¡Descarga cositas de discreta y más Ejercicios en PDF de Álgebra solo en Docsity!
Departament d’Analisi Matematica
Curs 2015-
Practiques de Analisi d’una variable. Codi 12768.
PR `ACTICA 3
1 Concepte de s`erie
La suma de nombres reals ´es una operaci´o binaria (tamb´e es diu de vegades que ´es una llei de composici´o interna). Aixo significa que podem sumar parells de nombres. Per exemple, si escrivim
2 + 3 = 5
estem indicant que al parell de nombres (reals) (2, 3) li associem via la suma el nombre real 5.
Ara b´e, si escrivim 2 + 3 + 7
estem usant (en principi) una notaci´o que no est`a ben definida, ja que pot significar
(2 + 3) + 7 com 2 + (3 + 7),
on els parentesis indiquen prioritat. Tot i aixo, des dels primers cursos de prim`aria sabem que la suma ´es una operaci´o amb la propietat associativa i per tant (2 + 3) + 7 = 2 + (3 + 7)
i, donada aquesta igualtat, no hi ha ambig¨uitat en usar el s´ımbol 2 + 3 + 7 ja que
2 + 3 + 7 := (2 + 3) + 7 = 2 + (3 + 7).
Si a 1 , a 2 , ..., an s´on nombres reals, el mateix raonament anterior explica que podem escriure
a 1 + a 2 +... + an
sense equ´ıvocs, gr`acies a la propietat associativa de la suma.
Per tant a 1 + a 2 +... + an = (a 1 + a 2 ) +... + (an− 1 + an) = = a 1 + (a 2 + a 3 ) +... + (an− 2 + an− 1 ) + an = ...
on els ´ultims punts suspensius representen qualsevol organitzaci´o dels par`entesis. La propietat commu- tativa ens assegura que l’ordre en que coloquem els nombres a sumar ´es irrellevant.
Quan ens plantegem si aixo mateix ´es valid per a una successi´o de nombres reals, ´es a dir, si t´e sentit
a 1 + a 2 +... + an + ...,
pareix coherent que aquest s´ımbol tinga la mateixa propietat que al cas finit, ´es a dir, que podem associar i commutar els sumands com ens convinga, sense canviar el resultat final de la suma.
Per`o, en general, el fet de incloure infinits sumands crea problemes, com demostra el seg¨uent absurd: 0 = (1 + (−1)) + (1 + (−1)) + (1 + (−1)) + (1 + (−1)) + ... =
= 1 + (−1) + 1 + (−1) + 1 + (−1) + 1 + (−1) + ... = 1 + ((−1) + 1) + ((−1) + 1) + ((−1)) + 1) + ((−1) + 1) + ... = 1.
Per tant, el s´ımbol a 1 + a 2 +... + an + ...
o b´e el seu equivalent abreujat ∑∞ n=
an
necessita ser definit amb precisi´o.
No podem usar les tecniques algebraiques en aquest moment i hem de procedir a un m`etode que ens permeta el pas del cas finit al cas infinit: el pas al l´ımit.
Hem de definir un nou concepte. Ara ´es on apareix amb ´ımpetu el C`alcul Infinitesimal. En la definici´o s’utilitzaran les sumes finites dels primers termes: Donada la successi´o de nombres reals (an), considerem la successi´o de sumes parcials S 1 := a 1 S 2 := a 1 + a 2 S 3 := a 1 + a 2 + a 3 .. . Sn := a 1 + a 2 +... + an .. .
Si existeix
nlim→∞ Sn^ =^ nlim→∞(a^1 +^ a^2 +^...^ +^ an) =^ ^ ∈^ R es diu que la serie ∑∞ n=
an
´es convergent i t´e per suma `, escrivint-se
a 1 + a 2 +... + an + ... =
∑^ ∞
n=
an = `.
Si el l´ımit no existeix direm que la serie ´es divergent. Aix´ı el caracter de la serie (ser convergent o ser divergent) sera el de la successi´o de les seues sumes parcials; si, en particular, aquestes tenen per l´ımit
+∞ o −∞, escriurem
∑^ ∞
n=
an = +∞ o
∑^ ∞
n=
an = −∞. Com vam vore en la pr`actica de successions, de vegades s’usen, per exemple, expresions del tipus (an)∞ n=2 o (an)∞ n=0 que tractem com a successions. De la mateixa forma entendrem expresions com ∑^ ∞
n=
an o
∑^ ∞
n=
an, que tractarem com series afirmant que: El caracter d’una serie no depen de que li
afegim, eliminem o canviem un nombre finit dels seus termes.
Exemple 1.1.
1 + 2 + 3 + 4 + ... =
∑^ ∞
n=
n := (^) nlim→∞(1 + 2 + ... + n) = +∞.
Per tant, la s`erie ∑∞ n=
n
´es divergent a +∞.
Exemple 1.2. Estudiem la serie geometrica
∑^ ∞ n=
rn.
S 8 = 1 +
Continuant d’aquesta forma obtindrem
S 16 ≥ 1 + 4
i en general,
S 2 n ≥ 1 + n 1 2 Per tant
nlim→∞ Sn^ =^ nlim→∞ S^2 n^ ≥^ nlim→∞
1 + n
llavors, efectivament, la serie harmonica ´es divergent.
Exemple 2.2. La s`erie ∑∞ n=
np
on p > 0 s’anomena serie harmonica generalitzada. Naturalment el cas p = 1 ´es la serie harmonica ordin`aria.
Si 0 < p < 1 aleshores 1 np^
n llavors les sumes parcials compliran la seg¨uent desigualtat:
1 +^1 2 p^
+^1
3 p^
+^1
4 p^
np^
≥ 1 +^1
+^1
+^1
+... +^1
n
Pero acabem de vore que el l´ımit del segon membre ´es +∞, llavors tamb´e el l´ımit del primer membre ´es +∞. En altres paraules: la serie ∑∞ n=
np
´es divergent per a 0 < p ≤ 1.
2.1.1 Criteris de comparaci´o
Siguen
∑^ ∞
n=
an i
∑^ ∞
n=
bn tals que an, bn ≥ 0 , per a tot n ∈ N.
- Per majoraci´o o minoraci´o.
Suposem que existeix un n 0 tal que per a tot n ≥ n 0 es t´e an ≤ bn:
Si la s`erie
∑^ ∞
n=
bn ´es convergent, aleshores
∑^ ∞
n=
an ´es tamb´e convergent.
Si la s`erie
∑^ ∞
n=
an ´es divergent, aleshores
∑^ ∞
n=
bn ´es tamb´e divergent.
Si el l´ımit (^) nlim→∞ an bn ´es un nombre real, no nul, les dues series tenen el mateix caracter.
Exemple 2.3. Com per a n ≥ 1 es t´e que (^) √ n ≤ n,
aleshores √^1 n
n
Com la serie harmonica es divergent, aleshores la s`erie
∑^ ∞ n=
√^1
n
´es tamb´e divergent (notem que ´es la serie harmonica generalitzada amb p =
Exemple 2.4. Per a la s`erie: ∑∞ n=
n − log n n^2 + 10n
es t´e:
lim n
n − log n n^2 + 10n 1 √ n
i per tant la s`erie: ∑∞ n=
n − log n n^2 + 10n
t´e el mateix caracter que la serie
∑^ ∞
n=
√^1
n ,^ ´es a dir, ´es divergent.
Exercici 2.1. Estudieu per comparaci´o del quocient la convergencia de les seg¨uents series
- (^) ∞ ∑ n=
n1+^1 n
n=
( n
a − 1)p^ a > 1 , p ∈ R+
n=
en^ + e−n e^2 n^ + e−^2 n
∑∞ n=
2 n^3 − 1 n^4 + n^2 + 1
Un altre criteri per a saber si convergeixen o no algunes s`eries de termes positius ´es el seg¨uent:
2.1.2 Criteri de condensaci´o de Cauchy
Siga
∑^ ∞
n=
an una s`erie de termes positius tal que an ≥ an+1, per a tot n ∈ N. Aleshores
∑^ ∞
n=
an
convergeix si i nom´es si convergeix la s`erie
∑^ ∞
n=
2 na 2 n^.
2.1.4 Criteri de D’Alembert del quocient
Siga
∑^ ∞
n=
an una s`erie de termes positius tal que existeix
r = (^) nlim→∞ an+ an
∑^ ∞
n=
an ´es divergent.
∑^ ∞
n=
an ´es convergent.
Exemple 2.7. Donada la s`erie ∑∞ n=
n^2 + 1 5 n^
com
nlim→∞^ n
n^2 + 1 5 n^
=^1
el criteri de l’arrel ens assegura que convergeix. An`alogament, per a ∑^ ∞
n=
nn 2 nn!
es t´e:
nlim→∞
(n + 1)(n+1) 2 (n+1)(n + 1)! nn 2 nn!
= e 2
i el criteri de D’Alembert assegura la divergencia de la s`erie.
En la majoria dels casos aquests dos criteris no s´on alternatius, ´es a dir, si una serie no compleix un d’ells ( perque r = 1 ) tampoc complira l’altre ja que, aplicant el criteri de l’arrel de Stolz
nlim→∞^ n
an = (^) nlim→∞ an+ an
sempre que el segon l´ımit existeix.
Exercici 2.3. Estudieu si les s`eries que segueixen s´on convergents:
- (^) ∞ ∑ n=
n^2 n!
n=
cos^2 n( nπ 2 n + 4
n=
nn 2 (n + 1)n^2
n=
nlog^ n (log n)n^
Exercici 2.4. Estudieu per a quins nombres reals no negatius x es compleix que la s`erie
∑^ ∞ n=
n^2 xn
´es convergent.
Exercici 2.5. Estudieu per a qu´e nombres reals no negatius x es compleix que la s`erie
∑^ ∞ n=
n! xn
´es convergent.
En les ocasions on els criteris de D’Alembert i Cauchy no mostren informaci´o sobre el caracter d’una serie, ja que el l´ımit associat pren el valor 1, ´es ´util el seg¨uent criteri de converg`encia:
2.1.5 Criteri de Raabe.
Siga
∑^ ∞
n=
an una s`erie de termes positius tal que existeix
r = (^) nlim→∞ n
an an+
∑^ ∞
n=
an ´es convergent.
∑^ ∞
n=
an ´es divergent.
Exemple 2.8. Per a la s`erie ∑∞ n=
2 n − 3 2 n − 2
2 n − 1 2 n
2 n + 1
s’obt´e
nlim→∞
4 · · ·^
2 n − 1 2 n
2 n + 1 2 n + 2
2 n + 3 1 2
2 n − 3 2 n − 2
2 n − 1 2 n
2 n + 1
= (^) nlim→∞ (2n + 1)^2 (2n + 2)(2n + 3)
per`o com:
nlim→∞ n
( (^) (2n + 2)(2n + 3) (2n + 1)^2
la s`erie ´es convergent pel criteri de Raabe.
Exercici 2.6. Estudieu la convergencia de les series
∑^ ∞
n=
(n − 1)! (1 + 1)(1 +
n)
∑^ ∞
n=
(^1
)1+^
(^12) +···+ (^) n (^1) − 1 .
depenent del signe del primer terme.
Per a estudiar la seua converg`encia podem considerar nom´es un cas ja que l’altre es dedueix multipli-
cant per −1. Es a dir´
∑^ ∞
n=
(−1)n+1an = −
∑^ ∞
n=
(−1)nan.
Criteri de Leibnitz: Si la s`erie alternada
∑^ ∞
n=
(−1)nan ´es tal que an ≥ 0 , i (an) ´es una successi´o
mon`otona decreixent amb l´ımit cero, aleshores ´es convergent.
Exemple 2.11. Considerem la s`erie
∑^ ∞
n=
(−1)n^
n
−... Es clarament una s`´ erie
alternada de la forma anterior
∑^ ∞
n=
(−1)nan, amb an =
n
. Com (^) nlim→∞ an = 0 i a m´es an+1 ≤ an, pel criteri
de Leibnitz la serie donada convergeix. Tot i aixo aquesta s`erie no ´es absolutament convergent.
Exemple 2.12. Donada la s`erie: (^) ∞ ∑
n=
(−1)n+^ log n n
tenim `obviament:
nlim→∞
log n n = 0 amb log(n + 1) n + 1
log n n per tant la s`erie convergeix pel criteri de Leibnitz.
Exercici 2.7. Estudieu si convergeixen les seg¨uents s`eries:
- (^) ∞ ∑ n=
(−1)n+
n n + 100.
- (^) ∞ ∑
n=
n(n + 1)
(−1)n √ n(n + 1)
3 Alguns procediments per sumar s`eries
Com hem indicat no ´es senzill, incl´us quan sabem que una serie ´es convergent, calcular el valor de la seua suma. Veurem alguns metodes elementals. Hem d’indicar que, tot i que el caracter d’una s`erie no canvia per una alteraci´o d’un nombre finit dels seus termes, la seua suma s´ı que varia.
3.1 S`eries geom´etriques
S´on les que verifiquen per a n ∈ N que
an+1 = ran, ´es a dir, an = a^1 r · rn
Com varem veure en 1.2 s´on convergents si la seua ra´o r ´es tal que |r| < 1, i aleshores
∑^ ∞
n=
an = a 1 r
∑^ ∞
n=
rn^ = a 1 1 − r
3.2 Series aritm´etico-geom´etricas
S´on les que verifiquen ∑^ ∞ n=
anbn
on (an) ´es una progressi´o aritmetica, amb diferencia d , (bn) una progressi´o geometrica de ra´o r, amb |r| < 1. En aquest cas la serie ´es convergent i la seua suma es pot calcular raonant com s’indica en el seg¨uent
Exemple 3.1.
S =
∑^ ∞
n=
2 n + 1 2 n^
=^3
+^5
+^7
rS =
S =
2 n + 1 2 n+^
i restant,
1 2
S =
2 n^
⇒ S = 5.
Observem que l’expressi´o entre parentesis ´es una serie geometrica ja que els numeradors de les fraccions s´on la diferencia dels termes de la progressi´o aritm`etica.
3.3 M`etode de descomposici´o.
Es un m^ ´ etode molt general basat en descompondre en fraccions simples el terme general an de la serie
quan aquest ´es del tipus P^ (n) Q(n) amb P, Q polinomis.
Les m´es senzilles s´on les denominades series telescopiques que s´on de la forma ∑^ ∞ n=
(bn − bn+1), o b´e
∑^ ∞
n=
(bn+1 − bn), amb lim n bn = b ∈ R
En el primer cas, l’altre seria an`aleg, la suma parcial ´es Sn = (b 1 − b 2 ) + (b 2 − b 3 ) +... + (bn − bn+1) = b 1 − bn+
amb la qual cosa
∑^ ∞
n=
(bn − bn+1) = b 1 − b.
Exemple 3.2. Considerem
an =
(n + 1)(n + 2)
A
n + 1
B
n + 2
n + 1
n + 2 Aleshores
a 1 =
a 2 = 1 2 + 1
a 3 = 1 3 + 1
an = 1 n + 1
n + 2
que ens d´ona, sumant i cancel.lant,
a 1 + a 2 + a 3 + ... + an =
n^2
n + 1 d’on ∑^ ∞
n=
n^2 (n + 1) = (^) nlim→∞ (a 1 + a 2 + a 3 + ... + an)
= (^) nlim→∞
n^2
= π
2 6
4 Exercicis de autocomprovaci´o, amb solucions
Exercici 4.1. Estudieu si les seg¨uents s`eries s´on o no convergents
- (^) ∞ ∑ n=
√ (^3) n (^2) + 1.
Sol. Div.
- (^) ∞ ∑ n=
n n^4 + n^2 + 1
Sol. Conv.
- (^) ∞ ∑ n=
1 + 2 +... + n
Sol. Conv.
- (^) ∞ ∑
n=
n^3 n!
Sol. Conv.
- (^) ∞ ∑ n=
n 3
Sol. Conv.
Exercici 4.2. Sumeu les seg¨uents s`eries:
- (^) ∞ ∑ n=
13 + 7n (n + 1)(n + 2)(n + 3)
Sol. 5.
n=
(3n + 1)(3n + 4)(3n + 7)
Sol.
n=
(2n − 1)^2 + 3
(2n + 1)^2 + 3
Sol.
n=
n(n + 1)^2
Sol. 2 − π
2 6
n=
log(1 − 1 n^2
Sol. − log 2.
4.1 Exercicis proposats
Exercici 4.3. La successi´o de sumes parcials d’una s`erie
n=1 an^ es pot expressar com^ Sn^ =^ 12 +2^2 +...+n^2 n^3. Raona si la s`erie ´es convergent o divergent.
Exercici 4.4. Estudieu la convergencia de les series seg¨uents
∑^ ∞
n=
xn n! , (x ∈ R).
∑^ ∞
n=
nxn, (x ∈ R).
∑^ ∞
n=
log n
∑^ ∞
n=
n^2 + 1 n^3 + 1
∑^ ∞
n=
n + 1 n!
∑^ ∞
n=
n(log n)^3
∑^ ∞
n=
3 nn! nn
∑^ ∞
n=
log 2... log(n + 1) (n + 1)!
∑^ ∞
n=
(2n + 1)(2n + 3)
- Suma la s`erie
∑^ ∞
n=
(2n − 1)2n
- Suma la s`erie
∑^ ∞
n=
(4n^2 − 1)n
Ajuda: usa la descomposici´o
1 +
n = γ + log n + xn
on (^) nlim→∞ xn = 0 i γ ´es la constant de Euler-Mascheroni.
