¡Descarga Geometría diferencial: Vectores tangentes, funciones C(q), representaciones paramétricas y y más Apuntes en PDF de Análisis Matemático solo en Docsity!
0.1 Definici´o
Notaci´o 1 (Vector tangent). Siguen a, b ∈ R i g :]a, b[→ Rn, g = (g 1 , g 2 ,... , gn). Si g ´es diferenciable en un punt t 0 ∈]a, b[, denotarem per g′^ (t 0 ) al vector
(g′ 1 (t 0 ) , g 2 ′ (t 0 ) ,... , g′ n (t 0 )) ,
que anomenarem vector tangent.
Notaci´o 2 (Funci´o de classe C(q)). Siguen a, b ∈ R i g : [a, b] → Rn, direm que g ´es de classe C(q)^ si existixen c, d ∈ R, amb c < a < b < d i G :]c, d[→ Rn^ de classe C(q)^ (en el sentit usual) tals que G π[a,b]= g. Els vectors G′(a) i G′(b) no depenen de la funci´o G complint G π[a,b]= g, per tant t´e sentit escriure g′ +(a) := G′(a) i g′−(b) := G′(b).
Definici´o 3 (Representaci´o parametrica). Siguen q ∈ N, q ≥ 1, a, b ∈ R amb a < b direm que g : [a, b] → Rn^ que g ´es una representaci´o parametrica d’una corba de classe C(q), o una parametritzaci´o de classe C(q), si
i) g ∈ C(q)^ i
ii) g′(t) 6 = 0 per a tot t ∈ [a, b].
Exemple 4. Siga ϕ(t) = (t^2 , t^3 ), t ∈ [− 1 , 1], ϕ ´es de classe C(∞)^ i ϕ′(0) = 0.
Nota 5 (M´es parametritzacions). Siguen a, b ∈ R, g : [a, b] → Rn^ com en la definici´o 3 i siguen α, β ∈ R, α < β i φ : [α, β] → [a, b] de classe C(q), q ≥ 1, tal que φ(α) = a, φ(β) = b, i φ′(t) > 0 per a tot t ∈ [α, β]. La regla de La cadena ens diu que g ◦ φ ´es de classe C(q)^ i que (g ◦ φ)′(t) = φ′(t)g′(φ(t)) 6 = 0.
Per tant g ◦ φ ´es una param´etrizaci´o de classe C(q). El vector tangent de g ◦ φ ´es proporcional al de g i t´e la mateixa orientaci´o.
Definici´o 6 (Param´etritzacions equivalents). Direm que dues parametritzacions f : [α, β] → Rn^ i g : [a, b] → Rn^ s´on equivalents si existeix una φ complint les condicions de la nota 5 tal que f = g ◦ φ. La relaci´o anterior ´es una relaci´o de equival`encia.
Definici´o 7 (Corba). Anomenarem corba γ de classe C(q), a cadascuna de les classes d’equival`encia de la relaci´o anterior.
A la funci´o φ de la nota 5 se l’anomena canvi de par`ametre. Es diu que γ ´es tancada si g(a) = g(b). S’anomena rang de la corba a g([a, b]).
Notaci´o 8. D’ara en avant per corba o parametritzaci´o entendrem corba de classe C(1) o parametritzaci´o de classe C(1)^ respectivament.
Exemple 9. a) La circumferencia en R^2 de radio R i de centre (x 0 , y 0 ), ´es la classe d’equival`encia de g(θ) := (x 0 , y 0 ) + R (cos θ, sen θ), θ ∈ [0, 2 π].
c) El segment que uneix v 1 amb v 2.
g(t) := tv 1 + (1 − t)v 2 , t ∈ [0, 1].
Nota 10. Siga g una parametritzaci´o de γ i considerem g ◦ φ on φ compleix totes les condicions de la nota 5 llevat que φ(α) = b, φ(β) = a i φ′(t) < 0 per a tot t ∈ [α, β]. Tenim que g ◦ φ ´es una corba per`o recorreguda en sentit contrari al de γ.
Definici´o 11 (Corba inversa). Siguen g, φ i γ com en la nota 10, a la corba amb parametritzaci´o g ◦ φ, on φ ´es com en (10), s’anomena corba inversa i es representa per −γ. La definici´o ´es consistent.
0.2 Longitud d’una corba
Definici´o 12. Siga g : [a, b] → Rn^ una parametritzaci´o de una corba γ de classe C(1), anomenarem longitud de γ a (^) ∫ b
a
‖g′(t)‖ dt.
La definici´o ´es consistent:
Lema 13. Siguen f : [α, β] → Rn^ i g : [a, b] → Rn^ parametritzacions d’una mateixa corba γ llavors (^) ∫ β
α
‖f ′(t)‖ dt =
∫ (^) b
a
‖g′(t)‖ dt.
Definici´o 14 (Integral de l´ınea). Siga g una parametritzaci´o d’una corba geom`etrica orientada γ i F : g([a, b]) → Rn, F = (F 1 , F 2 ,... , Fn) cont´ınua. Anomenarem integral de l´ınia de F al llarg de γ a ∫
γ
F =
∫ (^) b
a
F (g(t)) · G′(t)dt =
γ
F 1 dx 1 + F 2 dx 2 +... Fndxn.
Exemple 20. Una poligonal.
Notaci´o 21. En les condicions de la definici´o 19 escriurem
γ = γ 1 ∪ γ 2 ∪... ∪ γn.
Definici´o 22. Siga F com en la definici´o 14. Anomenarem integral de l´ınia de F , al llarg de γ a (^) ∫
γ
F =
∑^ n
i=
γi
F.
Es f`^ ´ acil comprovar que la definici´o anterior no dep´en de la successi´o {ai}ni= triada.
Definici´o 23. Siga g : [a, b] → Rn^ una parametritzaci´o d’un arc de classe C(1)^ anome- narem longitud de γ a (^) ∫ b
a
‖g′(t)‖ dt.
0.3 Una classe de regions
Definici´o 24. Siguen a, b ∈ R, a < b, i φ 1 , φ 2 : [a, b] → R dues funcions de classe C(1) per parts^1 tals que φ 1 (t) < φ 2 (t), t ∈ [a, b]. Considerem el conjunt
Ω := {(x, i) : x ∈ [a, b], y ∈ [φ 1 (x), φ 2 (x)]}.
Direm que Ω ´es una regi´o si existeixen funcions de classe C(1)^ per parts ψ 1 i ψ 2 : [c, d] → R tals que ψ 1 (t) < ψ 2 (t), t ∈ [c, d] i
Ω = {(x, i) : y ∈ [c, d], x ∈ [ψ 1 (i), ψ 2 (i)]}. Siguen ϕ 1 (t) = (t, φ 1 (t)), t ∈ [a, b];
ϕ 2 (t) = (t, φ 2 (t)), t ∈ [a, b].
Llavors ϕ 1 i ϕ 2 s´on parametritzacions d’arcs. Siguen
(2) γ 1 y γ 2
Els arcs definits per aquestes parametritzacions. Escriurem
ϕ 3 (t) = t(a, φ 2 (a)) + (1 − t)(a, φ 1 (a)), t ∈ [0, 1];
ϕ 4 (t) = t(b, φ 2 (b)) + (1 − t)(b, φ 1 (b)), t ∈ [0, 1].
Siguen γ 3 i γ 4 els arcs definits per aquestes parametritzacions. Finalment
(3) γ := γ 1 ∪ γ 4 ∪ (−γ 2 ) ∪ ∪ (−γ 3 ).
(^1) Es dir, existeix a = a 0 < a 1 <... < an = b de manera que la restricci´o de cadascuna d’aquestes funcions a cadascun dels [ai− 1 , ai], 1 ≤ i ≤ n, ´es de classe C(1).
Teorema 25 (Teorema de Green per a regions). Siga Ω una regi´o, P i Q de classe C^1 en un obert que cont´e a Ω, llavors si γ ´es com en (3) tindrem que
∫
γ
P (x, i)dx + Q(x, i)dy =
R
∂Q
∂x
(x, i) −
∂P
∂y
(x, i)
Exemple 26. Area d’una regi´` o Fent Q(x, y) = x i P (x, y) = 0 (respectivament Q(x, y) = 0 i P (x, y) = y) en el teorema de Green obtenim que ∫
γ
xdy =
R
dxdy = ´area de R;
γ
ydx = −
R
dxdy = −`area de R.
Restant les f´ormules anteriors i multiplicant per 1/2 queda que (1/2)
γ
(xdy − ydx) ´es
l’area de R, f´ormula que t´e aplicacions, a m´es de en matematiques, en enginyeria: La teoria de certs plan´ımetre (instruments per a mesurar `arees) es basa en aquesta f´ormula.
