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Solución Ejercicios Capítulo 4-
April 21, 2015
Problemas
4.1 Utilidad: U (t, s) =
ts
- Si los pastelillos (t) cuestan $0.10 cada uno y la bebida(s) $0.25 por vaso, ¾Pablo cómo debe gastar el dólar que le da su madre para maximizar su utilidad?
Maximiceos Utilidad, por proceso lagrangiano.
L =
ts+λ (I − Ptt − PS s) C.P.O (1) ∂ ∂tL =
√s 2 √ t −^ λPt^ = 0 (2) ∂ ∂sL =
√ t 2 √s −^ λPs^ = 0 (3) ∂ ∂λL = I − Ptt − PS s = 0 (1) entre (2) √s (^2) √√t t 2 √s
= λP λPts (^2) (√s)^2 (^2) ( √ t)^2 = P Pts^ st = (^) PPst
(4) s = P Pts t (4) en (3) I − Ptt − PS P Pts t = 0 I − Ptt − Ptt = 0 I − 2 Ptt = 0 (5) t∗^ = (^2) PIt Por reciprocidad tenemos que (6) s∗^ = 2 IPs t∗^ = (^) 2(0^1 .1) = 5 s∗^ = (^) 2(0^1 .25) = 2 Pablo debe gastar el dolar que le da su madre así: t∗^ = 5 y s∗^ = 2 para poder maximizar su utilidad. U =
5 × 2 =
- Precio de t aumenta a $0.40, ¾Cuanto dinero mas tendra que dar la madre de Pablo para que mantenga el mismo nivel de utilidad
U =
5 × 2 =
I
- 8 ×^
I
- 5 √ 10 =
I^2
- 4 10 = I
2
- 4
- 4 × 10 = I^2 4 = I^2 2 = I t?^ = 2. 5 s∗^ = 4 Así la madre de Pablo tendra que dar $1 de más para que pueda mantener su nivel de utilidad.
4.2 Utilidad: U (wf , wc) = w
(^2) / 3 f w
(^1) / 3 c Sea I = 300 Pf = 20 PC = 4 L = w (^2) / 3 f w
(^1) / 3 c +^ λ^ (I^ −^ Pf wf −^ Pcwc) Sea α = 23 β = (^13)
(1) (^) ∂w∂Lf = αw fα −^1 wβc − λPf = 0 (2) (^) ∂w∂Lc = βwfα w cβ −^1 − λPc = 0 (3) ∂ ∂λL = I − Pf wf − Pcwc = 0 (1) entre (2) αwα f −^1 wβc βwαf wβ c−^1 =^
Pf Pc
α β
wc wf =^
Pf Pc
(4) wc = P Pfc
β α
wf (4)en (3) I − Pf wf − Pc P Pfc
β α
wf = 0 I − Pf wf − Pf wf
β α
I − wf
Pf + Pf
β α
(5) w f∗ = I (Pf +Pf ( βα )) (5) en (4) wc = P Pfc
β α
I (Pf +Pf ( βα )) w∗ c =
β α
I (Pc+Pc( βα )) w∗ f = (^300 20+
( (^1) (^32) 3
20 − 2 c = 18 − 6 b − 2 c = − 2 − 6 b c = 1 + 3b 1 + 3b + b = 5 1 + 4b = 5 4 b = 4 b = 1 Por tal c = 1 + 3 (1) c = 4 El consumo sera en la nueva circunstancia es de 4 cigarrillos y 1 copa de brandy
4.4 Utilidad: U (x, y) =
x^2 + y^2
- Maximice la utilidad si Px = $3 y Py = $4 y I = 50
Debido a que es una función monotanomaente creciente resulta lo mismo max- imizar U 2
L = (x^2 + y^2 ) + λ (I − Pxx − Py y) (1) ∂ ∂xL = 2x − λPx = 0 (2) ∂ ∂yL = 2y − λPy = 0 (3) ∂ ∂λL = I − Pxx − Py y = 0 (1) entre (2) 2 x 2 y =^
Px Py (4) x = P Pxy y (4) en(3) I − Px P Pxy y − Py y = 0 I − P^ X^2 Py y^ −^ Py^ y^ = 0 −y
P (^) X^2 Py +^ Py
= −I
(5) y∗^ = (^ P 2 I Py^ X +Py
)
(5) en (4) x∗^ = P Pxy(^ P 2 I Py^ X +Py
)
x∗^ = (^) (P 2 IPx x +P^ y^2 ) y∗^ = 50 ( 94 +4)
x∗^ = (^) (9+16))^50 ×^3 = 6 U =
82 + 6^2
- ¾Qué dice la grá ca sobre el comportamiento del Sr. B? ¾Ha encontrado usted un auténtico máximo?
Esto no es un máximo local porque las curvas de indiferencia no tienen una RMS decreciente. Por lo tanto, tenemos condiciones necesarias pero no su cientes para un máximo.
4.5 U = (g, v) = min
( (^) g 2 , v
- Dibuje la curva de indiferencia del Sr. A en términos de g y v para diversos niveles de utilidad. Muestre que, independientemente de los precios de los dos ingredientes, el Sr. A nunca alterará la forma en que mezcla los martinis.
De nada importa cuál sea el precio relativo es (es decir, la pendiente de la restricción presupuestaria) la intersección de la utilidad máxima será siempre en el vértice de una curva de indiferencia donde g = 2v
Como es de proporciones ja: g 2 =^ v
y∗^ = (^2) PIy Que son las mismas elecciones optimas del punto 4. Demanda: x∗^ = (^) 2(0^2 .25) = 4 y∗^ = (^) 2(1)^2 = 1 z∗^ = 0 U = 4^0.^510.^5 = 4 Miremos para z> z = 0. 5 x = (^) −^22 ××^00 ..^525 + (^2) ×^20. 25 = 2 0 = 2 − (0. 25 × 2) − (2 × 0 .5) − y − 0 .5 = −y 0 .5 = y U 1 = 2^0.^50. 50.^5 (1 + 0.5)^0.^5 = 1. 22 Aqui mostramos que para valores de z>o disminuyen la utilidad.
- z=0 es un optimo puesto garantiza que la utilidad sea la maxima posible.
- ¾Los ingresos de este individuo qué tan altos deben ser para que pueda comprar una cantidad z cualquiera?
Si tomamos a I = 10 las elecciones optimas claraente son x = 16, y = 4 z = 1 Un mayor ingreso hace posible consumir z como parte de una utilidad máx- ima. Para encontrar la renta mínima a la que se compraría cualquier fraccion de z, si asumimos que el hecho de que con la Cobb-Douglas esta persona va a gastar cantidades iguales en (x, y) y (1 + z) es decir: Pxx = Py y = Pz z(1 + z) Sustituimos esto en la restricción presupuestaria tenemos: 2 Pz (1 + z) + Pz z = I 3 Pz z = I − 2 Pz Por lo tanto sucede que: Si z > 0 debe suceder que I > 2 Pz o I > 4
4.7U (x, y) = xαy^1 −α
- Función de Utilidad indirecta
L = xαy^1 −α^ + λ (I − Pxx − Py y) (1) ∂ ∂xL = αxα−^1 y^1 −α^ − λPx = 0 (2) ∂ ∂yL = (1 − α) xαy−α^ − λPy = 0 (3) ∂ ∂λL = I − Pxx − Py y = 0 (1) entre (2) (4) αx
α− (^1) y 1 −α (1−α)xαy−α^ =^
Px Py
(4) y∗^ = P Pxy
( (^1) −α α
x (4) en (3) I − Pxx − Py P Pxy
( (^1) −α α
x = 0 I − Pxx − Px
( (^1) −α α
x = 0 I − xPx
( (^1) −α α
x∗^ = (^) Px(1+I( 1 −α α )) y∗ = (^) P I y (1+( 1 −αα ))
×
( (^1) −α α
Porl lo tanto la funcion de utilidad indirecta es: V (Px, Py , I) = U [μ (Px, Py , I)]
=
I Px(1+( 1 −αα ))
)α ( I Py (1+( 1 −αα )) ×^
( (^1) −α α
) 1 −α
Porl lo tanto la funcion del gasto es:
E (Px, Py , I) =
I Px(1+( 1 −αα ))
)α ( I Py (1+( 1 −αα )) ×^
( (^1) −α α
)α− 1 U^ ¯
- Compensación requerida para equilibrar depende del tamaño del expo- nente.
∂e ∂Px =^ α
1 −α(1 − α)α− (^1) P α− 1 x P^ 1 −α y U¯ ∂e ∂Px =^ α
−α(1 − α)αP α x P^ −α y U¯ Es claro entonces que depende del tamaño de exponente α 4.8 El principio de la suma única ilustrado en la gura 4.5 se puede aplicar tanto a la política de transferencias como a la tributación. Este problema analiza la aplicación del principio.
- Utilice una grá ca similar a la gura 4.5 para demostrar que una dotación de ingresos a una persona proporciona más utilidad que un subsidio para el bien x, que le cuesta la misma cantidad de dinero al gobierno.
Entonces Px =
es decir cada unidad debe ser subisidiada por
y al precio
subsidiado la persona compra
x = 9 Entonces el subsidiado en mayor en una unidad monetaria que el inciso anterior, es decir, 5.
- El problema 4.7 le pide que compare una función gasto para una función de utilidad Cobb-Douglas más general que la utilizada en el ejemplo 4.4. Utilice esa función gasto para contestar, de nueva cuenta, los incisos b y c en el caso donde α= 0.3; es decir, una cifra cercana a la fracción de los ingresos que las personas de bajos ingresos gastan en alimentos.
E(Px, Py , U ) = 1. 84 P (^) x^0.^3 P (^) y^0.^7 U Px = 1 Py = 4 U = 2 E =
- 71
El aumento de U a 3, se requiere gastos extras de 4.86. Subsidiando solo el bien x a un precio de Px = 0. 26 es decir un subsidio de 0. 74 por unidad. A este precio la persona decidira comprar x = 11. 2 por lo que el subsidio total seria de
4.9 Función de Utilidad ESC dada por: U (x, y) = x δ δ +^
yδ δ
- Demuestre que las condiciones de primer orden para una utilidad máxima con restricción con esta función exige que los individuos elijan los bienes en proporcion
x y =
Px Py
) (^) δ−^11
Maximcemos: L = x
δ δ +^
yδ δ +^ λ^ (I^ −^ Pxx^ −^ Py^ y) (1) ∂ ∂xL = δx
δ− 1 δ −^ λPx^ = 0 (2) ∂ ∂yL = δy
δ− 1 δ −^ λPy^ = 0 (3) ∂ ∂λL = I − Pxx − Py y = 0 (1) entre (2) δxδ δ−^1 δyδ−^1 δ
= P Pxy xα−^1 yα−^1 =^
Px Py x y =
Px Py
) (^) δ−^11
Con lo cual queda mostrado.
- Hacemos caso Cobb-Douglas δ = 0, para mirar que la asignacion de fondos es igual.
x y =
Px Py
) 0 −^11
x y =
Px Py
x y =
Py Px
(4) xPx =Py y Queda mostrado que asignaran sus fondos a partes iguales.
- Como depende PPxyx y del valor de δ
Pxx Py y =
Px Py
) (^) δ−δ 1
- Derivar Función del Gasto
Teniamos: x y =
Px Py
) (^) δ−^11
sea (^) δ−^11 = α Por practicidad, por tal: x y =
Px Py
)α
x =
Px Py
)α y
I − Px
Px Py
)α y − Py y = 0
I − P^ xα+ P (^) yα^ y^ −^ Py^ y^ = 0 I − y
P (^) xα+ P (^) yα^ +^ Py
y∗^ = (^ P α+1I xP α y +Py
)
x =
Px Py
)α × (^ P α+1I xP α y +Py
)
x∗=^ (^ P α+1I yP α x +Px
)
Funcion de Utilidad Indirecta
V =
[
I P yα+ P xα +Px 1+α α
1+αα
I P xα+ P yα +Py 1+α α
1+αα ]
Así la función del gasto es: E(U, Px, Py ) = Û
( (^) 1+α α
) [(
x∗−^ 1+αα y∗−^ 1+αα^ )]
4.10 Suponga que los individuos necesitan determinada cantidad de alimen- tos (x) para sobrevivir y que esta cantidad es igual a x 0. Una vez adquirida la
5.1 Ed el sediento sólo bebe agua mineral, pero la puede comprar en botel- las de dos tamaños: una de 0.75 litros u otra de 2 litros. Dado que el agua es inherentemente idéntica, considera que estos dos bienes son sustitutos perfec- tos.
- Suponiendo que la utilidad de Ed sólo depende de la cantidad de agua que consume y que las botellas no producen utilidad alguna, exprese esta función de utilidad en términos de cantidades de botellas de 0.75 litros (x) y de 2 litros (y).
Cantidad de Agua= 0. 75 x + 2y
SiPx < 38 Py entonces x = (^) PIx y = 0 SiPx > 38 Py entonces x = 0 y = (^) PIy
- Curva de Demanda
- Cambios de I y del precio de y, dezplazan la curva de la demanda de x asi:
Incrementos de I desplazan la curva de la demanda de x hacia afuera, pero las reducciones en los precios de y no afectan la demanda de x hasta que Py < 8 P 3 x entonces la demanda de x caera a cero.
- Curva de la demanda compensada: La curva de la demanda compensada del bien x, es solamente el punto x,px lo que caracteriza el consumot actual; cualquier cambio del en el precio de x, cambiaria el nivel de utilidad en este punto. Si se supone que x>0.
5.2 Sean los siguientes datos: I = $ mantequilla de cacahuate (Pmc) = $0. 0. 5 mermelada (Pm) = $0. 1
- Cúanta mantequilla y mermelada comprará David por semana con sus $3?
Para maximizar la Utilidad se requiere que: mc = 2m La restriccion presupuestaria es:
- 05 mc + 0. 1 m = 3 Si sustituimos tenemos que: (0. 05 × 2 m) + 0. 1 m = 3
- 1 m + 0. 1 m = 3
- 2 m = 3 m = (^03). 2 = 15 mc = 2(15) = 30
- Si Pm = $0. 15 lo que produce:
Reemplazamos:
- 05 mc + 0. 15 m = 3 (0. 05 × 2 m) + 0. 15 m = 3 (0. 1 m) + 0. 15 m = 3
- 25 m = 3 m = (^0).^325 = 12 mc = 24
- ¾Cúanto tendría que aumentar la paga de David para compensar el incre- mento del precio de la mermelada?
Para continuar comprando m = 15 y mc = 30. David necesita comprar 3 unidadesmas de mermelada y 6 unidades más de mantequilla lo que le generearía un aumento en su paga igual a:
3(0.15) + 6(0.05) = 0. 75
5.3 Como de nimos en el capítulo 3, una función de utilidad es homotética si una línea recta que parta del punto de origen corta todas las curvas de in- diferencia en puntos que tienen la misma pendiente; es decir, la TMS depende de la proporción de y/x.
- Demuestre que, en este caso, ∂x/∂I es constante.
A medida que aumenta la renta, la relación P Pxy se mantiene constante; por tal las
condiciones de maximizacion de utilidad exique que la RMS permanezca con- stante. Así si la RMS depende de la relacion yx y esta relacion debe permanecer cosntante a medida que aumenta el ingreso y como los ingresos se gasta sólo en estos dos bienes, x, y son proporcionales al ingreso.
- Demuestre que si un mapa de curvas homotéticas de indiferencia repre- senta los gustos de un individuo, entonces el precio y la cantidad se deben mover en direcciones opuestas; es decir, demuestre que la paradoja de Gien no puede ocurrir.
Puesto que en el inciso anterior, sucede que
∂x ∂I
0 entonces la paradoja de
bienes Gien no puede ocurrir en tal caso.
5.4 Como en el ejemplo 5.1, suponga que la utilidad está determinada por:
U (x, y) = x^0.^3 y^0.^7
- Utilice las funciones de demanda sin compensar del ejemplo 5.1 para cal- cular la función de utilidad indirecta y la función de gasto para este caso.
Tomando x = (^0) P.^3 xI y = (^0) P.^7 yI Tenemos que la Uitlidad indirecta es: U = 0. 30.^30. 70.^7 IP (^) x− 0.^3 P (^) y− 0.^7 = βIP (^) x− 0.^3 P (^) y−^0.^7 La función del gasto: E = β−^1 U P (^) x^0. 3 P (^) y^0.^7
- Utilice la función de gasto calculada en el inciso anterior y el lema de Shephard (nota 5 a pie de página) para calcular la función de demanda compensada para el bien x.
Utilizando el lema de shepard tenemos:
xC^ =
∂E
∂Px = 0. 3 β−^1 P (^) x− 0.^7 P (^) y−^0.^7
- Utilice los resultados del inciso anterior y la función de demanda sin com- pensar del bien x para demostrar que, en este caso, se cumple la ecuación de Slutsky.
Para mostrar la ecuación de Slutsky, resulta sencillo en elasticidades con sólo leer los exponentes de las diversas funciones de la demanda:
x,P x = − 1 x,I = 1 xC (^) ,P x = − 0. 7 Sx = 0. 3 Así: x,P x = xC (^) ,P x − Sx × x,I −1 = − 0. 7 − (0. 3 × 1) 5.6 En las ampliaciones del capítulo 4 se demostró que la mayor parte de los trabajos empíricos de la teoría de la demanda se concentran en las porciones de los ingresos. En el caso de un bien, x, de nimos la fracción del ingreso como
Sx =
Pxx I En este problema, se demostró que podemos derivar la mayor parte
de las elasticidades de la demanda a partir de las correspondientes elasticidades de las porciones.
- Demuestre que la elasticidad de la fracción del presupuesto para un bien, con relación al ingreso Sx,I =
∂sx ∂I
×
I
sx es igual a x,I − 1. Interprete esta conclusión con algunos ejemplos numéricos.
Tenemos que:
Sx,I =
∂Pxx/I ∂I
×
I
Pxx/I
IPx∂x/∂I − Pxx I^2
×
I^2
Pxx = x,I − 1
Así por mirar ejemplo: x,I = 1. 3 entonces Sx,I = 0. 3
- Demuestre que la elasticidad de la fracción del presupuesto para un bien, con relación a su precio propio Sx,P x =
∂sx ∂Px
×
Px sx
es igual a x,P x + 1. De nueva cuenta, interprete este resultado con algunos ejemplos numéricos.
Sx,P x = ∂ (Pxx/I) ∂Px
×
Px Pxx/I
Px∂x/∂Px + x I
×
I
x
= x,P x + 1
Así por mirar ejemplo: x,P x = − 0. 73 entonces Sx,P x = 0. 27
Como las proporciones entre h y c son jas podemos notar que la demanda de jamón es:
h =
I
(Ph + Pc)
h,P h = ∂h ∂Ph
−I
(Ph + PC )^2
×
Ph(Ph + Pc) I
−Ph (Ph + Pc) De igual forma podemos obtener:
h,P c =
−Pc (Ph + Pc) Luego si Ph = Pcsucede que h,P h = h,P c = − 0. 5
- Explique por qué los resultados del inciso anterior tan sólo re ejan los efec- tos ingreso, pero no los efectos sustitución. ¾Cuáles son las elasticidades precio compensado en este problema?
Se sabe que en proporciones jas no hay efectos de sustitución. Aquí las elasticidades precio compensadas son cero, por lo que la ecuación de Slutsky muestra lo siguiente:
x,px = 0 − sx = − 0. 5
- Utilice los resultados del inciso anterior para demostrar los cambios que registrarían sus respuestas al inciso a si el precio de una rebanada de jamón es el doble que él de una rebanada de queso.
Tenemos Ph = 2Pc del inciso a) tomamos que h,P h =
, h,P c =
- Explique cómo podría resolver este problema, por intuición, suponiendo que esta persona sólo consume un bien, o sea un sandwich de jamón y queso.
Si la persona consume sólo sándwiches de jamón y queso, la elasticidad precio de la demanda de aquellos debe ser -1. La elasticidad del precio de los componentes re eja el efecto proporcional de un cambio en el precio del componente sobre el precio del todo el sándwich. Si miramos en el inciso a, por ejemplo, un aumento de 5% en el precio del jamón se incrementará el precio de un sándwich en un 2.5 % y que hará que la cantidad demandada caiga un 2. %.
5.8 El inciso e del problema 5.6 tiene varias aplicaciones muy útiles porque demuestra cómo las respuestas del precio dependen, al nal de cuentas, de los parámetros fundamentales de la función de utilidad. En concreto, utilice ese resultado y la ecuación de Slutsky en términos de elasticidad para demostrar:
- En el caso Cobb-Douglas (σ = 1) la relación siguiente se cumple entre las elasticidades precio propio de x y y: x,P x + y , Py = − 2
x,P x = −(1 − sx)σ − sx y,P y = −sxσ − sy Por lo tanto: x,P x + y,P y = −σ − 1 La suma es igual a − 2 que es el caso trivial de Cobb-Douglas
- Si σ > 1 , x,P x + y,P x < − 2 y si σ < 1 , x,P x + y,P x > − 2 Ofrezca una explicación intuitiva de este resultado.
El resultado se puede obtner usando el incisio a). Intuitivamente, elastici- dades precio son grandes cuando σ es grande y pequeña cuando σ es pequeña.
- ¾Cómo generalizaría este resultado a casos que incluyen más de dos bienes? Explique si esta generalización tendría signi cado especial.
Una posible generalización de la función CES varia variables es posible, pero la restricción que se impone sobre el comportamiento por esta función muy probablemente no sean sostenibles.
5.9Las tres relaciones de agregación que se presentan en este capítulo pueden ser generalizadas a una cantidad cualquiera de bienes. Este problema le pide que haga justo eso. Suponemos que hay n bienes y que si denota la fracción de los ingresos destinada al bien i. Además, de nimos las elasticidades siguientes:
i,j = ∂xi ∂I
I
xi
i,j =
∂xi ∂Pj
Pj xi
Utilice la notación para demostrar:
∑n j=1 i,j^ +^ i,j^ = 0
Se sabe que la demanda de cualquier bien es Homogenea de Grado cero, el teorema de Euler muestra que: ∑n j=1 Pj
∂xi ∂Pj
+ I
∂xi ∂I
Si multiplicamos por
x vamos a obtener el resultado deseado, que mostrado.
∑n j=1 sii,I^ = 1
