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Corriente eléctrica
M. Fernández Guasti
26 de enero de 2021
Lab. de Óptica Cuántica, Depto. de Física, Universidad A. Metropolitana - Iztapalapa, 09340 CDMX, Ap. postal. 55-534, MEXICO e-mail: [email protected], url: https://luz.izt.uam.mx
Resumen cargas en movimiento
- Corriente eléctrica, resistencia y fuerza electromotriz.
a ) Corriente eléctrica b ) Resistividad y resistencia eléctrica. c ) Conversión de energía y potencia en elementos de circuitos eléctri- cos: en una resistencia, en un motor, en una celda electrolítica
- Circuitos de corriente directa.
a ) Resistores en serie y en paralelo. b ) Reglas de Kirchoff c ) Circuitos RC: carga y descarga de un capacitor, constante de tiempo.
1. Corriente eléctrica
La densidad de corriente por el área que atraviesa es la corriente[1, Cap.3],
I =
J · dA.
Si la corriente es transportada por n partículas de carga q, J = nqv
I =
J · dA = nq
v · dA.
Para una distribución continua de carga
J = ρv.
El cambio de carga en un volumen dado, si las cargas no se crean ni se destru- yen, debe ser igual al flujo neto de carga a través de la superficie que acota dicho volumen, d dt
ρ dVvol = −
J · dA.
La integral de superficie se puede reescribir como una integral de volumen por el teorema de Gauss,
J · dA =
∇ · JdVvol, entonces
d dt
ρ dVvol = −
∇ · JdVvol.
Se obtiene entonces una ecuación de conservación
∇ · J + dρ dt
Una ecuación de conservación que se satisface punto a punto en todo el espacio, es una ecuación de continuidad.
Ejemplo: conservación de masa. Una estrella está perdiendo masa de manera lineal en el tiempo a una razón γ. En lenguaje matemático ρ (t) = −γt. La deri-
vada temporal del cambio de masa dρdt = −γ
∇ · ρv = γ. ‹ p · dA = −γ.
1.1. Relación de Ohm
La relación entre el campo y la densidad de corriente en un conductor está dado por la relación de Ohm, J = σE, (1)
donde σ es la (constante) conductividad del medio, su inverso es la resistividad ρr = (^1) σ. El campo es entonces
E =
σ J = ρr J.
La corriente es I = |J| A = J A,
donde A es el área del conductor. El campo eléctrico en términos del potencial es E = − (V 2 − V 1 ) /l. La relación de Ohm es
I A
= σ (V 1 − V 2 ) /l, ⇒ I =
Aσ l
∆V.
la solución es
v (t) =
q m E cfr
dv dt
= const.e−cfrt^
d (−cfrt) dt
= −cfrc 2 e−cfrt
−cfrc 2 e−cfrt^ =
q m
E − cfr
( (^) q m E cfr
¡Es solución!
La constante depende de las condición inicial. Al timepo inicial, la velocidad es cero.
v (0) = 0 =
q m E cfr
q m E cfr
c 2 = −
qE mcfr
v (t) =
q m E cfr
qE mcfr
e−cfrt.
¿Como se porta la velocidad en el tiempo? Para tiempos muuuuy largos
v (t) =
q m E cfr
qE mcfr
ecfrt^
Si t es muuuy grande, ecfrt, entonces (^) ec^1 frt casi cero
l´ım t→∞ v (t) =
q m E cfr
¡Una constante!!!!
2. Circuitos eléctricos
2.1. Energía
Alessandro Volta
Figura 1: Museo de Alessandro Volta en Como
Energía electromotriz por unidad de carga, (mal llamada Fuerza electromotriz, FEM),
V =
ˆ (^) b
a
E · dl.
Varios autores la introducen hasta ver inducción [3, p.16-5],[4]. Otros autores la vinculan a la fuente de energía [8, p.703]. Otros no la mencionan [6]. En la tesis doctoral de Garzón, se discute el concepto detalladamente [5].
Figura 3: Reproducciones de libretexts EMF - libretexts y de la enciclopedia Britannica EMF-Britannica.
Fuente de energía [2].
Se propone utilizar PEM - potencial electromotriz [7].
2.2. Resistencias en serie
La corriente que pasa por cada resistencia es la misma, de manera que para cada resistencia Vj = Rj I. El voltaje total es la suma de los voltajes, de manera que Vtot =
Vj =
Rj I = (
Rj ) I. Entonces, la resistencia total es la suma de las resistencias en serie, R =
Rj.
2.3. Resistencias en paralelo
El voltaje en cada resistencia es el mismo. La corriente total es la suma de las corrientes que pasa por cada resistencia
Itot =
Ij =
∑ V
Rj
= V
Rj
V
R
de manera que 1 R
Rj
Ejemplos sencillos. Dos resistencias en serie, 500Ω, 1kΩ, las dos resistencias en serie equivalen a una resistencia de 1. 5 kΩ.
Esas mismas resistencias en paralelo
1 R
Entonces la resistencia equivalente es
R =
2.4. Relaciones de Kirchhoff
Figura 4:
voltajes= 0, Cornelius Escher
- La suma algebraica de todas las corrientes en un punto es cero.
- La suma algebraica de las diferencias de potencial a través de resistencias en cualquier circuito cerrado es igual a la potencial electro-motriz de ese circuito.
que puede reescribirse como
V 1 R 13
= I 1
R 11
R 13
R 12
R 23
− I 2
R 22
R 23
R 12
R 13
Eliminar I 3 de (4) y (5),
V 3
R 33
= I 3 − I 1
R 13
R 33
− I 2
R 23
R 33
suma de (7) mas (9),
V 3
R 33
= I 2
R 22
R 23
− I 2
R 23
R 33
− I 1
R 12
R 23
− I 1
R 13
R 33
que puede reescribirse como
V 3
R 33
= I 2
R 22
R 23
R 23
R 33
− I 1
R 12
R 23
R 13
R 33
De las ecuaciones (8) y (10), se elimina I 2. Para hacerlo se divide entre el coefi- ciente de I 2 en (8)
V 1
R 13
R 22 R 23 +^
R 12 R 13
) = I 1
R 11 R 13 +^
R 12 R 23
R 22 R 23 +^
R 12 R 13
) − I 2.
se divide entre el coeficiente de I 2 en (10)
V 3
R 33
R 22 R 23 −^
R 23 R 33
) = I 2 − I 1
R 12 R 23 +^
R 13 R 33
R 22 R 23 −^
R 23 R 33
Se suman estas últimas dos ecuaciones
V 1
R 13
R 22 R 23 +^
R 12 R 13
V 3
R 33
R 22 R 23 −^
R 23 R 33
) = I 1
R 11 R 13 +^
R 12 R 23
R 22 R 23 +^
R 12 R 13
) − I 1
R 12 R 23 +^
R 13 R 33
R 22 R 23 −^
R 23 R 33
Finalmente,
I 1 =
V 1 R 13
( (^) R R^22 23 +^
R 12 R 13
) − V^3
R 33
( (^) R R^22 23 −^
R 23 R 33
) ( (^) R 11 R 13 +^ R 12 R 23
) ( (^) R R^22 23 +^
R 12 R 13
( (^) R 12 R 23 +^ R 13 R 33
) ( (^) R R^22 23 −^
R 23 R 33
)
I 1 =
V 1 R 13 −^
V 3
( (^) R 22 R 23 +^ R 12 R 13
)
R 33
( (^) R R^22 23 −^
R 23 R 33
)
( R 11 R 13 +^
R 12 R 23
( (^) R 12 R 23 +^ R 13 R 33
)( (^) R 22 R 23 +^ R 12 R 13
) ( (^) R 22 R 23 −^
R 23 R 33
)
I 1 =
V 1 R 13
R 22 R 23 −^
R 23 R 33
− RV 333
R 22 R 23 +^
R 12 R 13
R 11 R 13 +^
R 12 R 23
R 22 R 23 −^
R 23 R 33
R 12 R 23 +^
R 13 R 33
R 22 R 23 +^
R 12 R 13
Si todas las resistencias son iguales a R,
I 1 =
V 1 R
− 3 VR^3 (3 + 1)
8 3 R V^1 −^
4 3 R V^3 (4)
3
3
8 3 R V^1 −^
4 ( 3 R^ V^3 32 3
3
8 V 1 − 4 V 3
16 R
2 V 1 − V 3
4 R
Distintos casos dependiendo de los voltajes...
Verifico para un caso sencillo, hago V 3 = 0, R 1 = R 2 = 0 y el resto de las resistencias iguales a R. Entonces R 11 = 2R, R 22 = 2R, R 33 = 3R,
I 1 =
V 1 R
( 2 R
R −^
R 3 R
( 2 R
R + 1
) ( 2 R
R −^
R 3 R
1 + 3 RR
) ( 2 R
R + 1
I 1 =
V 1 R
3
3
3
V 1
R
Figura 6: Circuito con dos resistencias, positivo es el lado largo de la batería
Dos resistencias R en paralelo tienen resistencia total R 2 y en serie con una re- sistencia R suman 32 R. En paralelo con R,
1 Requiv
3 R
R
3 R
3 R
3 R
de donde la resistencia equivalente es Requiv = 35 R.
Aplicación: Puente de Wheatstone.
