son los que se muestran en la Tabla 2.

Kp Ti Td P (^) Kυ 00 τ 0

PI 0.9 K 0 υτ 00 3 τ 0

PID 1.2 K 0 υτ 00 2 τ 0 0.5τ 0

Tabla 2: Par´ametros de ajuste (m´etodo curva de reacci ´on)

4 Modificaciones de los esquemas de control PID

En los sistemas de control b´asicos vistos hasta ahora, si la entrada de referencia es un es- cal ´on, debido a la presencia del t´ermino derivativo en la acci ´on de control, la variable ma- nipulada u(t) contendr´a una funci ´on impulso (una delta). En un controlador PID real, en lugar del t´ermino derivativo TD s emplearemos:

Tds τD s + 1

donde τD, denominada constante de tiempo derivativa, normalmente es elegida tal que 0.1 ≤ τD ≤ 0.2. Cuanto m´as peque ˜na es τD, mejor es la aproximaci ´on entre el t´ermino

”derivativo filtrado” de la Ecuaci ´on (15) y el ”derivativo” Tds, es decir son iguales en el l´ımite:

lim τd → 0 uPID (t) = Kpe(t) +

Kp Ti

∫ (^) t

t 0

e(τ)dτ + Kp Td

de(t) dt

Con la inclusi ´on de un polo evitamos utilizar acciones de control grandes en respuesta a errores de control de alta frecuencia, tales como errores inducidos por cambios de setpoint (referencia) o mediciones de ruido. El argumento cl´asico por el cual se elige τD 6 = 0 es, adem´as de asegurar un controlador propio, para atenuar ruido de alta frecuencia. Casi todos los controladores industriales PID definen a τD como una fracci ´on fija de Td, en lugar de tomarlo como un par´ametro independiente de dise ˜no. Analicemos nuevamente el Ejemplo 1, pero tomando ahora como funci ´on transferencia del controlador PID a:

CPID (s) = Kp

Tis

Tds τD s + 1

Por lo que la funci ´on transferencia a lazo abierta resulta ser la siguiente

Go(s)C(s) =

Kp(Td + τD )s^2 + ( 1 + τ TDi )s + (^) T^1 i s(τD s + 1 )

Go(s) (18)

Con el mismo desarrollo anteriormente explicado obtenemos los mismos par´ametros del PID aplicando el m´etodo de oscilaci ´on de Z-N. Tomando a τD = 0.1 y Td = 0.045, la funci ´on transferencia a lazo abierto resulta:

Go(s)C(s) =

52.8s^2 + 109.32s + 58. s(s + 22.2)(s + 1 )^3

5 Asignaci ´on de polos

La asignaci ´on de polos es un m´etodo de dise ˜no de controladores cuando queremos que el desempe ˜no del sistema a lazo cerrado cumpla con determinadas especificaciones de di- se ˜no. En esta secci ´on veremos en detalle de qu´e se trata y veremos tambi´en como podemos ajustar un controlador PID utilizando asignaci ´on de polos. Consideremos el lazo nominal de la Figura 1 con las siguientes funciones transferencias:

C(s) =

P(s) L(s)

G 0 (s) =

B 0 (s) A 0 (s)

con P(s), L(s), B 0 (s) y A 0 (s) polinomios de grados np, nl , n − 1 y n respectivamente (asu- mimos que el modelo nominal de la planta es estrictamente propio).Consideremos que el polinomio a lazo cerrado deseado est´a dado por Alc. La pregunta que surge es: ¿Dado un Alc arbitrario, existir´a una funci´on C(s) propia tal que a lazo cerrado resulte que Alc sea el polinomio caracter´ıstico? Para contestar esta pregunta, veamos primero que pasa con un ejemplo para ilustrar mejor la idea:

un polinomio arbitrario de grado nc = 2 n − 1. Entonces existen polinomios P(s) y L(s), con grados np = nl = n − 1 tal que:

A 0 (s)L(s) + B 0 (s)P(s) = Alc(s) (27)

Nota 1. El lema anterior establece bajo qu´e condiciones existe soluci ´on para el problema de asignaci ´on de polos, asumiendo un controlador bipropio. Cuando se requiere un con- trolador estrictamente propio, el grado de P(s) y L(s) deber´ıa ser np = n − 1 y nl = n, respectivamente. De esta forma, para poder estar en condiciones de elegir un polinomio a lazo cerrado Alc(s) arbitrario, su grado deber´ıa ser igual a 2n.

Nota 2. No est´an permitidas las cancelaciones del estilo polo-cero inestables. Cualquier cancelaci ´on entre el controlador y la planta aparecer´a como factor en A 0 (s)L(s) y tambi´en en B 0 (s)P(s). Para que la condici ´on del lema 1 pueda ser satisfecha, el mismo factor deber´a aparecer en Alc(s), pero el polinomio caracter´ıstico a lazo cerrado se debe elegir estable, por lo que ese factor com ´un deber´a ser estable. S ´olo de esta forma, el lazo cerrado nominal es garant´ıa de ser internamente estable, es decir, las cuatro funciones de sensibilidad ser´an estables.

En esta secci ´on, veremos una forma m´as moderna que las anteriores para ajustar un controlador PID, bas´andonos en t´ecnicas de asignaci ´on de polos. Durante esta secci ´on con- sideraremos un lazo de control de un grado de libertad con controladores PI de la siguiente forma

CPI (s) = Kp +

Ki s

y la forma del controlador PID

CPID (s) = Kp +

Ki s

Kds τD s + 1

Para referencias futuras notamos la siguiente representaci ´on alternativa de un controla- dor PID:

Lema 2. Cualquier controlador de la forma:

C(s) =

n 2 s^2 + n 1 s + n 0 d 2 s^2 + d 1 s

es id´entico al controlador PID de (29) con los siguientes valores de los par´ametros:

Kp =

n 1 d 1 − n 0 d 2 d^21

Ki =

n 0 d 1

Kd =

n 2 d^21 − n 1 d 1 d 2 + n 0 d^22 d^31

τD =

d 2 d 1

Demostraci´on. Desarrollando en fracciones simples (29) y compar´andola con (30) se obtie- nen dichos coeficientes.

Si asumimos que la planta puede ser (por lo menos, aproximadamente) modelada por un modelo de segundo orden, entonces podemos utilizar asignaci ´on de polos para sintoni- zar un controlador PID.

Ejemplo 3. Una planta tiene un modelo nominal dado por:

G 0 (s) =

(s + 1 )(s + 2 )

Sintonizar un controlador PID para que a lazo cerrado alcance la din´amica dominada por: s^2 + 4 s + 9

Resolvemos primero el problema de asignaci ´on de polos, donde

Alc(s) = (s^2 + 4 s + 9 )(s + 4 )^2 ; B 0 (s) = 2; A 0 (s) = s^2 + 3 s + 2. (36)

El factor (s + 4 )^2 ha sido agregado para asegurar que la asignaci ´on de polos tenga soluci ´on, es decir que el grado de Alc(s) debe ser 4. Notar que este factor genera modos (polos) que son m´as r´apidos que los originados por el polinomio deseado. De esta forma, la din´amica dominante ser´a la de los polos mas lentos. Resolviendo la ecuaci ´on de asignaci ´on de polos, resulta que

C(s) =

P(s) sL(s)

14 s^2 + 59 s + 72 s(s + 9 )

de donde: Kp = 5.67; Ki = 8; Kd = 0.93; τD = 0.11. Una importante observaci ´on es que la soluci ´on de este problema tiene la estructura de un controlador PID para el modelo dado G 0 (s). Para un modelo de mayor orden, el controlador resultante no ser´a, en general, un controlador PID.

6 Resumen

• Desde una perspectiva moderna, un controlador PID es simplemente un controlador de hasta segundo orden, conteniendo un integrador.
• Descubrimientos emp´ıricos demuestran que la estructura del PID por lo general tiene la suficiente flexibilidad como para alcanzar excelentes resultados en muchas aplica- ciones.
• El t´ermino b´asico es el t´ermino proporcional, P , que genera una actuaci ´on de control correctivo proporcional al error.
• El t´ermino integral, I , genera una correcci ´on proporcional a la integral del error. Esto nos asegura que si aplicamos un esfuerzo de control suficiente, el error de seguimien- to se reduce a cero.
• El t´ermino derivativo, D , genera una acci ´on de control proporcional al cambio de rango del error. Esto tiende a tener un efecto estabilizante pero por lo general genera actuaciones de control grandes.